「今月の問題」 （平成２５年１月）
| ＜問題＞ 次の等式を満たす正の整数ｍとｎがあります。ただし、ｍ＞ｎの関係があります。 ｍ2＝２０１３＋ｎ2 ここで問題です。この等式を満たすｍとｎにおいて、ｎの最小値はいくらになるでしょうか。 |
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 2013年が皆さんにとっても良い年になりますように |
＜正解者一覧表＞
| 正解者順位 | ｎａｍｅ | メール到着日時 | 備 考 |
| １ | kou さん | 2013/1/1 0:01 | さいたま |
| ２ | マッキー２７ さん | 2013/1/1 0:03 | 愛知県 |
| ３ | バニラ さん | 2013/1/1 0:06 | |
| ４ | AKIRA さん | 2013/1/1 0:15 | 愛知県 |
| ５ | 次郎長 さん | 2013/1/1 0:23 | 兵庫県 |
| ６ | teki さん | 2013/1/1 0:25 | 大阪府 |
| ７ | algebra さん | 2013/1/1 0:28 | 神奈川県 |
| ８ | 鯨鯢(Keigei) さん | 2013/1/1 0:38 | |
| ９ | ラスカマン さん | 2013/1/1 0:50 | 静岡県伊豆半島 |
| １０ | 男はつらいよ さん | 2013/1/1 0:57 | 神奈川県 |
| １１ | ふじも さん | 2013/1/1 1:13 | 大阪府 |
| １２ | スモークマン さん | 2013/1/1 1:14 | 金光＠岡山 |
| １３ | のぼりん さん | 2013/1/1 2:36 | 東京都 |
| １４ | oguchan1 さん | 2013/1/1 2:47 | 鹿児島県 |
| １５ | りーくん さん | 2013/1/1 4:06 | 埼玉県 |
| １６ | 巷の夢 さん | 2013/1/1 6:52 | 神奈川県在住 |
| １７ | 反車(Hensha) さん | 2013/1/1 7:16 | 大阪府 |
| １８ | 塩竈人 さん | 2013/1/1 7:58 | |
| １９ | 香車 さん | 2013/1/1 10:17 | |
| ２０ | 京都市の走る同業者 さん | 2013/1/1 10:23 | 京都市 |
| ２１ | GUTENTAG さん | 2013/1/1 11:58 | 滋賀県 |
| ２２ | KAZ さん | 2013/1/1 12:18 | 熊本県 |
| ２３ | 放射能のこと忘れないでさん | 2013/1/1 16:00 | |
| ２４ | まいすた さん | 2013/1/1 16:02 | |
| ２５ | りゅう さん | 2013/1/1 19:44 | 兵庫県 |
| ２６ | xxx さん | 2013/1/1 20:10 | |
| ２７ | めざせ囲碁5段 さん | 2013/1/1 20:16 | 長野県小学校教諭 |
| ２８ | 数樂 さん | 2013/1/1 21:24 | 徳島県 |
| ２９ | cyclone さん | 2013/1/1 22:52 | 新潟県 |
| ３０ | ねぱ さん | 2013/1/1 23:00 | 大阪 |
| ３１ | ma-mu-ta さん | 2013/1/1 0:04 | 東京都 |
| ３２ | じゅん さん | 2013/1/2 1:39 | 東京 |
| ３３ | いぬたこ さん | 2013/1/2 8:58 | 千葉県 |
| ３４ | かねやん さん | 2013/1/2 13:35 | 埼玉県 |
| ３５ | シャックりえ さん | 2013/1/2 13:46 | 大阪府 |
| ３６ | ao さん | 2013/1/2 18:15 | |
| ３７ | くまぜっと さん | 2013/1/2 22:36 | 埼玉県 |
| ３８ | すすきのふくろう さん | 2013/1/4 9:50 | 新潟県 |
| ３９ | いちもく さん | 2013/1/4 10:51 | 立川市 |
| ４０ | 剛腕 さん | 2013/1/4 13:15 | 大阪府 |
| ４１ | ゴンとも さん | 2013/1/4 14:09 | 豊川市 |
| ４２ | 元気モリモリ さん | 2013/1/4 15:21 | 宮崎県 |
| ４３ | Ｍｒ.ダンディ さん | 2013/1/4 17:57 | 大阪府 |
| ４４ | Tommy さん | 2013/1/5 11:10 | 静岡県 |
| ４５ | 石原ゼミ さん | 2013/1/5 19:02 | |
| ４６ | かも茶 さん | 2013/1/5 22:45 | 浜松 |
| ４７ | 二児のパパ さん | 2013/1/5 23:48 | 長野県 |
| ４８ | uchinyan さん | 2013/1/6 17:16 | |
| ４９ | sue さん | 2013/1/7 7:02 | 筑前州上津役村＠旧福岡県 |
| ５０ | 中学校教員 さん | 2013/1/7 8:47 | 北海道 |
| ５１ | やぶコウノトリ さん | 2013/1/7 9:37 | 兵庫県 |
| ５２ | さすらい人 さん | 2013/1/7 15:08 | |
