「今月の問題」　第１７５回　（平成２６年４月）

＜問題＞ 　消費税が５％から８％に引き上げられました。そこで、消費税を題材にした問題を考えてました。 　本体価格は必ず整数円とし、消費税は必ず端数を切り捨てるとします。すると消費税込みの価格として適さない金額があります。 　たとえば、消費税が５％の時、本体価格が１９円の時は、消費税込みでも１９．９５円→１９円となりますが、本体価格が２０円の時は、消費税込みでは２１円になるので、その間である２０円は支払うことがないような金額になります。同様に４１円も支払うことのない金額です。 　 　ここで問題です。消費税が５％、８％いずれの場合でも、消費税込みの価格として適さない金額の最小値を求めてください。ただし、本体の価格は必ず整数円とし、消費税の端数は切り捨てるとします。
	＜日本の消費税の歴史＞ 1989年（平成元年）4月1日 - 消費税法施行 税率3% 1997年（平成9年）4月1日 -税率引き上げ5%実施。 2014年（平成26年）4月1日 - 消費税率は、8%引き上げられる。 2015年（平成27年）10月1日 - 消費税率は、10%になる予定

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　

正解者順位	ｎａｍｅ	メール到着日時	備　考
１	kasama　さん	2014/4/1　0:07	和歌山県プログラマ
２	algebra　さん	2014/4/1　0:08	神奈川県
３	kou　さん	2014/4/1　0:09	さいたま
４	男はつらいよ　さん	2014/4/1　0:10	神奈川県
５	バニラ　さん	2014/4/1　0:31
６	次郎長　さん	2014/4/1　3:31
７	いちもく　さん	2014/4/1　5:04	立川市
８	鯨鯢(Keigei)　さん	2014/4/1　5:55
８	朝霞おじさん	2014/4/1　7:10	埼玉県
９	巷の夢　さん	2014/4/1　7:22	神奈川県在住
１０	やぶコウノトリ　さん	2014/4/1　11:32	兵庫県
１１	Ｍｒ．ダンディ　さん	2014/4/1　11:50
１２	uchinyan　さん	2014/4/1　12:11
１３	さすらい人　さん	2014/4/1　12:41	神奈川県
１４	いぬたこ　さん	2014/4/1　14:33	千葉県
１５	ねこ　さん	2014/4/1　14:33	栃木県
１６	いぬたこ　さん	2014/4/1　14:33	千葉県
１７	うただよ　さん	2014/4/1　14:33	東京都
１８	やすはる　さん	2014/4/1　14:34	愛知県
１９	かずこ　さん	2014/4/1　14:36
２０	AZB　さん	2014/4/1　19:42	東京都
２１	マッキー２７　さん	2014/4/1　20:30	愛知県
２２	NNR4　さん	2014/4/1　20:52	兵庫
２３	アール　さん	2014/4/1　20:53	兵庫県
２４	ラスカマン　さん	2014/4/1　21:06	静岡県伊豆半島
２５	猫魂　さん	2014/4/1　23:06	宮崎県
２６	KAZ　さん	2014/4/2　7:08	熊本県
２７	代官山のねこ　さん	2014/4/2　8:41	代官山
２８	???　さん	2014/4/2　13:12
２９	GUTENTAG　さん	2014/4/2　14:16	滋賀県
３０	りーくん　さん	2014/4/2　23:23	埼玉県
３１	まいすた　さん	2014/4/2　23:56
３２	たかひろ　さん	2014/4/3　0:11	埼玉県
３３	sue　さん	2014/4/3　7:08	筑前州上津役村＠旧福岡県
３４	石原ゼミ　さん	2014/4/3 10:16
３５	ざっ！ぜっ！ さん	2014/4/3　11:01	千葉県
３６	反車(Hensha) さん	2014/4/5　15:14	大阪府
３７	算数の森　さん	2014/4/5 18:45	兵庫県
３８	oguchan1 さん	2014/4/7　23:03	鹿児島県
３９	hiroki さん	2014/4/14　12:51	東京都
４０	虹パパ さん	2014/4/16　12:13	東京都
４１	スモークマン　さん	2014/4/16　22:36	金光＠岡山
４２	つねまる　さん	2014/4/17　18:13	千葉県
４３	りゅう　さん	2014/4/27　19:54	兵庫県
４４	めざせ囲碁５段　さん	2014/4/29　10:25	長野県小学校教諭

答えは１８８円でした。

[452] 無題 投稿者：りゅう 投稿日：2014/04/28(Mon) 20:05 [返信]

エクセルを使って試算してみれば簡単にわかるのですが、理論的に解くのは難しく、保留のままでズルズルと今日まで放置しておりました。
もう、日がないので本日真剣に考えて、解決策を見出しました。
「やったぜ！」という気持ちです。
(掲示板を見ると、Mr.ダンディさんと同じやり方です。)
実に良い問題だと思います。

