「今月の問題」　第１１７回　（平成２１年６月）

＜問題＞

　左図を見てください。４×４の正方形の方陣に１〜１６の１つずつ数字を配置し、完全方陣を作成したいと思います。
　完全方陣とは、縦・横・対角線のいずれの列についても、その列の数字の合計が同じにしたものです。さらに、下図のように、斜め方向の和が、対角線以外でも等しくなり、任意の2×2の固まりの合計も同じ数字になるというものです。

ここで、問題です。この魔方陣を完成したときの、Gに当てはまる数字はいくらになるでしょうか。

　

＜ミニ知識　　完全方陣＞

 　以前、魔方陣の問題を出題したときに 3×3 の解は、１通りだけしかなく、魔方陣 4×4 の解は、８８０通りあることを示しました。しかしながら、完全方陣となると限定され、Ｇの値は決まるように思われます。
完全方陣とは、魔方陣の条件を厳しくして、以下のように赤色をつけた４つの数字の和が、どこを計算しても等しくなるものです。

＜正解者一覧表＞　 　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１ma-mu-ta さん2009/6/1　0:07東京都　
　２ラスカマン さん2009/6/1　0:08静岡県伊豆半島
　３す さん2009/6/1　0:27城崎
　４Ｍｒ.ダンディ さん2009/6/1　0:42大阪府
　５信三 さん2009/6/1　1:16ゴールデンゲイトパークの隠居
　６数学爺 さん2009/6/1　1:17神奈川県
　７ガウス さん2009/6/1　2:23福岡県Ｍ高校出身
　８鯨鯢(Keigei) さん2009/6/1　5:34中将棋盤から　
　９ゴンとも さん2009/6/1　6:53　
１０経友会の進作 さん2009/6/1　7:44京都府木津川市・７０歳
１１algebra さん2009/6/1　10:33神奈川県　
１２uchinyan さん2009/6/1　11:11東京都　
１３次郎長 さん2009/6/1　11:52もう既に蒸し暑いぞ兵庫県
１４スモークマン さん2009/6/1　14:09目指してるけど...囲碁5段...^^
１５やぶこうのとり さん2009/6/1　14:10　
１６ＧＯＧＯＧＩＡＮＴＳさん2009/6/1　17:52　
１７りさちゃん さん2009/6/1　17:53　
１８反車(Hensha) さん2009/6/1　18:36　
１９nak さん2009/6/1　18:38鹿児島県　
２０ まいすた　さん2009/6/1　20:47　
２１鞍馬の天狗 さん2009/6/1　21:03大阪府中三　
２２マッキー２７ さん2009/6/1　21:33愛知県　
２３ ゆうり　さん2009/6/1　22:33神奈川県、作曲家　
２４fisherman さん2009/6/2　0:20豊岡市・塾講師
２５oguchan1 さん2009/6/2　0:29鹿児島県　
２６元気モリモリ さん2009/6/2　12:23宮崎県　
２７男はつらいよ さん2009/6/2　12:56神奈川県　
２８りーくん さん2009/6/2　20:18埼玉県　
２９巷の夢 さん2009/6/3　6:45宮城県出身　
３０川上智弘 さん2009/6/3　8:09兵庫県　
３１ＫＡＺ さん2009/6/3　14:29熊本県　
３２ルルゥ さん2009/6/3　15:15　
３３９期生 さん2009/6/3　16:42初芝立命館中学校
３４teki さん2009/6/3　21:54大阪府　
３５宮 さん2009/6/4　0:10鹿児島県　
３６ いちもく さん2009/6/4　20:11立川市　
３７理科ちゃんマン さん2009/6/5　12:43理科の塾講師＠兵庫県
３８pao さん2009/6/5　22:15　
３９wowka さん2009/6/6　14:58静岡県　
４０Ｔ さん2009/6/8　4:34小学校教諭　
４１to さん2009/6/8　4:37　
４２ 90.9cm　さん2009/6/9　5:42　
４３そんなの関係ねえ さん2009/6/10　15:01　
４４ IMT さん2009/6/11　16:43　
４５香車 さん2009/6/12　20:02　
４６おとおさん さん2009/6/12　22:26　
４７ken36 さん2009/6/13　12:48北海道　
４８浜田　明巳 さん2009/6/13　13:48　
４９サツキ さん2009/6/15　2:23　
５０あ さん2009/6/17　6:23　
５１みーさん さん2009/6/18　21:51山口県　
５２kasama さん2009/6/18　22:55和歌山県プログラマ
５３阿修羅 さん2009/6/22　12:01長野県小学校教諭
５４黒アイス さん2009/6/26　21:59地球上のどこか
５５マグロ皇帝 さん2009/6/29　23:37茨城県south park
５６N さん2009/6/30　13:29　

答えは、８でした。
[233] 初めまして 投稿者：sonakoi 投稿日：2009/06/17(Wed) 00:15 [返信]

初めまして、sonakoiと申します。
偶然問題を発見して、興味があったのでやってみました。
いろいろと考えてどうにかできました。

　
[232] 無題 投稿者：wowka 投稿日：2009/06/06(Sat) 14:57 [返信]

ならべて、平均３４と判断。
それを元に試行錯誤(^^;)

　
[231] 全体的な 投稿者：pao 投稿日：2009/06/05(Fri) 22:51 [返信]

パターンは２通りあるみたいですね。

　
[230] 縦横ななめの合計数 投稿者：teki 投稿日：2009/06/04(Thu) 22:59 [返信]

