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<問題>
左図のように、正方形ABCDがあります。
(ただし、①と②と③の順番は、考えないものとする。) |
数学的解法
正方形の1辺を1として,BF=xとすると,FD=1-x
EF=CFから, 2x^2=1+(1-x)^2 を解いて,x=-1+√3
よって,BF=-1+√3,FD=2-√3 から
②:③=(-1+√3)^2:(2-√3)=(4-2√3):(2-√3)=2:1
算数的解法
正三角形の1辺を1とすると,
②=1×1÷2÷2=1/4
①と③をくっつけて,頂角30°の二等辺三角形CEFをつくる。
CF=CE=1で,EからCFに下ろした垂線の長さは1/2・・・※
①+③=1×(1/2)÷2=1/4
よって,②=①+③
※ 30°三角定規の2:1は受験算数では必須アイテムです。
するとピタゴラスの定理より、
CE^2=AE^2+AC^2,すなわち、y^2=x^2+1、(1)
EF^2=EB^2+BF^2,すなわち、y^2=(1-x)^2、
(2)、
が成り立ちます。
(1)(2)、を解くと、x=2-√3、となります。
従って、①三角形ACEの面積:②三角形BEFの面積:③三角形CDFの面積
=1:2:1、となりました。