消費税が5％の時に使われない金額は、
20,41,62,83,.....
であり、21n+20(nは0以上の整数)の形で表すことができる。
消費税が8％の時に使われない金額は、
13,26,40,53,67,.....
であり、初期値が13で、偶数番目は+13、奇数番目は+14なので、求める金額が奇数番目であれば、27m+13(mは0以上の整数)、偶数番目であれば27m+26(mは0以上の整数)の形で表すことができる。

①求める金額が、消費税が8％の時に使われない金額の順列において、奇数番目だと仮定すると、
21n+20=27m+13
⇒ 7=27m-21n ⇒ 7=3(9m-7n)
9m-7nは整数であり、3に何らかの整数を掛けて7になることはありえないので、このようなn,mは存在しない。

②求める金額が、消費税が8％の時に使われない金額の順列において、偶数番目だと仮定すると、
21n+20=27m+26
⇒ 6=21n-27m ⇒ 6=3(7n-9m)
7n-9m=2となる最小のn,mを探せば良い。
n=1から順に数字を当てはめていき、該当するものを探すと、n=8,m=6であることがわかる。

よって、求める金額は、
21*8+20=188(円）

[451] 初見…^^; 投稿者：スモークマン 投稿日：2014/04/16(Wed) 22:32 [返信]

20/21…20が21になるので20がない,41,62,…がない。
25/27…25が27になるので26がない,53,80,…がない。

21と27の公倍数の3^3*7=189 なので…
188は両方ともない…
ちといい加減か…Orz

[449] 無題 投稿者：中1 投稿日：2014/04/10(Thu) 21:48 [返信]

消費税５％・・２０・４１・６２・８３・１０４・１２５・１４６・１６７・１８８
消費税８％・・１３・２６・４０・５３・６７・８０・９４・１０７・１２１・１３４・１４８・１６１・１７５・１８８
受験に出たらヤバい・・

[448] 一度 投稿者：teki 投稿日：2014/04/05(Sat) 23:10 [返信]

同じ問題を解いたことがあります。
189ｎ－1　ですね。

[447] Re:[446] 不定方程式 投稿者：Mr.ダンディ 投稿日：2014/04/02(Wed) 11:57 [返信]

>・・・・・・・・ 　
> （イ）求める整数＝27ｍ+13＝21ｎ+20　
> または
> （ロ）求める整数＝27ｍ+26＝21ｎ+20　
> --------------
> （イ）の場合...　27ｍ－21ｎ＝７で左辺の倍数になるので、該当するものなし。　
> （ロ）の場合...変形して　9ｍ＝７n－2
> 解くと（m,n)＝（7ｋ-1,9ｋ-1）

（ロ）の場合は
その数に1を加えたものは　27と21の公倍数（189の倍数）になるので、189ｎ－1　と表され
最小のものは　188　としてよいことでしたね。

[446] 不定方程式 投稿者：Mr.ダンディ 投稿日：2014/04/01(Tue) 17:21 [返信]

25*1.08＝27　と整数になり
ａ*1.08で　（1≦a≦24）を計算して、出てこない整数は　13と26
27周期で繰り返されるので
出てこない整数は　27ｍ+13　または　27ｍ+26　の形で表されます。.........①

20*1.05＝21　と整数になり
ａ*1.05で　（1≦a≦20）を計算して、出てこない整数は　20
21周期で繰り返されるので
出てこない整数は　21ｎ+20　の形で表されます。.........②

よって　
（イ）求める整数＝27ｍ+13＝21ｎ+20　
または
（ロ）求める整数＝27ｍ+26＝21ｎ+20　
--------------
（イ）の場合...　27ｍ－21ｎ＝７で左辺の倍数になるので、該当するものなし。　
（ロ）の場合...変形して　9ｍ＝７n－2
解くと（m,n)＝（7ｋ-1,9ｋ-1）

最小の整数を求めるのだから　ｍ＝6で
求める値＝27*6+26＝188
《以上のように計算しました》

[445] 難しい 投稿者：いぬたこ 投稿日：2014/04/01(Tue) 14:32 [返信]

EXCELでやりましたｍ○ｍ

[444] 面白い 投稿者：話題王 投稿日：2014/04/01(Tue) 11:36 [返信]

有難うございました。
21と27の最少公倍数から手計算しました

[443] 答えは知っていた 投稿者：次郎長 投稿日：2014/04/01(Tue) 08:29 [返信]

実は全く同じ問題を2年ほど前に会社で話したことがあって、188円が現実には税込価格として存在しない価格であることは知っていました。従って、問題を見た瞬間に答えが飛び込んで来ました。私も全国に188の支店を持つ企業の会長兼社長兼現場営業員として大変です。今日は4月1日エープリルなんとかでしたよね。面白い問題をいつも有難うございます。

[442] いやー難しかった・・・・ 投稿者：巷の夢 投稿日：2014/04/01(Tue) 07:36 [返信]

原価は、消費税５％および８％の時、各々100/105=20/21, 100/108=25/27となる。因って、分母の21と27の最小公倍数である189の前後となる事が分かる。最も小さい数であるから1つ前の188が求めるものである。