「今月の問題」　第１２０回　（平成２１年９月）


　

＜問題＞

　左の計算を見てください。今、１１から９９までの２桁の自然数の十の位と一の位を反対に足し合わせると、ほとんどの数が２４＋４２＝６６のように結果が回文数になります。３９の場合は１３２になりますが、高い位と低い位を反対にたしあわせると、２回目で３４３と回文数になります。９９の場合は６回の操作でようやく回文数が出てきます。

　ここで問題です。２桁のある数は、この操作を繰り返しようやく、１０桁をこえる回文数になりました。この時の回文数はいくらになるでしょうか。

　

　

＜ミニ知識　　回文数とは　　にわとりと小鳥とワニ　＞

 　回文数とは、14641のように逆から数字を読んでも同じ数になる数である。逆から読んでも同じになる回文から名付けられた。代表的なものとしては、ある性質を持った回文数として、以下のようなものがよく知られている。

回文素数
2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, …
回文平方数
0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, …

　

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１まるケン さん2009/9/1　0:11東京都　
　２鯨鯢(Keigei) さん2009/9/1　0:14　
　３ma-mu-ta さん2009/9/1　2:53東京都　
　４ルルゥ さん2009/9/1　5:11新潟市　
　５いちもく さん2009/9/1　5:47立川市　
　６反車(Hensha) さん2009/9/1　6:26中将棋盤から　
　７巷の夢 さん2009/9/1　9:34　
　８IMT さん2009/9/1　9:55　
　９す さん2009/9/1　10:02城崎　
１０Ｍｒ.ダンディ さん2009/9/1　11:19大阪府　
１１uchinyan さん2009/9/1　11:22東京都　
１２男はつらいよ さん2009/9/1　12:29神奈川県　
１３スモークマン さん2009/9/1　12:49目指せ囲碁5段!
１４次郎長 さん2009/9/1　13:50残暑？秋？兵庫県
１５信三 さん2009/9/1　14:10ゴールデンゲイトパークの隠居
１６てるてるぼうず さん2009/9/1　15:14　
１７数学爺 さん2009/9/1　17:53神奈川県
１８algebra さん2009/9/1　18:31神奈川県
１９ まいすた　さん2009/9/1　19:40　
２０りーくん さん2009/9/1　21:37埼玉県
２１fisherman さん2009/9/1　22:39豊岡市・塾講師
２２teki さん2009/9/1　22:46大阪府
２３黒アイス さん2009/9/1　22:52日本のどっか
２４nak さん2009/9/2　1:26鹿児島県
２５経友会の進作 さん2009/9/2　9:52京都府木津川市・７１歳
２３ガウス さん2009/9/2　10:07福岡県
２４川上智弘　さん2009/9/2　23:42兵庫県
２５ラスカマン さん2009/9/3　1:15静岡県伊豆半島
２６やぶコウノトリ さん2009/9/3　9:38兵庫県
２７元気モリモリ さん2009/9/3　19:14宮崎県
２８こう さん2009/9/4　8:53　
２９ハチタロウ さん2009/9/4　15:03愛媛県
３０マッキー２７ さん2009/9/5　17:10愛知県
３１教祖仲秋 さん2009/9/7　1:45静岡県高校生
３２ＫＡＺ さん2009/9/7　7:56熊本県
３３せひんかにるん さん2009/9/7　15:39　
３４ゴンとも さん2009/9/7　1:44豊川市
３５理科ちゃんマン さん2009/9/9　20:58理科の塾講師＠兵庫県
３６kasama さん2009/9/9　23:25和歌山県プログラマ
３７阿修羅　さん2009/9/10　12:10長野県小学校教諭
３８湘南人　さん2009/9/18　16:10神奈川県
３９ ishitanepepe　さん2009/9/25　16:28　
４０oguchan1　さん2009/9/26　23:27鹿児島県

[298] 今回は 投稿者：ゴンとも 投稿日：2009/09/08(Tue) 01:42 [返信]

答えが長くて楽しめました。
これからもよろしくお願いします。

　
[297] 基本に忠実 訂正 投稿者：やぶコウノトリ 投稿日：2009/09/04(Fri) 14:46 [返信]

「同文数」⇒　「回文数」　のワ−プロミスです！！

　
[296] 基本に忠実 投稿者：やぶコウノトリ 投稿日：2009/09/03(Thu) 16:51 [返信]

１０の位の数をa 、１の位の数をbとする。

元の数：Ｘ＝10a＋b

入れ替えた数：Ｙ＝10b＋a

Ｘ＋Ｙ＝（10a＋b）＋（10b＋a）＝11（a＋b）

２≦a＋b≦18

明らかに　　２≦a＋b≦9　のとき　Ｘ＋Ｙは同文数

a＋b＝10　のとき　Ｘ＋Ｙ＝110　　　110＋011＝121　　　　　　　　　　　　　　　同文数
a＋b＝11　のとき　Ｘ＋Ｙ＝121　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　同文数
a＋b＝12　のとき　Ｘ＋Ｙ＝132　　　132＋231＝363　　　　　　　　　　　　　　　同文数
a＋b＝13　のとき　Ｘ＋Ｙ＝143　　　143＋341＝484　　　　　　　　　　　　　　　同文数
a＋b＝14　のとき　Ｘ＋Ｙ＝154　　　154＋451＝605　605+506＝1111　　　　　　　同文数
a＋b＝15　のとき　Ｘ＋Ｙ＝165　　　165＋561＝726　726+627＝1353　　　　　
1353+3531＝4884　　　　　　　　　　　　　　同文数
a＋b＝16　のとき　Ｘ＋Ｙ＝176　　　176＋671＝847　　847+748＝1595
1595+5951＝7546　　　7546+6457＝12408　　12408+80421＝92829　　　 　　同文数
a＋b＝18　のとき　Ｘ＋Ｙ＝198　198+891＝1089　　1089+9801＝10890
10890+09801＝20691　20691+19602＝40293　40293+39204＝79497　　 　　　同文数

