「今月の問題」　第１０３回　（平成２０年４月）


＜問題＞
　コピー用紙や教科書はある規格に基づいた長方形です。この長方形の紙ABCDを、次のように２回折りました。
【１回目】10cmの辺ADを辺CDに重ねて折る。辺ABと折り目との交点をEとします。
【２回目】折り目EDを辺CDに重ねて折ります。
　このように折ると、点Ｅと点Cがぴったり重なります。上図１〜図３は折っていく様子を示したものです。
ここで問題です。
図３の四角形つまり図１の斜線をつけた四角形の面積を求めてください。
　
＜ミニ知識：白銀比＞
　この問題の縦と横の比率は用紙サイズに採用されている他、建物などに使われています。一辺と他辺がこの比となる長方形は、白銀長方形（白銀比）と呼ばれいます。
　この比が用紙サイズとして用いられている理由は、用紙を長手方向に半分にしたときに元と相似の形状となるため、大きな用紙を切るだけで規格に適合した小さな用紙が得られるためです。
　また、日本建築におけるモジュールの1つとして白銀比が用いられています（例：法隆寺の五重塔の投影図の短辺と長辺の関係）。また大工道具の指矩（さしがね）を使った寸法採りもこの白銀比が利用されます。

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１algebra　さん2008/4/1　0:11神奈川県　
　２shudo生　さん2008/4/1　0:14広島県　
　３数学爺　さん2008/4/1　0:24神奈川県　
　４teki　さん2008/4/1　0:28大阪府　
　５エトランゼ　さん2008/4/1　0:40　
　６なにわ　さん2008/4/1　1:19西宮市　
　７経友会の進作　さん2008/4/1　1:25京都府木津川市・69歳
　８Ｍｒ．ダンディ　さん2008/4/1　1:32大阪府　
　９ma-mu-ta　さん2008/4/1　1:52東京都　
１０nak　さん2008/4/1　2:16鹿児島県　
１１いちもく　さん2008/4/1　4:28立川市　
１２巷の夢　さん2008/4/1　7:05宮城県出身　
１３信三　さん2008/4/1　9:24シリコンバレーの住人
１４ uchinyan　さん2008/4/1　9:28東京都　
１５NAMPOTのPOT　さん2008/4/1　9:33　
１６やぶコウノトリ　さん2008/4/1　11:25兵庫県　
１７ゴンとも　さん2008/4/1　14:16豊川市　
１８スモークマン　さん2008/4/1　17:34尻から煙が...^^;
１９たま&Ｊｒ．　さん2008/4/1　20:06大阪府豊中市　
２０マッキー２７　さん2008/4/1　20:44愛知県　
２１かつ　さん2008/4/1　20:56兵庫県西宮市　
２２fisherman　さん2008/4/1　23:06豊岡市・塾講師
２３ケニア　さん2008/4/2　1:01I am kenian
２４tomo2　さん2008/4/2　15:14東京都
２５おとおさん　さん2008/4/2　19:04　
２６ まいすた　さん2008/4/3　18:59　
２７りーくん　さん2008/4/3　23:44聖望がんばれ　
２８yxizak　さん2008/4/6　4:49東京　
２９akira　さん2008/4/6　15:38東京都　
３０ banyanyan　さん2008/4/7　3:55京都府　
３１suugaku　さん2008/4/7　12:59新潟県　
３２タカピー　さん2008/4/7　18:27　
３３阿修羅　さん2008/4/7　18:58長野県小学校教諭　
３４kasama　さん2008/4/9　9:56和歌山県プログラマ　
３５テモ　さん2008/4/12　18:28団塊世代の丑年生まれ　
３６あすか銅　さん2008/4/13　9:36　
３７ひろあき　さん2008/4/14　18:45広島県　
３８ぴーしゅん　さん2008/4/17　12:40　
３９ 一夢庵　さん2008/4/20　12:02　
４０モルモット増殖中　さん2008/4/24　14:40モルモット王国　
４１あい　さん2008/4/26　20:19三重県　
４２ 久しぶりの呑ちゃん　さん2008/4/30　:河童ランドの酔っぱらい　

