「今月の問題」　第１７８回　（平成２６年７月）

＜問題＞
　７月７日は七夕の日です。
　今回は七夕にちなんだ問題に挑戦していただこうと思います。

　問題です。
　ある数を、３乗したときときの下２桁が７７となる最小の自然数を求めてください。
　
＜７月７日が七夕の日になった説＞　
　中国では、奇数を「陽数」と呼び，おめでたいものと考えられていたようです。
　特に、奇数が重なる日は良い日とされ、様々な行事が結びつきました。
　そこで、カレンダーで奇数の重なった日を紹介します。
　１月１日⇒⇒⇒⇒⇒（元旦）
　３月３日⇒⇒⇒⇒⇒（ひな祭り・・・桃の節句）
　５月５日⇒⇒⇒⇒⇒（こどもの日・・・端午の節句）
　７月７日⇒⇒⇒⇒⇒（七夕）
　９月９日⇒⇒⇒⇒⇒（「重陽の節句」という、お祭りの日。長寿を願ったそうです）

　琴座のベガと呼ばれる織女（おりひめ）星は裁縫の仕事、わし座のアルタイルと呼ばれる牽牛（ひこぼし）星は農業の仕事をつかさどる星です。この二つの星は旧暦7月7日に天の川をはさんで最も光り輝いているように見えることから、七夕ストーリーが生まれた説があるそうです。

＜正解者一覧表＞　 　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１ kou　さん 2014/7/1　0:04 さいたま　
　２ マッキー２７　さん 2014/7/1　0:04 愛知県　
　３ algebra　さん 2014/7/1　0:05 神奈川県　
　４ 源内シンガポール　さん2014/7/1　0:06長崎県　
　５ ゴンとも　さん 2014/7/1　0:06 豊川市　
　６ バニラ　さん 2014/7/1　0:07 　
　７ 朝霞おじ　さん 2014/7/1　0:08 埼玉県　
　８ 男はつらいよ　さん 2014/7/1　0:08 神奈川県　
　９ AKIRA　さん 2014/7/1　0:10 豊川市　
１０ Mr.ダンディ　さん 2014/7/1　0:48 　
１１ 石原ゼミ　さん2014/7/1　0:50兵庫県　
１２ 可換 環　さん 2014/7/1　1:23 ノルウェー　
１３ アール　さん 2014/7/1　4:18 兵庫県　
１４ 巷の夢　さん 2014/7/1　5:45 神奈川県在住　
１５ 鯨鯢(Keigei)　さん2014/7/1　5:52　
１６ 次郎長　さん 2014/7/1　5:55 日照が足りない兵庫県　
１７ sue　さん 2014/7/1　6:28 筑前州上津役村＠旧福岡県
１８ いちもく　さん 2014/7/1　6:44 立川市　
１９ ???　さん 2014/7/1　8:19 　
２０ GUTENTAG　さん 2014/7/1　9:125 滋賀県　
２１ たかひろ　さん 2014/7/1　9:26 立川市　
２２ いぬたこ　さん 2014/7/1　10:13 千葉県　
２３ 嫁に行ったネコ　さん 2014/7/1　10:14 関東北部
２４ うたぁ～　さん 2014/7/1　10:14 東京　
２５ 平和町のじじばば　さん 2014/7/1　10:15 愛知県　
２６ 王家のコ　さん 2014/7/1　10:16 韓国　
２７ 話題王　さん 2014/7/1　10:30 さいたま　
２６ 虹パパ　さん 2014/7/1　11:53 東京都　
２７ uchinyan　さん 2014/7/1　15:28 　
２８ まつてっく　さん 2014/7/1　16:15 大阪府　
２９ ＫＡＺ　さん 2014/7/1　16:48 熊本県　
３０ T-hiro　さん 2014/7/1　17:15 千葉県　
３１ スモークマン　さん 2014/7/1　18:36 金光＠岡山　
３２ ふじも　さん2014/7/1　22:03　
３３ つねまる　さん 2014/7/2　7:11 千葉県　
３４ さすらい人　さん 2014/7/2　12:341 神奈川　
３５ まいすた　さん2014/7/2　22:29　
３６ ラスカマン　さん 2014/7/2　23:55 静岡県伊豆半島　
３７ 寿萬亀　さん 2014/7/3　9:29 鴨川　
３８ ハイテク王　さん 2014/7/3　111:31 山口県　
３９ やぶｺｳﾉﾄﾘ　さん 2014/7/3　15:11 兵庫県　
４０ カルダノ　さん 2014/7/3　21:00 群馬　
４１ 猫魂　さん 2014/7/3　2:39 宮崎県　
４２ りーくん　さん 2014/7/4　2:29 埼玉県　
４３ のぼりん　さん 2014/7/4　11:35 東京都　
４４ hiroki　さん 2014/7/4　15:51 東京都　
４５ NNR4　さん 2014/7/4　20:51 兵庫県　
４６ パック積分　さん 2014/7/4　22:54 栃木県　
４７ cycloneの目　さん 2014/7/7　16:57 新潟県　
４８ ぱんみつ　さん 2014/7/4　20:57 千葉県　
４９ こまち　さん 2014/7/8　8:10 　
５０ 数樂　さん2014/7/9　3:37徳島県　
５１ 弥次郎　さん 2014/7/11　16:50 神奈川県　
５２ りゅう　さん 2014/7/12　15:32 兵庫県　
５３ てくてくん　さん 2014/7/13　19:14 　
５４ ずお　さん 2014/7/13　19:33 山形県　
５５ めざせ囲碁５段　さん 2014/7/16　15:01 長野県小学校教諭　
５６ 反車(Hensha)　さん 2014/7/20　8:36 大阪府　
５７ Itsu　さん 2014/7/20　11:18 大阪府　
５８ OH　さん 2014/7/22　9:12 大阪　
５９ mocchy　さん 2014/7/23　16:48 広島県　