| ５３ | 寒いです①月 さん | 2013/1/7 20:19 | 兵庫県 |
| ５４ | 小西拓郎 さん | 2013/1/8 12:26 | 長野県 |
| ５５ | つねまる さん | 2013/1/8 13:25 | 千葉県 |
| ５６ | DAY さん | 2013/1/8 15:15 | 京都市在住尼崎勤務 |
| ５７ | 南草津のトライ さん | 2013/1/8 16:41 | 滋賀県草津市 |
| ５８ | 水無月 さん | 2013/1/9 8:40 | 青森県 |
| ５９ | ??? さん | 2013/1/9 10:02 | 青森県 |
| ６０ | superwq さん | 2013/1/9 16:42 | 神奈川 |
| ６１ | lapin さん | 2013/1/10 16:17 | 大阪府交野市 |
| ６２ | 虹パパ さん | 2013/1/10 16:36 | 東京都 |
| ６３ | Liner さん | 2013/1/12 18:57 | 長野県 |
| ６４ | ぬー さん | 2013/1/13 19:10 | 東京都 |
| ６５ | りん さん | 2013/1/14 14:23 | 神奈川 |
| ６６ | はちみつボーイ さん | 2013/1/15 3:57 | 熊本 |
| ６７ | まる さん | 2013/1/16 10:20 | 北海道 |
| ６８ | panZ さん | 2013/1/16 21:30 | |
| ６９ | kasama さん | 2013/1/17 11:19 | 和歌山県プログラマ |
| ７０ | 中田ガウス さん | 2013/1/17 21:58 | |
| ７１ | 経友会の進作 さん | 2013/1/17 22:27 | 京都府木津川市・74歳 |
| ７２ | 三貝 さん | 2013/1/18 11:28 | 東京都 |
| ７３ | kootarou さん | 2013/1/20 19:00 | 大阪府 |
| ７４ | ｔ さん | 2013/1/22 21:27 | 岡山県 |
| ７５ | unfall さん | 2013/1/22 23:22 | 石川県 |
| ７６ | N.Nishi さん | 2013/1/24 19:55 | 大阪府 |
| ７７ | 一休 さん | 2013/1/26 21:46 | 福岡 |
| ７８ | 話題王 さん | 2013/1/29 10:22 | さいたま |
| ７９ | 近藤孝英 さん | 2013/1/29 16:04 | 兵庫県神戸市 |
| ８０ | 鎌田慎 さん | 2013/1/29 21:13 |
答えは、１４ でした
- [250] こんにちは。 投稿者：近藤孝英 投稿日：2013/01/29(Tue) 16:07
[返信]
- この問題は因数分解が鍵でしたよね。
- [249] panZ さんの解答 投稿者：よしおか（管理人）
投稿日：2013/01/18(Fri) 06:29 [返信]
- panZ さんから以下のような解答をいただきました。
ありがとうございました。
【解き方】
m^2＝2013＋n^2
m^2－n^2＝2013
（m＋n）（m－n）＝2013
ここで、2013を素因数分解すると、
2013＝3×11×61
よって、m－n＝3,11,61
①m－n＝3のとき、m＋n＝671。
よって、m＝337、n＝334
②m－n＝11のとき、m＋n＝183。
よって、m＝97、n＝86
③m－n＝61のとき、m＋n＝33。
よって、m＝47、n＝－14
m＞nより、③は適さない。
よって、②のn＝86が答え。
【感想】
2013を素因数分解すると、『2013＝3×11×61』となることを知りました。2013の素因数分解に少し手間取ってしまいました。
- [248] 2013 投稿者：剛腕
投稿日：2013/01/08(Tue) 13:56 [返信]
- メールに間違った答えを書いて送ってしまいましたが、正解者の欄に名前が載っていてちょっとビックリしました(笑)
３や９の倍数を見分ける法則は有名ですが、他の数字の倍数を見分ける法則もたくさんあって面白いです。
参考に、11の倍数を見分ける法則を載せておきます。(個人的に好きです。)
◆ 偶数桁の数字を全て足し合わせた値と奇数桁の数字を全て足し合わせた値の差が11の倍数(0も含む)なら、もとの数字も11の倍数
(証明は途中で挫折しました...汗)
本年もどうぞよろしく！
- [247] 気持ちよくできました 投稿者：ガリレオ
投稿日：2013/01/07(Mon) 13:10 [返信]
- 今年もよろしくお願いします。
- [246] おめでとうございます。 投稿者：Ｍｒ.ダンデイ
投稿日：2013/01/04(Fri) 18:03 [返信]
- いつも楽しい問題ありがとうございます。
本年もよろしくお願いいたします。
3*671の 671 は一見素数のようで違うのですね。
- [245] おもしろい 投稿者：薄のふくろう
投稿日：2013/01/04(Fri) 09:49 [返信]
- ２０１３を用いた問題はいくつもあります。
（例）「２、０、１、３を用い、１、２、…をつくる」
今回の問題は、おもしろかったです。
- [244] OH! 投稿者：でんでん 投稿日：2013/01/02(Wed) 08:57 [返信]
- M+N=61 M-N=33 desita.
