「今月の問題」 解答

<問題>
古代の人は、ある数とその約数との間に特別な関係があるものを発見しました。
それは、ある数の約数の和(その数自身は除く)が、もとの自然数と等しくなってしまうというものです。
この特別な数を大切な数と崇めたそうです。
例えば6=1+2+3
となり、「神様が6日間で世界を作った」と崇め、
28=1+2+4+7+14
になり、「月は地球を28日で公転する」特別な数としたそうです。

さて、ある3桁の数、4○△もこの特別な関係がある数字です。
○△に入る数字は何でしょうか。ただし、○も△も3の倍数です


答は、496です。

satoraさん の解答

6=2*(4-1)
28=4*(8−1)
496=16*(32−1)
から、下記のような定理が成り立つことを発見し、ちょっと興味が湧きました。
定理「(2^n - 1)が 素数である場合、2^(n-1)*(2^n−1)という数は
その数自身を除く約数の合計がその数と等しくなる」
したがって、127 や 8191 も素数のようなので
8128=64*(128−1)
33550336=4096*(8192−1)
もこの条件を満たすことがわかりました。

上記の定理に当てはまる数以外に、このような条件を満たす数があるのか
簡単なプログラムを作って少し調べましたが、1600以下では
ありませんでした。


なかさん より
PERLでプログラムを書いて確認しました。

100万まで調べて、
6,28,496,8128 の4個しかみつかり
ませんでした。


tomo さんより

○=9   △=6

ヒントより○△に当てはまる数は
03,30,06,60,09,90,36,39,63,69,93,96
それぞれに400を加えた数を素因数分解して一つずつ
調べました。

結果
496=2^4*31
(1+2+2^2+2^3+2^4)(1+31)=31*32
 =992=496*2

もっと簡単な解法があるのかもしれませんが
解らなくって力ずくで・・・・・・。


ある HP より

現在知られている完全数は33個であって、それら全てPe-1(Pe−1)の形になっているそうです。
1,21(22−1)=6
2,22(23−1)=28
3,24(25−1)=496
4,26(27−1)=8128
5,212(213−1)=33550336
6,216(217−1)=8589869056
7,218(219−1)=137438691328
8,e=31 9,e=61 10,e=89 11,e=107
12,e=127 13,e=521 14,e=607 15,e=1279
16,e=2203 17,e=2281 18,e=3217
19,e=4253 20,e=4423 21,e=9689
22,e=9941 23,e=11213 24,e=19937
25,e=21701 26,e=23209 27,e=4449728,e=86243 29,e=110503 30,e=13204931,e=216090 32,e=756838 33,e=859433