魔方陣の場合、縦、横、ななめの合計数はすぐ計算できます。
３×３の魔方陣の場合は、狽X÷３＝１５
４×４の魔方陣の場合は、狽P６÷４＝３４

一般的に、ｎ×ｎの魔方陣に１〜ｎ＾２を入れる場合、
煤iｎ＾２）÷ｎ　が縦、横、ななめの合計数になります。

　
[229] 完全魔法陣 投稿者：teki 投稿日：2009/06/04(Thu) 10:10 [返信]

試行錯誤で

　６　１２　　７　　９
１５　　１　１４　　４
１０　　８　１１　　５
　３　１３　　２　１６

　
[228] 無題 投稿者：fisherman 投稿日：2009/06/02(Tue) 00:36 [返信]

第一感は連立方程式ですが、眠くて、どこで式を立てるか考えるのが面倒でした。ですから、アナログ的に次のように考えてみました。縦右斜めの列で1と16（最小の数と最大の数）があります。1から16の自然数の数列で6は小さい方から6番目なので、大きい方から6番目の11がＨに入ると予想しました。そうすると和が34になるので、後は順に当てはめ、8を得ました。
もしかして、何か根拠があるのかも？

　
[227] 無題 投稿者：ゆうり 投稿日：2009/06/01(Mon) 22:33 [返信]

これって、未知数の数以上の一次方程式ができるのですが、
それらが全て独立ではなく、従属であることの証明ってできますかね。

　
[225] 久しぶりに参戦 投稿者：鞍馬の天狗 投稿日：2009/06/01(Mon) 21:02 [返信]

完成した時の達成感は病み付きになります

　
[224] 連立一次方程式 投稿者：やぶコウノトリ 投稿日：2009/06/01(Mon) 16:05 [返信]

C+F =34-(6+3)=25 ------ @
C+F+G=34-1 =33 ------ A

G=Aー@＝33-25＝8　　

　　　答え　Ｇ＝8


　
[223] 試行錯誤 ^^: 投稿者：スモークマン 投稿日：2009/06/01(Mon) 14:00 [返信]

左3個分だけでも何回目かにビンゴ♪
残りの情報がないと答えは複数になるんだろうか・・・？

　
　
[222] Re:[220] wikipediaによると 投稿者：ゴンとも 投稿日：2009/06/01(Mon) 13:39 [返信]

>n=5でも今から作ってみようと
>思うもn=4よりもだいぶ大変そうなのでやめときます。

調べると
n=4で48(=3*16)
n=5で3600(=144*25)
()は完全魔方陣の行や列をシフトしても．また完全魔方陣になるからn=4で3,n=5で144でもあるみたいです。

　
[221] 今月末で７１歳です・・・ 投稿者：経友会の進作 投稿日：2009/06/01(Mon) 07:54 [返信]

　いよいよ６月になりました。今月末に７１歳になります。
まだまだ頑張りますぞ。
　今月の問題、朝起きてからチャレンジしましたから、出題
時のトラブルも知らず。いつもながら楽しい問題ありがとう
ございます。

　
[220] wikipediaによると 投稿者：ゴンとも 投稿日：2009/06/01(Mon) 06:42 [返信]

一辺nが4以上でかつ n≠4k+2 の時、完全方陣が作成可能である。
とありました。n=5でも今から作ってみようと
思うもn=4よりもだいぶ大変そうなのでやめときます。


　
[219] ミスをしました。ごめんなさい。 投稿者：よしおか（管理人） 投稿日：2009/06/01(Mon) 05:48 [返信]

ＦとＧとタイピングのミスをしました。ごめんなさい。
答えを、１つに決めるために、できるだけ条件を少なくしたつもりですがどうでしょうか。

　
[218] Re:[217] 問題はF 投稿者：ma-mu-ta 投稿日：2009/06/01(Mon) 01:52 [返信]

> 「Ｆ」ならば確定せず、13でも10でも正解ですね。

Mr.ダンディさんの仰るとおり入れ替え可能ですね。
対角線は決まりますから、2種類作れることになりますね。面白い！

06,15,04,09---06,12,07,09
12,01,14,07---15,01,14,04
13,08,11,02---10,08,11,05
03,10,05,16---03,13,02,16

（位置をそろえるために1桁の数は0を使いました。）

　
[217] Re:[216] 問題はF 投稿者：Mr.ダンディ 投稿日：2009/06/01(Mon) 01:22 [返信]

> しかし、問題をよく見ると、Fにあてはまる数字が問われています。Fならば13ですね。

あっ 本当だ！　「一意性」及び「ミニ知識のところの文章」からすると「Ｇのとこ
ろの数はいくらでしょう」のタイプミスでしょう。

「Ｆ」ならば確定せず、13でも10でも正解ですね。
（ma-mu-taさんが完成された完全方陣において、AとB,CとF,JとK,IとE の数をすべて
入れ替えたものも完全方陣になるようです）

解くのは簡単でしたが、これだけ条件を厳しくしても魔方陣が完成することには驚かされました。

　
[216] 問題はF 投稿者：ma-mu-ta 投稿日：2009/06/01(Mon) 00:35 [返信]

Gが大きく書いてありましたのでGだと思い込んで、G＝8を送りました。また、こちらの認証も8で通りました。
しかし、問題をよく見ると、Fにあてはまる数字が問われています。Fならば13ですね。