51] ２つの三角形の和で考えました 投稿者：fisherman 投稿日：2008/04/02(Wed) 14:02 [返信]

DE=DC=AB=10√2
EB=10√2−10
ここで，Eが移るBC上の点をFとすると
△DEF≡△DCFより∠DEF=∠R
よって∠BEF=∠BFE=45°となるから
EB=BF=10√2−10
四角形DEBF=△DEB＋△DFB
　　　　　=1/2(10√2−10)(10√2＋10）
　　　　　=1/2(200−100）
　　　　　=50

　
[49] リアルタイムでやるも 投稿者：ゴンとも 投稿日：2008/04/01(Tue) 14:19 [返信]

白銀比の値を大間違えしてました。ネットで調べるも
白銀比が(1+sqrt(5))/2の次に1+sqrt(2)
やっと横が縦のsqrt(2)倍が白銀比であることがわかりました。本当に勉強になりました。
これで白銀比は忘れることはないと思います。
やり方としては以下でした。

float(10*10*sqrt(2)-10^2/2-(10*sqrt(2))^2/(2*(1+sqrt(2))));50.0・・・・・・(答え)

[46] 数学と算数で 投稿者：Ｍｒ．ダンディ（ダンディ海野改め) 投稿日：2008/04/01(Tue) 02:19 [返信]

[数学]
(1) △ＡＤＥが直角二等辺三角形より、ＤＥ＝ＤＣ＝10√2,
(2) Ｅが移ったＢＣ上の点をＧとするとＢＥ＝10√2-10　
△ＢＥＧが直角二等辺三角形より
ＥＧ＝(10√2-10)*√2＝20−10√2
(3) △ＤＧＣ＝(1/2)*(20−10√2)*10√2＝100√2−100
(4) ∴□ＡＥＢＧ＝□ＡＢＣＤ−△ＡＥＤ−△ＤＧＣ
　　　　＝100√2−50−(100√2−100)＝50

[算数]
Ｅが移ったＢＣ上の点をＧ、ＤＥとＢＣの延長線の交点をＦとすると、△ＤＦＣは直角二等辺三角形　
△ＢＥＧ＝△ＢＥＦ,△ＤＥＧ＝△ＤＣＧより　
□ＤＥＢＧ＝(1/2)*△ＤＦＣ・・・・・・・(イ)

△ＡＤＥは 50(cm^2)でＤＥを１辺とする正方形の 1/4 だから、ＤＥ(=DC)を１辺とする正方形の面積は 200(cm^2)
よって、△ＤＦＣ＝200/2＝100
したがって(イ)より、□ＤＥＢＧ＝50 (cm^2)　

と、珍しく算数でも粘ってみました。

　
[45] 相似 投稿者：shudo生 投稿日：2008/04/01(Tue) 00:43 [返信]

に気づけば割と簡単でしたね。

まず、DC＝DE＝√10＾2+10＾2＝10√2
AD=10より、CD上にAが来た点をFとし
BC間の折れ目をGとし、DGとECの交点をHとすると、
△DEH≡△DCH(∵DHは共通、DE=DC、ぴったり一致するので∠EDH∠CDH)
より、EH=CHかつDH⊥EC
△DCH∽△DGC(∵三角相当)
また、△DCH∽△ECB(∵三角相当)
∴△DGC∽△CEB（相似比√2：1）
EB＝FC=CD-FD=10（√2-1）
∴CG=10（√2-1）√2
求める面積は
□ABCD−（△AEB+△DCG）
＝10*10√2-（10*10/2+10√2*10√2（√2-1）/2）
＝100√2-（100√2-50）
＝50

　　　よって求める面積は　50(ｃu）

こんな感じではないでしょうか。