「今月の問題」 第107回 (平成20年8月)

<問題>

 上図は一辺10cmの正方形ABCDの色紙です、そして、点EFGHはそれぞれの辺の中点です。これを、上図のように折って、四角形EFGHと四角形IJKLを作りました。

ここで問題です。
四角形EFGHは四角形IJKLより何cm2大きいでしょうか

<正解者一覧表>             
正解者順位     name      メール到着日時     備 考  
 1マッキー27 さん2008/8/1 0:01愛知県 
 2NAMPOTのPOT さん2008/8/1 0:02 
 3こば さん2008/8/1 0:03 
 4nak さん2008/8/1 0:06鹿児島県 
 5Mr.ダンディ さん2008/8/1 0:07大阪府 
 6ローラ さん2008/8/1 0:08 
 7スモークマン さん2008/8/1 0:50体の芯に熱がこもってる ^^;;
 8エトランゼ さん2008/8/1 1:01 
 9ma-mu-ta さん2008/8/1 1:11東京都
10ルルゥ さん2008/8/1 3:09 
11いちもく さん2008/8/1 4:44立川市
12タカピー さん2008/8/1 6:51中学生 
13巷の夢 さん2008/8/1 6:55宮城県出身 
14SaiSai さん2008/8/1 9:45大阪市:プログラマー 
15y.okada さん2008/8/1 11:43 
16KAZU さん2008/8/1 14:53熊本 
17経友会の進作 さん2008/8/1 16:17京都府木津川市・70歳
18algebra さん2008/8/1 17:30神奈川県 
19A6 さん2008/8/1 19:20 
20ゴンとも さん2008/8/1 22:24豊川市 
21heta さん2008/8/1 23:42京都府 
22ラスカマン さん2008/8/2 0:42静岡県伊豆半島 
23 banyanyan さん2008/8/2 1:51京都府
24akira さん2008/8/2 7:13東京都 
25 まいすた さん2008/8/2 9:53 
26lapin さん2008/8/2 10:45大阪府交野市
27teki さん2008/8/2 13:53大阪府
28ヤマラー さん2008/8/2 17:34 
29kasama さん2008/8/2 17:37和歌山県プログラマ 
30 fisherman さん2008/8/2 20:12豊岡市・塾講師 
31なにわ さん2008/8/2 21:11西宮市 
32uchinyan さん2008/8/3 14:05東京都 
33数学爺 さん2008/8/3 14:19数学爺 
34省ちゃん さん2008/8/4 8:43静岡県元中学数学教師
35湘南人 さん2008/8/4 12:11神奈川県 
36やぶコウノトリ さん2008/8/4 13:23兵庫県 
37魔法使いサリン さん2008/8/4 15:30滋賀県 
38川上智弘 さん2008/8/4 21:51兵庫県出身 
39みかん星人 さん2008/8/4 22:17 
40宮 さん2008/8/4 22:33鹿児島放送大学学生
41ミルクルミ さん2008/8/5 15:37 
42阿修羅 さん2008/8/5 18:30長野県小学校教諭
43元気モリモリ さん2008/8/5 20:00 
44おとおさん さん2008/8/5 21:15 
45take さん2008/8/5 22:01 
46shinji-y さん2008/8/5 22:04 
47シュウ さん2008/8/6 0:23 
48SSO さん2008/8/6 18:17長野市出身 
49りょうた さん2008/8/7 4:45東京都 
50浪人 さん2008/8/8 3:05岩手県大船渡市
51りーくん さん2008/8/8 19:23埼玉県
52都留文太 さん2008/8/10 12:48群馬県
53信三 さん2008/8/11 5:34シリコンバレーの住人
54tomo2 さん2008/8/11 11:31東京都
55梨里沙11 さん2008/8/11 16:29小6です!!
56ハセヲ さん2008/8/11 21:44大阪府在中高校1年生
57nakakun さん2008/8/12 0:32 神奈川県
58中3(復活)!?航空アニマル さん2008/8/12 19:38東京都26市内中学3年生
59あり さん2008/8/15 13:14 
60風の旅人 さん2008/8/15 14:16愛媛県出身、大学生
61a さん2008/8/16 12:11 
62ぴーしゅん さん2008/8/19 11:37 
63とし さん2008/8/19 13:44 
64鞍馬の天狗 さん2008/8/19 15:07大阪府中二
65スカピン さん2008/8/19 22:44田舎 
66 テモ さん2008/8/24 18:38広島市の美鈴が丘 
67i さん2008/8/26 14:11神奈川県 
68taka さん2008/8/26 22:56 
69君の船 さん2008/8/28 11:48 
70ちんにくマン3世 さん2008/8/29 14:39 

 

こたえは、30cmでした。

 
[92] 一応考えてみました。 投稿者:三日月キリン 投稿日:2008/08/11(Mon) 00:13 [返信]

ちょっと不安ですが、ぱっと思いついたものを書いてみます。

------------1/3正方形-------------------

一辺が2の正方形を基に考える。
(正方形ABCD(左回り))