以上より　a＋b＝17　　すなわち　89　または　98　のとき　10桁を超える。

計算をすると　　　8813200023188 　　　　となる。




　
[289] できました 投稿者：西面 投稿日：2009/09/02(Wed) 16:47 [返信]

パソコンを使ってやりましたができたら達成感があります。
この問題は2年の式の計算の発展ですね。生徒で興味のある生徒にもチャレンジしてほしいですね。10年おめでとうございます。


　
[288] おめでとうございます・・・ 投稿者：経友会の進作 投稿日：2009/09/02(Wed) 10:07 [返信]

　吉岡先生は県の北部、僕は南部に住んでおりますが、
親戚のようなつもりでチャレンジさせて頂いております。
　10年とは長いですね。ご苦労様でした。この71歳の爺も
まだまだ頑張ります。今後ともよろしく。


　
[287] めっちゃ大変 投稿者：黒アイス 投稿日：2009/09/01(Tue) 22:53 [返信]

これはパソコンの電卓を使わないと無理ですね。

　
[286] 何かのパズル本で 投稿者：teki 投稿日：2009/09/01(Tue) 22:51 [返信]

読んだ記憶があります。
回文数のことを「パリンドローム数」と言ってました。
問題を見たとたん、元の数が８９又は９８であることは、わかりましたが、手計算するのは結構面倒でした(^^::

　
[285] おめでとうございます 投稿者：igyora 投稿日：2009/09/01(Tue) 19:09 [返信]

実に面白い！！！当たると幸福感に満たされます。

　
[284] 10年は長〜い 投稿者：次郎長 投稿日：2009/09/01(Tue) 13:52 [返信]

おめでとうございます。

最近、2桁以上の足し算は苦手です。数限りなく、計算ミスを繰り返した挙句、正解にたどり着きました。

参りました。

　
[283] 10年継続　おめでとうございます 投稿者：Mr.ダンディ 投稿日：2009/09/01(Tue) 13:04 [返信]

10年ですか。10年も継続されてこられたことに敬服いたします。
身近にありそうな題材が殆んどで、取り組みながら大いに楽しませてもらい、有難
うございました。(ちなみに私は第84回からの参加で前回で丁度3年でした）
今後とも宜しくお願い致します。

今回の問題ですが、試行をなるべく少なくするために次のように考えました。
(1) 元の２桁の数の各位の和が１桁の場合は１回の操作で回文になるので除外し、
(２桁の数の各位の和)＝10＋a とおきます。(a=8 の場合は99のときだから、a≦7）
1回操作後の(百位の数,十位の数,一位の数)＝(1,a+1,a)

(2) 2回操作後の数は 100(a+1)+10(2a+2)+(a+1)　百位からの繰上りがないから、
2a+2≧10 でないと回文になってしまいます。・・・→　4≦ａ≦7
2回操作後の(百位の数,十位の数,一位の数)＝(a+2,2a-8,a+1)

(3) 3回操作後の数をＡとおくと
Ａ＝100(2a+3)+10(2a+2)+(a+1)＝1000+100(2a-7)+10(4a-15)+(2a-7)　となります。
(4)
a＝4 のとき Ａ＝1111 となり 3回目で回文
a＝5 のとき Ａ＝1353 となり 続けると… 4回目に回文（4884）
a＝6 のとき Ａ＝1595 となり 続けると… 6回目に回文（44044）
a＝7 のときＡ＝1837 となり 続けると… 23回目に 8813200023188 という回文になりました。

計算ミスをしながら、本当に回文になるのかと疑心暗鬼で大変でした。
（楽にする方法はあるのかな〜 ？）

[282] ひたすら計算 ^^; 投稿者：スモークマン 投稿日：2009/09/01(Tue) 12:35 [返信]

祝10年♪
これからも楽しませていただきます〜m(_ _)mv

この問題いい方法ってあるのでしょうか・・・？

　
[281] 単純だけど面倒だった．．． 投稿者：uchinyan 投稿日：2009/09/01(Tue) 11:25 [返信]

よしおかさん，10年目，おめでとうございます。

　
[280] 長い答え 投稿者：す 投稿日：2009/09/01(Tue) 10:06 [返信]

Excel2003のシートで計算していたら12桁目で丸められてしまいました。
12桁以上についてはWindowsの電卓（関数電卓のモード）で計算しました。
それにしても今回は長い答えでしたね。

　
[279] １０年続けることができました 投稿者：よしおか（管理人） 投稿日：2009/09/01(Tue) 01:24 [返信]

１２０回目の問題に挑戦していただきありがとうございました。皆さんのお陰で、数学の教師を「生きがい」を持って、勤務させて頂いているように思います。今月の問題で、１０年間続けたことになるようです。本当にありがとうございました。

今月の問題は、現任校の中学校２年生が、課題学習として取り組んだものです。何とこの問題を手計算で、求めた生徒も何人かいたことに感心させられました。

今後とも宜しくお願いします。