「今月の問題」 第167回 (平成25年8月)

<問題>
左図は、中心Oの半円周です。
CDは、周上の点Cから直径ABへの垂線、またDEはDから半径OCへの垂線です。
また、ADの長さは35cm、DBの長さは15cmであることが分かっています。

ここで問題です。CEの長さは何cmになるでしょうか。
                


              
※今月も単純な図形問題ですが、この図の中に、辺ADと辺BDの相加平均、相乗平均、調和平均が入っていることに興味を持ち出題しました。ギリシャ人の数学者パッポスが発見したそうです。

<正解者一覧表>            
正解者順位     name      メール到着日時     備 考  
 1 源内singapore さん 2013/8/1 0:06 長崎県 
 2 kou さん 2013/8/1 0:10 さいたま 
 3 小宮山 敦 さん 2013/8/1 0:13 神奈川県 
 4 Mr.ダンディ さん 2013/8/1 0:41 大阪府 
 5 ゴンとも さん 2013/8/1 3:47 豊川市 
 6 石原ゼミ(今夜11時 第8回出題)さん2013/8/1 5:11 
 7 鯨鯢(Keigei) さん2013/8/1 5:31 
 8 巷の夢 さん 2013/8/1 6:25 神奈川県在住
 9 次郎長 さん 2013/8/1 7:14 朝から暑い兵庫県
10 いぬたこ さん 2013/8/1 8:07 千葉川県
11 ちょえい さん 2013/8/1 8:08 埼玉県
12 中学校教員 さん 2013/8/1 8:08 北海道
13 うた~ さん 2013/8/1 8:08 埼玉県ドイツ
14 いしぐろ雅犬 さん 2013/8/1 8:09 愛知県
15 つねまる さん 2013/8/1 8:19 千葉県
16 ISAMU さん 2013/8/1 9:53 三重県
17 いちもく さん 2013/8/1 9:54 立川市
18 バニラ さん 2013/8/1 10:24  
19 GUTENTAG さん 2013/8/1 10:44 滋賀県
20 めざせ囲碁5段 さん 2013/8/1 10:46 長野県小学校教諭
21 AKIRA さん 2013/8/1 13:15 愛知県
22 hiroki さん 2013/8/1 13:20 東京都
23 tanahiro さん 2013/8/1 13:38 千葉県
24 やぶコウノトリ さん 2013/8/1 14:03 兵庫県
25 りーくん さん 2013/8/1 17:32 埼玉県
26 uchinyan さん 2013/8/1 17:52  
27 mercy さん 2013/8/1 17:56 島根県 
28 まいすた さん2013/8/1 22:06 
29 sue さん 2013/8/2 6:19 筑前州上津役村@旧福岡県
30 たえこどすでん! さん 2013/8/2 9:47 千葉県
31 superwq さん 2013/8/2 9:49 神奈川県
32 KAZ さん 2013/8/2 12:50 熊本県
33 ??? さん 2013/8/2 14:02  
34 塩竈人 さん 2013/8/2 14:10 筑前州上津役村@旧福岡県
35 のぼりん さん 2013/8/2 22:16 東京都
36 ふじも さん2013/8/2 22:47大阪府 
37 ラスカマン さん 2013/8/3 0:09 静岡県伊豆半島
38 HAJI さん 2013/8/3 11:24 千葉県
39 algebra さん 2013/8/3 14:31 神奈川県
40 男はつらいよ さん 2013/8/3 14:49 神奈川県
41 マッキー27 さん 2013/8/4 0:04 愛知県
42 香車 さん 2013/8/4 7:41  
43 てくてくん さん 2013/8/4 14:47  
44 おはよう健康体操 さん 2013/8/4 17:45 千葉県ふっさ市
45 反車(Hensha) さん 2013/8/4 19:12 大阪府
46 Deiji さん 2013/8/4 19:17 兵庫県
47 やさぐれSE さん 2013/8/4 21:44  
48 うおっちぃ~ さん 2013/8/5 2:19  
49 さすらい人 さん 2013/8/5 8:23 神奈川 
50 りゅう さん 2013/8/5 18:00 兵庫県
51 panZ さん 2013/8/5 21:40  
52 さら さん 2013/8/5 22:35 千葉県 
53 ぼうなぐ さん 2013/8/6 12:20  
54 スモークマン さん 2013/8/7 22:25 金光@岡山 
55 Liner さん 2013/8/8 15:39 長野県 
56 できて嬉しいです さん 2013/8/12 16:33 兵庫県 
57 oguchan1 さん 2013/8/12 21:31 鹿児島県 
58 元気モリモリ さん 2013/8/15 10:41 宮崎県 
59 kaz さん 2013/8/17 11:58 東京都 
60 中田ガウス さん 2013/8/19 5:41  
61 d さん 2013/8/19 21:48  
62 ○▽■ さん 2013/8/21 11:16  
63 kasama さん 2013/8/21 15:46 和歌山県プログラマ 
64 たえます@!? さん 2013/8/21 20:23  
65 まる さん 2013/8/22 9:23 北海道 
66 DAY さん 2013/8/27 11:55 京都市在住尼崎勤務 
67 すすきのふくろう さん 2013/8/30 10:36 新潟県 
68 あめい さん 2013/8/30 11:28 静岡県 
69 三貝 さん 2013/8/30 12:40 東京都 
70ハイテク王 さん2013/8/31 16:31山口県 


こたえは 21cmでした


[327] 無題 投稿者:i 投稿日:2013/08/11(Sun) 14:25 [返信]
この図形の中に、相加、相乗、調和平均の3つが隠れているとは気づきませんでした。
よく見かける図形ですが、平均という着目点は面白いと思いました。大変楽しませていただきました。

[325] 無題 投稿者:ビ~フン先生 投稿日:2013/08/05(Mon) 11:50 [返信]
三平方の定理onlyで解けました

[323] 解法 投稿者:HAJI 投稿日:2013/08/03(Sat) 11:22 [返信]
Mr.ダンディ様の解法の同じです。

[321] 無題 投稿者:まいすた 投稿日:2013/08/01(Thu) 22:05 [返信]
OC=(AD+BD)/2=25
CD=√AD・BD=√525 ←⊿ACD∽⊿CBDより
CE=CD^2/OC=21   ←⊿CDE∽⊿CODより

[320] 無題 投稿者:いぬたこ 投稿日:2013/08/01(Thu) 08:06 [返信]
三平方の定理で解きました。

[319] 相加平均>相乗平均>調和平均 投稿者:よしおか(管理人) 投稿日:2013/08/01(Thu) 07:46 [返信]
今回の問題は、図形の中に相加平均、相乗平均、調和平均が見られるのが面白いと感じました。

AD=a、BD=bとすると
ちなみに、CEの長さが2/(1/a+1/b)となり調和平均になります。この図の中において、OC(a+b)/2もCD(√ab)も全て整数値になればいいなあと考えたのですが・・・。

[318] 無題 投稿者:Mr.ダンディ 投稿日:2013/08/01(Thu) 00:46 [返信]
DO:OE=CO:OD=25:10=5:2
OE=10*(2/5)=4
よって CE=25-4=21 (cm) としました。


[317] 無題 投稿者:小宮山 敦 投稿日:2013/08/01(Thu) 00:18 [返信]

直角三角形の相似ですね。