「今月の問題」 第10回 (平成12年7月)

右図のような、AB=19cm、CD=26cmの四角柱の箱ABCD-EFGHがあります。
この箱にサッカーボールを入れられているが、四角柱の全ての面で接している。(6面全てで接っしている)
また、この箱の体積は、ちょうど9000立方センチメートルであるという。
このとき、サッカーボールの半径は何cmでしょうか。

ただし、四角形ABCDと四角形HEFGは合同であり、平行な位置関係である。 また、線分BEと線分EFは垂直に交わっている。


答は、10cmです。

<畠山さんの例>
平面ABCDに球を投影すると、これは四角形ABCDに内接する円となる。
この円の中心を点O、辺AB,BC,CD,DAと円Oの接点をそれぞれ点P,Q,R,Sとする。
△AOPと△AOS
△BOPと△BOQ
△COQと△COR
△DORと△DOS
は2辺とそのあいだの角がそれぞれ等しいことより、合同である。
またこれらの三角形はすべて直角三角形である。(詳細省略)

OP=OQ=OR=OS=x(球の半径),AP=Y,CQ=zとする。
柱の高さが(球の直径)=2xであるから、四角形ABCDの面積は9000/2xである。

四角形ABCD=△AOP+△AOS+△BOP+△BOQ+△COQ+△COR+△DOR+△DOS
=2(△AOP+△BOP+△COQ+△DOR)
△AOP=xy/2
△BOP=(19-y)x/2
△COQ=zx/2
△DOR=(26-z)x/2
であるから
2(△AOP+△BOP+△COQ+△DOR)=xy+(19-y)x+zx+(26-z)x
=45x
=9000/2x
したがって90x^2=9000
x=10


<mhayashi さんの例>
サッカーボールの半径を r (cm) とすると、
四角形ABCD=19r(1/2)*2+26r(1/2)*2=45r
また、BE=2r より
四角柱ABCD−EFGHの体積は、
45r*2r=90r^2

題意より体積は 9000 (cm^3) と与えられているので、
90r^2=9000
∴ r=10


<BossF さんの例>
サッカーボールSと、四角柱Uの側面との接点は、明らかに、底面と合同な四角形Tになり、
T は円の外接四角形だから、その周は
(19+26)x2=90cm・・・・・・@
さて、Sの半径を r とすると
Uの高さはあきらかに2r 、底面積は@より90r/2=45r
よってUの体積は2rx45r=90r^2   ∴r^2=100
                       r=10


その他
高田さん、ごま姫さん、Taroさん、かつひこさん、tomoさん、LIONさん、 只野親爺さん、エウロパさん、高橋さん、糸瀬さん他からも詳しく解き方を教えて頂きました。
ありがとうございました。