まず、正方形を半分にして、向かい合う二辺(AD・BC)の中点を結ぶ線を作る。
折り目をつけられた辺のそれぞれの頂点(A・D或いはB・C)から折れ線(EF)上の任意の点までの距離は等しい。
(EがAD上、FがBC上にあるとする)
辺ABを、頂点Aを中心に、頂点Bが折れ線(EF)に接するように折る。
辺DCも同様にする。
すると、一辺が正三角形ADB(ADC)が出来る。
このとき、EF上にある正三角形の頂点をGとする。
また、線AGを延長し、辺BCと交わる点をHとする。

三角形ADGは正三角形であるから、
∠GABは30度、
∠ABHは90度なので、
∠AHBは60度。
よって、三角形AHBは1:2:(ルート)3の三角形となる。

------------------------------------------------------

辺の比から、2:X=(ルート)3:1より、BHの長さは2/(ルート)3.
よって、他の辺に対し同様の作業を行うと、もとの正方形の1/3になると思います。

折るだけで出来る(計算あってますよね?)と思うので、
一応簡単かな〜と思ったんですが、説明しきれてません。
ごめんなさい。

 
[91] 訪問ありがとうございます 投稿者:yoshioka(管理人) 投稿日:2008/08/10(Sun) 20:05 [返信]

今月も、50人を超える方に訪問していただき感謝しています。
皆さんにとっては、単純すぎる問題かもしれませんが、1/5のの正方形が簡単に出来るということは、中学生にも是非知らせたいと思います。

ところで皆さんに質問しますが、1/3の正方形は簡単に出来ないのでしょうか。もし、可能であるならば是非教えていただけませんか。


 
[90] よく見かける図形 投稿者: 投稿日:2008/08/04(Mon) 22:31 [返信]

右の図はよく見かけるものだと思います。面積は右のほうは周囲の三角形を台形の方に移動させて正方形を4つ作ります。そうすると、十字型に5つの正方形ができ、そのうちの一つが求める面積なので10×10÷5=20。左の図は正方形の半分なので10×10÷2=50。
よって、差は50-20=30

 
[89] またまた忘れていましたorz。 投稿者:banyanyan 投稿日:2008/08/02(Sat) 02:00 [返信]

こんな感じで



 
[88] 久々の回答です。 投稿者:三日月キリン 投稿日:2008/08/01(Fri) 23:35 [返信]

相似で求めましたが、相似であることの説明を書くの面倒ですね〜
中学生のころは面白がってやってたのに・・・
きれいなやり方を忘れてしまいました。

--------以下自分なりの回答です-------------

正方形の中点を結んだので、三角形CDH・ACG・GEAはそれぞれ合同である。
平行線の錯角は等しいので、∠EAGと∠CGKは等しい。
以上の点から、三角形AGC・CGK・ACKは相似の関係にある。
AC:GC=2:1より、GK:CK=1:2、CK:AK=1:2であるから、
GK:AK=1:4となる。
三平方の定理より、AG=5(ルート5)より、AK=4(ルート5)。
CK:AK=1:2であり、三角形ACK・CDL・DBI・BAJは合同名三角形であるから、
四角形ACDBから一辺4(ルート5)の正方形の面積を引くと、
四角形IJKLの面積を求めることができ、
20(cm^2)となる。

左図四角形EFGHは、50(cm^2)であるから、答えは30(cm^2)
(以上

------------------------------------------

う〜ん、自分で書いててもわかりにくいな〜。



 
[87] 無題 投稿者:intel 投稿日:2008/08/01(Fri) 23:10 [返信]

今回は相似比(面積比)を用いて解いてみました。

 
[86] 簡単すぎでした 投稿者:ゴンとも 投稿日:2008/08/01(Fri) 22:22 [返信]

右の正方形が切り貼りでピンクの正方形5個=10^2
よりピンクの正方形=10/2/2=20
一方で左のオレンジの正方形2個=10^2
よりオレンジの正方形=10^2/2=50
これと先の正方形との面積差は50-20=30・・・・・・(答え)

暑すぎで問題がでることを忘れてました。
 

 
[85] 年老いて尚、日々勉強・・・ 投稿者:経友会の進作 投稿日:2008/08/01(Fri) 16:24 [返信]

 正方形の面積の1/5の面積を作る方法、しかと覚えました。
いつもご指導有り難うございます。姫路に住んでいる中三の
孫も勉強モード全開のようです。この爺も勉強モード全開。

 
[84] 8月問題の解法 投稿者:Mr.ダンディ 投稿日:2008/08/01(Fri) 00:45 [返信]

□EFGH=□ABCD/2=50(cm^2)
中点連結定理より AG//ED,EB//CH
例えばCHなら、CK:KL:LH=2:2:1・・・・(i)
このあと

[解法1](数学による解法)
HD=5 ,CD=10
三平方の定理より、CH=5√5
(i)より KL=5√5*(2/5)=2√5
よって、□IJKL=(2√5)^2=20 ・・・

[解法2](算数による解法)
△CGKを、Gを中心として180°回転させたとき
Kの移動先をK'とします。
すると図形KGK'DLは正方形となり、□KK'DL=□IJKL
ゆえに、△CDL=△DBI=△BAJ=△ACK=□IJKL
よって、□IJKL=□ABCD/5  ・・・

とりあえず[解法1]で答えを出してから、[解法2]でも出しました。
元の正方形の1/5になる正方形を作るこのような方法は知りませんでした。(いいことを教えてもらいました)