「今月の問題」　第１００回　（平成２０年１月）


　
＜問題＞
　上の図を見てください。市販の紙コップの長さをはかると、飲み口の直径が7cm、底の直径が5cm、側面の幅が8cmでした。この紙コップを倒し、滑らないようにして転がしていきます。コップが何回転かするとスタート位置まで１周して戻ります。

　ここで問題です。
　コップを回転しつづけ、２５１周まわすことにします。紙コップは何回転したことになるでしょうか。　

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１ 呑ちゃん　さん2008/1/1　0:01河童ランドの酔っぱらい
　２ banyanyan　さん2008/1/1　0:02京都府
　３鞍馬の天狗　さん2008/1/1　0:05大阪府中一
　４なにわ　さん2008/1/1　0:05西宮市
　５ゴンとも　さん2008/1/1　0:06豊川市　
　６ma-mu-ta　さん2008/1/1　0:07　
　７ダンディ海野　さん2008/1/1　0:10大阪府　
　８NAMPOTのPOT　さん2008/1/1　0:11　
　９algebra　さん2008/1/1　0:23　
１０teki　さん2008/1/1　2:06大阪府　
１１エトランゼ　さん2008/1/1　2:47　
１２nak　さん2008/1/1　3:57鹿児島県　
１３fisherman　さん2008/1/1　7:15豊岡市・塾講師　
１４いちもく　さん2008/1/1　7:15立川市　
１５akira　さん2008/1/1　7:54東京都　
１６経友会の進作　さん2008/1/1　10:16京都府木津川市・69歳
１７巷の夢　さん2008/1/1　15:30宮城県出身
１８スモークマン　さん2008/1/1　17:45謹賀新年♪
１９京都市の走る同業者　さん2008/1/1　17:51京都府
２０阿久根孝宜　さん2008/1/1　19:30徳之島
２１uchinyan　さん2008/1/2　12:00東京都
２２shudo生　さん2008/1/2　14:10広島県　高校生
２３マッキー２７　さん2008/1/2　14:38　
２４数学爺　さん2008/1/2　15:52神奈川県
２５新俳人澄朝　さん2008/1/2　22:41津山市
２６りーくん　さん2008/1/3　11:50埼玉県
２７NSDR007　さん2008/1/3　14:21愛知県出身
２８N.Nishi　さん2008/1/4　1:07大阪府：中学教諭
２９こば　さん2008/1/4　15:15　
３０kasama　さん2008/1/5　1:45和歌山県プログラマ
３１ここみ　さん2008/1/6　13:34秋田
３２ マグロ皇帝　さん2008/1/6　23:38茨城県のヲタ
３３魔法使いサリン　さん2008/1/7　0:56滋賀県
３４Fumiya　さん2008/1/9　13:50　
３５よっしー　さん2008/1/10　15:13秋田県　
３６B O F　さん2008/1/10　16:28現竹中生　
３７ 陳夢　さん2008/1/10　19:43留学生
３８again　さん2008/1/13　18:48兵庫県　
３９信三　さん2008/1/14　11:25シリコンバレーの住人
４０tomo2　さん2008/1/15　10:19東京都
４１ しゃもじ　さん2008/1/15　23:25高校生
４２都留大生　さん2008/1/17　0:36山梨県　大学生
４３やぶコウノトリ　さん2008/1/17　14:29　
４４るるぅ　さん2008/1/18　1:27　
４５受験生(ﾟ-ﾟ)　さん2008/1/20　6:19静岡県　
４６ぴーしゅん　さん2008/1/21　11:01　
４７ひっきー　さん2008/1/21　21:29神奈川県　
４８けんたん　さん2008/1/23　17:20横浜　
４９オグピー　さん2008/1/24　1:51　
５０下手の横好き　さん2008/1/25　17:17　
５１おとおさん　さん2008/1/27　16:09亀山市　

答えは、２００８でした。

掲示板で次のようなコメントを頂きました。

　
[18] あけましておめでとうございます 投稿者：三日月キリン 投稿日：2008/01/03(Thu) 11:03 [返信]

