「今月の問題」　第１０７回　（平成２０年８月）

＜問題＞

　上図は一辺10cmの正方形ABCDの色紙です、そして、点EFGHはそれぞれの辺の中点です。これを、上図のように折って、四角形EFGHと四角形IJKLを作りました。

ここで問題です。
四角形EFGHは四角形IJKLより何cm2大きいでしょうか。

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１マッキー２７　さん2008/8/1　0:01愛知県　
　２NAMPOTのPOT　さん2008/8/1　0:02　
　３こば　さん2008/8/1　0:03　
　４nak　さん2008/8/1　0:06鹿児島県　
　５Ｍｒ．ダンディ　さん2008/8/1　0:07大阪府　
　６ローラ　さん2008/8/1　0:08　
　７スモークマン　さん2008/8/1　0:50体の芯に熱がこもってる ^^;;
　８エトランゼ　さん2008/8/1　1:01　
　９ma-mu-ta　さん2008/8/1　1:11東京都
１０ルルゥ　さん2008/8/1　3:09　
１１いちもく　さん2008/8/1　4:44立川市
１２タカピー　さん2008/8/1　6:51中学生　
１３巷の夢　さん2008/8/1　6:55宮城県出身　
１４SaiSai　さん2008/8/1　9:45大阪市：プログラマー　
１５y.okada　さん2008/8/1　11:43　
１６KAZU　さん2008/8/1　14:53熊本　
１７経友会の進作　さん2008/8/1　16:17京都府木津川市・70歳
１８algebra　さん2008/8/1　17:30神奈川県　
１９A6　さん2008/8/1　19:20　
２０ゴンとも　さん2008/8/1　22:24豊川市　
２１heta　さん2008/8/1　23:42京都府　
２２ラスカマン　さん2008/8/2　0:42静岡県伊豆半島　
２３ banyanyan　さん2008/8/2　1:51京都府
２４akira　さん2008/8/2　7:13東京都　
２５ まいすた　さん2008/8/2　9:53　
２６lapin　さん2008/8/2　10:45大阪府交野市
２７teki　さん2008/8/2　13:53大阪府
２８ヤマラー　さん2008/8/2　17:34　
２９kasama　さん2008/8/2　17:37和歌山県プログラマ　
３０ fisherman　さん2008/8/2　20:12豊岡市・塾講師　
３１なにわ　さん2008/8/2　21:11西宮市　
３２uchinyan　さん2008/8/3　14:05東京都　
３３数学爺　さん2008/8/3　14:19数学爺　
３４省ちゃん　さん2008/8/4　8:43静岡県元中学数学教師
３５湘南人　さん2008/8/4　12:11神奈川県　
３６やぶコウノトリ　さん2008/8/4　13:23兵庫県　
３７魔法使いサリン　さん2008/8/4　15:30滋賀県　
３８川上智弘　さん2008/8/4　21:51兵庫県出身　
３９みかん星人　さん2008/8/4　22:17　
４０宮　さん2008/8/4　22:33鹿児島放送大学学生
４１ミルクルミ　さん2008/8/5　15:37　
４２阿修羅　さん2008/8/5　18:30長野県小学校教諭
４３元気モリモリ　さん2008/8/5　20:00　
４４おとおさん　さん2008/8/5　21:15　
４５take　さん2008/8/5　22:01　
４６shinji-y　さん2008/8/5　22:04　
４７シュウ　さん2008/8/6　0:23　
４８SSO　さん2008/8/6　18:17長野市出身　
４９りょうた　さん2008/8/7　4:45東京都　
５０浪人　さん2008/8/8　3:05岩手県大船渡市
５１りーくん　さん2008/8/8　19:23埼玉県
５２都留文太　さん2008/8/10　12:48群馬県
５３信三　さん2008/8/11　5:34シリコンバレーの住人
５４tomo2　さん2008/8/11　11:31東京都
５５梨里沙11　さん2008/8/11　16:29小６です！！
５６ハセヲ　さん2008/8/11　21:44大阪府在中高校1年生
５７nakakun　さん2008/8/12　0:32 神奈川県
５８中3(復活)!?航空アニマル　さん2008/8/12　19:38東京都26市内中学3年生
５９あり　さん2008/8/15　13:14　
６０風の旅人　さん2008/8/15　14:16愛媛県出身、大学生
６１a　さん2008/8/16　12:11　
６２ぴーしゅん　さん2008/8/19　11:37　
６３とし　さん2008/8/19　13:44　
６４鞍馬の天狗　さん2008/8/19　15:07大阪府中二
６５スカピン　さん2008/8/19　22:44田舎　
６６ テモ　さん2008/8/24　18:38広島市の美鈴が丘　
６７i　さん2008/8/26　14:11神奈川県　
６８taka　さん2008/8/26　22:56　
６９君の船　さん2008/8/28　11:48　
７０ちんにくマン３世　さん2008/8/29　14:39　

　

こたえは、３０ｃｍ２でした。

　
[92] 一応考えてみました。 投稿者：三日月キリン 投稿日：2008/08/11(Mon) 00:13 [返信]

ちょっと不安ですが、ぱっと思いついたものを書いてみます。

------------１／３正方形-------------------

一辺が２の正方形を基に考える。
（正方形ＡＢＣＤ（左回り））

まず、正方形を半分にして、向かい合う二辺(ＡＤ・ＢＣ)の中点を結ぶ線を作る。
折り目をつけられた辺のそれぞれの頂点(Ａ・Ｄ或いはＢ・Ｃ)から折れ線（ＥＦ）上の任意の点までの距離は等しい。
（ＥがＡＤ上、ＦがＢＣ上にあるとする）
辺ＡＢを、頂点Ａを中心に、頂点Ｂが折れ線（ＥＦ）に接するように折る。
辺ＤＣも同様にする。
すると、一辺が正三角形ＡＤＢ（ＡＤＣ）が出来る。
このとき、ＥＦ上にある正三角形の頂点をＧとする。
また、線ＡＧを延長し、辺ＢＣと交わる点をＨとする。

