「今月の問題」　第７回　解答（平成１２年４月）

＜問題＞

左図のように、正方形ＡＢＣＤがあります。
その中に正三角形ＣＥＦを作りました。
この時、①三角形ACEの面積：②三角形ＢEFの面積：③三角形CＤFの面積を
求めて下さい。

（ただし、①と②と③の順番は、考えないものとする。）

答は、１：２：１です

sambaGREENさんの解答
ポイントは，対称性から，
①と③が，１５°，７５°，９０°の直角三角形
②が直角二等辺三角形となることでしょうか。

数学的解法
　正方形の１辺を１として，ＢＦ＝ｘとすると，ＦＤ＝１－ｘ
　ＥＦ＝ＣＦから，　２ｘ^2＝１＋（1-ｘ）^2　を解いて，ｘ＝－１＋√３
　よって，ＢＦ＝－１＋√３，ＦＤ＝２－√３　から
　②：③＝（－１＋√３）^2：（２－√３）＝（４－２√３）：（２－√３）＝２：１

算数的解法
　正三角形の１辺を１とすると，
　②＝１×１÷２÷２＝１／４
　①と③をくっつけて，頂角３０°の二等辺三角形ＣＥＦをつくる。
　ＣＦ＝ＣＥ＝１で，ＥからＣＦに下ろした垂線の長さは１/２・・・※
　　①＋③＝１×（１／２）÷２＝１／４
　よって，②＝①＋③
※　３０°三角定規の２：１は受験算数では必須アイテムです。

＠ＪＪＪＪＪＪさんの解答
三角形ＣＥＦ正三角形だから、ＣＥ＝ＣＦ＝ＥＦ＝ｙ、とおきます。
また正方形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ＝ＡＣ＝１、とおきます。
三角形ＡＣＥと三角形ＣＤＦとは合同だから。
ＡＥ＝ＤＦ＝ｘ、とおきます。

するとピタゴラスの定理より、
ＣＥ＾２＝ＡＥ＾２+ＡＣ＾２，すなわち、ｙ＾２＝ｘ＾２+１、（１）
ＥＦ＾２＝ＥＢ＾２+ＢＦ＾２，すなわち、ｙ＾２＝（１－ｘ）＾２、
（２）、
が成り立ちます。
（１）（２）、を解くと、ｘ＝２－√３、となります。
従って、①三角形ACEの面積：②三角形ＢEFの面積：③三角形CＤFの面積
＝１：２：１、となりました。