答えは、５３　でした

[486] 訂正 投稿者：カルダノ 投稿日：2014/07/08(Tue) 22:22 [返信]
> 下二桁が77ということなので、立方根の下1桁（mod10=7）となる自然数を求めたら「３」のみだったので答えの1の位は「３」（７は奇数なので１の位は偶数ではない。また５でも１でもない。９の立方根は729なので求めるべき数字は「３」）３の立方根は27であるので下二桁が77になるには50必要、（10X＋３）^３＝（省略）＋90X＋27となり、この時Xは「５」が適当。よって答えは53
>
> （この回答はいま気づいた(;´・ω・)最初は「３」まで出してからのゴリ押し）

【訂正】（10X＋３）^３＝（省略）＋90X＋27
→（10X＋３）^３＝（省略）＋270X＋27
答え同じだけど、暗算はきついな(´・ω・｀)

[485] 久しぶりの投稿です 投稿者：のぼりん 投稿日：2014/07/04(Fri) 11:35 [返信]
大学入試並みの難問とお見受けしました。

題意から、ある数 ｎ は奇数です。 一桁の奇数を三乗して比較すれば、ｎ の一桁目は ３ であることが分かります。 そこで、
　　　　ｎ＝１０ｘ＋３　（ｘ は整数）
と表せます。 題意は、
　　　（１０ｘ＋３）＾３＝７７＋１００ の倍数
　　　２７０ｘ＋２７＝７７＋１００ の倍数
　∴　２７ｘ＝５＋１０ の倍数
です。 右辺を １０ｙ （ｙ は整数）とおけば、
　　　２７ｘ－１０ｙ＝５　…　①
です。 目検討により（あるいはユークリッドの互除法を使う等して）、
　　　２７×５－１０×１３＝５　…　②
を得、①と②の右辺を等置して、
　　　２７ｘ－１０ｙ＝２７×５－１０×１３
　∴　２７（ｘ－５）＝１０（ｙ－１３）
です。 ２７ と １０ が互いに素であることにより、
　　　ｘ＝５＋１０ の倍数
だから、
　　　ｎ＝５３＋１００ の倍数
です。

[484] ゴリ押し 投稿者：カルダノ 投稿日：2014/07/03(Thu) 20:54 [返信]

下二桁が77ということなので、立方根の下1桁（mod10=7）となる自然数を求めたら「３」のみだったので答えの1の位は「３」（７は奇数なので１の位は偶数ではない。また５でも１でもない。９の立方根は729なので求めるべき数字は「３」）３の立方根は27であるので下二桁が77になるには50必要、（10X＋３）^３＝（省略）＋90X＋27となり、この時Xは「５」が適当。よって答えは53

（この回答はいま気づいた(;´・ω・)最初は「３」まで出してからのゴリ押し）

[482] Re:[480] 面白い現象！ 投稿者：Ｍｒ.ダンディ 投稿日：2014/07/02(Wed) 11:22 [返信]
> これが…mod 10でも同じになる理由がわからない…^^;

ａ^5－ａ＝a(a^4－１)=a(a－１)(a＋1)(a^2＋1）

a,(a－１),(a＋1)は連続する整数だから、必ずこのなかに偶数は存在する。
また、この中に5の倍数が含まれれば、(ａ^5－ａ)は10の倍数になります。
よって、a=5n+2　,　5n+3(ｎ：整数）のときに　(a^2+1)
が5の倍数になることをいえば、(ａ^5－ａ)は10の倍数になります。
(5n+2)^2+1　,　(5n+3)^2+1 を計算すれば、(a^2+1)
が5の倍数になることは明らか。