三角形ＡＤＧは正三角形であるから、
∠ＧＡＢは30度、
∠ＡＢＨは90度なので、
∠ＡＨＢは60度。
よって、三角形ＡＨＢは１：２：（ルート)３の三角形となる。

------------------------------------------------------

辺の比から、２：Ｘ＝(ルート)３：１より、ＢＨの長さは２／（ルート）３．
よって、他の辺に対し同様の作業を行うと、もとの正方形の1／3になると思います。

折るだけで出来る(計算あってますよね？)と思うので、
一応簡単かな〜と思ったんですが、説明しきれてません。
ごめんなさい。

　
[91] 訪問ありがとうございます 投稿者：yoshioka(管理人） 投稿日：2008/08/10(Sun) 20:05 [返信]

今月も、５０人を超える方に訪問していただき感謝しています。
皆さんにとっては、単純すぎる問題かもしれませんが、1/5のの正方形が簡単に出来るということは、中学生にも是非知らせたいと思います。

ところで皆さんに質問しますが、１／３の正方形は簡単に出来ないのでしょうか。もし、可能であるならば是非教えていただけませんか。


　
[90] よく見かける図形 投稿者：宮 投稿日：2008/08/04(Mon) 22:31 [返信]

右の図はよく見かけるものだと思います。面積は右のほうは周囲の三角形を台形の方に移動させて正方形を4つ作ります。そうすると、十字型に5つの正方形ができ、そのうちの一つが求める面積なので10×10÷5=20。左の図は正方形の半分なので10×10÷2=50。
よって、差は50-20=30

　
[89] またまた忘れていましたorz。 投稿者：banyanyan 投稿日：2008/08/02(Sat) 02:00 [返信]

こんな感じで



　
[88] 久々の回答です。 投稿者：三日月キリン 投稿日：2008/08/01(Fri) 23:35 [返信]

相似で求めましたが、相似であることの説明を書くの面倒ですね〜
中学生のころは面白がってやってたのに・・・
きれいなやり方を忘れてしまいました。

--------以下自分なりの回答です-------------

正方形の中点を結んだので、三角形CDH・ACG・GEAはそれぞれ合同である。
平行線の錯角は等しいので、∠EAGと∠CGKは等しい。
以上の点から、三角形AGC・CGK・ACKは相似の関係にある。
AC：GC＝2:1より、GK：CK＝1:2、CK：AK＝1:2であるから、
GK：AK＝1:4となる。
三平方の定理より、AG＝5(ルート5）より、AK＝4（ルート5）。
CK：AK＝1:2であり、三角形ACK・CDL・DBI・BAJは合同名三角形であるから、
四角形ACDBから一辺4（ルート5）の正方形の面積を引くと、
四角形IJKLの面積を求めることができ、
20（cm^2）となる。

左図四角形EFGHは、50（cm^2）であるから、答えは30（cm^2）
（以上

------------------------------------------

う〜ん、自分で書いててもわかりにくいな〜。



　
[87] 無題 投稿者：intel 投稿日：2008/08/01(Fri) 23:10 [返信]

今回は相似比（面積比）を用いて解いてみました。

　
[86] 簡単すぎでした 投稿者：ゴンとも 投稿日：2008/08/01(Fri) 22:22 [返信]

右の正方形が切り貼りでピンクの正方形5個=10^2
よりピンクの正方形=10/2/2=20
一方で左のオレンジの正方形2個=10^2
よりオレンジの正方形=10^2/2=50
これと先の正方形との面積差は50-20=30・・・・・・(答え)

暑すぎで問題がでることを忘れてました。
　

　
[85] 年老いて尚、日々勉強・・・ 投稿者：経友会の進作 投稿日：2008/08/01(Fri) 16:24 [返信]

　正方形の面積の1/5の面積を作る方法、しかと覚えました。
いつもご指導有り難うございます。姫路に住んでいる中三の
孫も勉強モード全開のようです。この爺も勉強モード全開。

　
[84] ８月問題の解法 投稿者：Ｍｒ．ダンディ 投稿日：2008/08/01(Fri) 00:45 [返信]

□ＥＦＧＨ＝□ＡＢＣＤ/２＝50（ｃｍ^2）
中点連結定理より ＡＧ//ＥＤ,ＥＢ//ＣＨ
例えばＣＨなら、ＣＫ：ＫＬ：ＬＨ＝2：2：1・・・・(i)
このあと

[解法1]（数学による解法）
ＨＤ＝5 ,ＣＤ＝10
三平方の定理より、ＣＨ＝5√5
(i)より　ＫＬ＝5√5*(2/5)＝2√5
よって、□ＩＪＫＬ＝(2√5)^2＝20　・・・

[解法2](算数による解法)
△ＣＧＫを、Ｇを中心として180°回転させたとき
Ｋの移動先をＫ'とします。
すると図形ＫＧＫ'ＤＬは正方形となり、□ＫＫ'ＤＬ＝□ＩＪＫＬ
ゆえに、△ＣＤＬ＝△ＤＢＩ＝△ＢＡＪ＝△ＡＣＫ＝□ＩＪＫＬ
よって、□ＩＪＫＬ＝□ＡＢＣＤ/５　　・・・

とりあえず[解法1]で答えを出してから、[解法2]でも出しました。
元の正方形の1/5になる正方形を作るこのような方法は知りませんでした。（いいことを教えてもらいました）