- [243] 242 じゅんさん からの回答
投稿者：よしおか（管理人） 投稿日：2013/01/02(Wed) 05:23 [返信]
- みなさんの力をいただき今年も数学を楽しんでいきたいと思います。どうぞよろしくお願いします。
じゅんさんからも メールで丁寧に回答をいただきましたので紹介します。
明けましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いします。
面白い問題でした。
2013年の幕開けにふさわしい問題ですね。
m^2=2013+n^2
m^2-n^2=2013
(m+n)(m-n)=2013=3*11*61
なので、m+n=61,m-n=33となるm,nの組み合わせは、
m=47,n=14
当初、(m+n,m-n)の組み合わせは、(61,33),(183,11),
(671,3)しかないので、（m,n）は(47,14),(97,86),
(337,334)の３つしかないと思っていました。
掲示板をみて、（m,n）に（1007,1006）の組み合わせも
あることがわかりました。
新年早々、自分の迂闊さを思い知らされました。
- [242] あけおめ 投稿者：じゅん
投稿日：2013/01/02(Wed) 01:40 [返信]
- 今年も楽しく解いていきたいと思います
- [241] 明けましておめでとうございます 投稿者：まいすた
投稿日：2013/01/01(Tue) 16:00 [返信]
- 式を変形して、
(m+n)(m-n)=2013
2013を素因数分解すると、3×11×61。
m+n，m-nはそれぞれ、この素因数の1つまたは2つの積になる。
nが最小となる時、m+nとm-nの値が最も近くなるので、
m+n=61
m-n=33
となり、n=14
-
[238] 誤字！ 投稿者：のぼりん
投稿日：2013/01/01(Tue) 03:25 [返信]
- 誠に申し訳ありません。
削除キーを設定し忘れ、修正できませんでした。
前の投稿で、² は、二乗のつもりです。
なお、ｍ＝ｎ＋ｋ 等と新しい記号を持ち出さず、
（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）＝２０１３
と因数分解して進めた方が、簡潔でしたね。
重ね重ね失礼しました。
- [237] 高校水準？ 投稿者：のぼりん
投稿日：2013/01/01(Tue) 02:27 [返信]
- こんばんは。 今回は、高校水準の問題ですね。
正の整数 ｍ、ｎ を、
ｍ²＝２０１３＋ｎ² … ①
の解とし、これをすべて求めてみます。
ある正の整数 ｋ が存在し、ｍ＝ｎ＋ｋ と書けます。
① に代入すると、
（ｎ＋ｋ）²＝２０１３＋ｎ²
∴ ２ｎｋ＋ｋ²＝２０１３ … ②
です。
左辺は ｋ で割り切れるので、ｋ は ２０１３＝３×１１×６１ の約数です。
４４²＝１９３６＜２０１３＜２０２５＝４５²
だから、ｍ≧４５ です。
一般に、ｍ が大きくなれば、ｋ は小さくなります。
３²＜４５²－２０１３＝１２＜４²
だから、ｋ≦４５－１２＝３３ です。 よって、① の解は
ｋ＝１，３，１１，３３
の何れの場合しかあり得ません。
①、② を使って、この全ての場合を虱潰しで計算すると、
ｋ ｍ ｎ
１ １００７ １００６
３ ３３７ ３３４
１１ ９７ ８６
３３ ４７ １４
と、全ての解が得られます。
本問の答えは、このうち ｎ が最小となる ｎ＝１４ ですね。