したがって
a^5－a≡0（mod10)
すなわち
a^5≡a（mod10）
いかがでしょうか　？

[481] Re:[472] 面白い現象！ 投稿者：sue 投稿日：2014/07/02(Wed) 06:39 [返信]
> ａを１桁の整数とするとき
> a^3の１の位を　ｂとすると　a とｂの間に
> １⇔１,３⇔３,４⇔４、５⇔５,６⇔６、９⇔９
> ２⇔８，３⇔７
> ----------------
> a^5 の１の位を　ｂとするときは
> 必ず　ａ＝ｂ　がいえる。
>
a^5 の他に　a^9　、　a＾13　、　a^17　、　a^(1+4n)　などが　当てはまりそうですが　理由はわかりません・・・

[480] Re:[472] 面白い現象！ 投稿者：スモークマン 投稿日：2014/07/01(Tue) 18:42 [返信]
> a^5 の１の位を　ｂとするときは
> 必ず　ａ＝ｂ　がいえる。

mod 5 で考えると…
a=1,2,3,4,6,7,8,9はすべて5と素だから…フェルマーの小定理から...
a^4≡1
つまり、a^5≡a mod 5
これが…mod 10でも同じになる理由がわからない…^^;

[479] 鮭の日 投稿者：sue 投稿日：2014/07/01(Tue) 18:27 [返信]
Mr.ダンディさんのおっしゃるとおり　1桁目は3で、
10桁目をAとし、答えの3桁目をBとすると
　（10A+3）＾3＝100B＋77
展開して
　1000A＾3+900A^2+270A+27＝100B+77
整理して
　10A(100A^2+90A+27）＝100B+50
　A(100A^2+90A+27）＝10B+5
右辺は5で割り切れるので5の倍数
だから左辺も5の倍数なので
　A=5

　答え　10A+3＝50+3＝53

としました。

　ちなみに　11月11日は　鮭の日だそうです。
　魚へん　に　十一十一　らしい・・・

[478] 無題 投稿者：鯨鯢(Keigei) 投稿日：2014/07/01(Tue) 16:52 [返信]

下３桁が 777になる最小の立方数は 753^3 ，
下４桁が 7777になる最小の立方数は 753^3 ，
下５桁が 77777になる最小の立方数は 60753^3 ，
下６桁が 777777になる最小の立方数は 660753^3 ，
下７桁が 7777777になる最小の立方数は 9660753^3 ，
下８桁が 77777777になる最小の立方数は 99660753^3 ，
下９桁が 777777777になる最小の立方数は 899660753^3 です。
[477] 電卓さまさま 投稿者：次郎長 投稿日：2014/07/01(Tue) 12:37 [返信]
私も
1の位は３と分かったので、13*13*13ダメ、23*23*23ダメ、33*33*33だめ、43*43*43駄目、53*53*53ビンゴ
良かった！早く答えが見つかって。

下3桁が777なら、私はGIVEUP

[476] 無題 投稿者：kuro 投稿日：2014/07/01(Tue) 11:50 [返信]
１の位が３までは分かりましたが、
１０の位はしらみつぶしでやっちゃいました

[475] 1の位 投稿者：話題王 投稿日：2014/07/01(Tue) 10:33 [返信]
1の位が3と判明、面白かったです。

[474] 無題 投稿者：いぬたこ 投稿日：2014/07/01(Tue) 10:11 [返信]

１ケタ目は３しかない。２ケタとして(10A+3)^3とおき、
２ケタに絡むのは70A+27で、Aは５となった、

[473] 地道に計算・・・ 投稿者：巷の夢 投稿日：2014/07/01(Tue) 06:00 [返信]

その数をX+Yとします、Xは10の桁、Yの値はMr.ダンディ様が書かれている様に最少数なので3となります。すると10の桁は計算により、27X＋20となりますので、X＝50となり、求める数は53です

[472] 面白い現象！ 投稿者：Ｍｒ.ダンディ 投稿日：2014/07/01(Tue) 01:05 [返信]

ａを１桁の整数とするとき
a^3の１の位を　ｂとすると　a とｂの間に
１⇔１,３⇔３,４⇔４、５⇔５,６⇔６、９⇔９
２⇔８，３⇔７
----------------
a^5 の１の位を　ｂとするときは
必ず　ａ＝ｂ　がいえる。

なかなか面白い現象ですね。

（これらより、１の位は「3」と即決でした）　

[471] 十進basic で 投稿者：ゴンとも 投稿日：2014/07/01(Tue) 00:08 [返信]
FOR a=1 TO 100
IF 100*FP(a^3/100)=77 THEN PRINT a
NEXT a
END

f9押して　53・・・・・・(答え)