今年もよろしくお願いします。
年明け一発目が100問目とは縁起物ですね〜。

直感的に251かと思っちゃいましたが、やはりそんなに甘くないですね〜。

以下回答です。

紙コップを、二等辺三角形の鋭角を切り取った等脚台形と捉えると、
大きい三角形:小さい三角形＝5:7
さらに等脚台形の斜辺の長さが8なので、
小さい三角形の斜辺をxとしたとき、
(x+8):x=7:5から、
7x=5x+40より、
x＝20．

よって、紙コップの軌跡によりできる大きな円の半径は28.
円周は直径×pより、大きな円の円周は56p.

紙コップ一回転で描く大きな円の弧の長さは7p.
よって、紙コップが大きな円を描くためには8回転する必要があるため、
大きな円を251回描くには、紙コップ自身は2008回転する必要がある。
(p=円周率)

ってこれゴンともさんの回答と同じ考えだったな…


[17] 明けましておめでとうございます 投稿者：shudo生 投稿日：2008/01/02(Wed) 14:23 [返信]

皆さんお早いですね。私は今まですっと考えてました。

　円周率をa(パイの字が出ないので)として
　内円の半径をrとすると
　2ar:2a(r+8)=5:7
　∴r=20
　また、内円を転がる円の円周は
　2a*2.5=5a
よって求めるコップの回転数は
　2a*20*251/5a
=8*251
=2008(回転)

くそまじめに解いてみました。考えてみればスモークマンさんのように円周率は無視しても解けたんですね。
皆さん今年もよろしくお願いします。

[15] あけましておめでとうございます♪ 投稿者：スモークマン 投稿日：2008/01/01(Tue) 17:36 [返信]

今年の初問＆区切りの第100回問が解けてうれしい〜〜〜^^
今年も楽しい問題をエンジョイさせていただきま〜す v
今年もよろしくお願いいたします Orz〜vv

滑ることなくコップが転がることから、、、
x/5=2(x+8)/7
x=20
2*20*251/5=2008 ♪
2008年がよい年でありますように　☆☆☆

　
[11] Re:[10] 投稿者：ゴンとも 投稿日：2008/01/01(Tue) 02:31 [返信]

>[7]は何処へ?

計算ミスがあったので自分で削除しました。
メモ帳も保存せずに捨てたので
同様な解法をもう一度書き直しました。
以下です。

先ず、題意の左図より8cmのところをx(cm)伸ばすと
三辺の長さが5,x,xと7,x+8,x+8である2つの相似の二等辺三角形ができることから
7:5=x+8:x より　7*x=5*x+40 2*x=40 x=20
これが半径の円周は20*2*3.14・・・・・(1)
これが紙コップの底(直径5)がスタート位置まで一周して・・・・・・(2)
できる円周であり
一方で直径5の円周は5*3.14これで(1)を割ると
(20*2*3.14)/(5*3.14)=20*2/5=40/5=8
これは(2)の間に紙コップの底が8回転することであり
ここで題意では(2)で1のところが251だから
8*251=2008回転・・・・・・(答え)


　
[4] 祝100回＆新年明けましておめでとうございます 投稿者：鞍馬の天狗 投稿日：2008/01/01(Tue) 00:09 [返信]

僕も
円錐台が動いて出来る円　直径56cm
円錐台の直径7cm
56:7=x:251
よって2008

　
[3] あけましておめでとうございます。 投稿者：banyanyan 投稿日：2008/01/01(Tue) 00:07 [返信]

あけましておめでとうございます。
そして100回おめでとうございます。

円錐台＝もとの円錐−切り取った円錐
もとの円錐と切り取った円錐の相似比は、７：５
もとの円錐の母線の長さは、
　８÷（７−５）×７＝２８p
展開したときの扇形で、
　中心角／３６０＝７／２÷２８
　　　　　　　　＝１／８
したがって１周すると８回転しますから、２５１周すると
　８×２５１＝２００８

答えが２００８では認証でわかってしまうかもしれませんね。

ともあれ、本年もよろしくお願い致します。