「今月の問題」 第184回 (平成27年1月)

<問題>
下図を見て下さい。上皿天秤と1g、3g、9g、27gの4つの分銅があります。
これらの4つの分銅のいくつかを利用すれば、1gから40gの全てを量るとができることが分かりました。
下図のように置けば、20gを量ることができます。

ここで問題です。
4つの分銅全てを、左右のどちらかの上皿にのせて量る重さは、1から40gのうち何通りになるでしょうか。

※40g(40通り)のうち4個の分銅を使わなければ、量ることのできない重さを数え上げて下さい。いつもながら題意が不明瞭で申し訳ありません。
 

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の掲示板をお借りして再設定をしました(平成27年1月7日)。
皆さんの貴重な書き込みをお待ちしています。

 
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<※3>都道府県名や職業など知らせてもらえたら有り難いですが。

皆さんの解答に刺激を受けてホームページを開設させて頂いています。中学校の教師を離れて早5年が過ぎようとしています。皆さんに訪問して頂き16年めに入りましたことを心より感謝いたします。
なお、締め切りは1月31 日といたします。
次回の出題予定は、平成27年2月1日 0:00を予定しています。

<正解者一覧表>          1月31日 20:30現在   

    name      メール到着日時      備 考  
 1 鯨鯢(Keigei) さん 2015/1/1 0:03  
 2 物理好き さん 2015/1/1 0:05  
 3 kou さん 2015/1/1 0:06 さいたま 
 4 AKIRA さん 2015/1/1 0:08 愛知県 
 5 マッキー27 さん 2015/1/1 0:09 愛知県 
 6 Mr.ダンディ さん 2015/1/1 0:17 大阪府 
 7 algebra さん 2015/1/1 0:32 神奈川県 
 8 男はつらいよ さん 2015/1/1 0:33 神奈川県 
 9 次郎長 さん 2015/1/1 0:56 次郎長
10 tt さん 2015/1/1 0:57  
11 ゴンとも さん 2015/1/1 1:45 豊川市 
12 朝霞おじ さん 2015/1/1 4:34 埼玉県 
13 ユートニウム さん 2015/1/1 6:57  
14 猫魂 さん 2015/1/1 9:20 宮崎県 
15 スモークマン さん 2015/1/1 12:58 岡山 
16 バニラ さん 2015/1/1 13:00  
17 りーくん さん 2015/1/1 13:24 埼玉県 
18 GUTENTAG さん 2015/1/1 13:57 滋賀県 
19 sue さん 2015/1/1 15:40 筑前州上津役村@旧福岡県
20 ltsu さん 2015/1/1 16:30 大阪府小5 
21 uchinyan さん 2015/1/1 22:03  
22 teki さん 2015/1/1 22:18 大阪府 
23 ペンギン さん 2015/1/2 2:58 東京都 大学生
24 いちもく さん 2015/1/2 5:08 立川市 
25 石原ゼミさん 2015/1/2 16:48 兵庫県 
26 たかひろ さん 2015/1/3 9:58 埼玉県 
27 カルダノ さん 2015/1/3 16:16 群馬県 
28 アール さん 2015/1/4 20:14  
29 ??? さん 2015/1/5 9:00  
30 虹パパ さん 2015/1/5 15:13 東京都 
31 巷の夢 さん 2015/1/6 9:12 神奈川県在住 
32 つねまる さん 2015/1/6 13:12 千葉県 
33 あめい さん 2015/1/6 17:01  
34 元気モリモリ さん 2015/1/6 17:23 宮崎県 
35 KAZ さん 2015/1/6 19:16 熊本県 
36 剛腕 さん 2015/1/6 20:58 大阪府 会社員
37 やぶコウノトリ さん 2015/1/7 11:46 兵庫県 
38 NNR4 さん 2015/1/8 20:57 兵庫県 
39 士郎・p・部分群 さん 2015/1/10 2:17 美食倶楽部 
40 ラスカマン さん 2015/1/10 20:01 静岡県伊豆半島 
41 南草津のトライ さん 2015/1/15 15:36 滋賀 
42 岡本ボンバーズ さん 2015/1/19 10:15 秋田県 
43 なにわともあれ さん 2015/1/29 11:42 岩手県 
44 TK さん 2015/1/31 19:01 埼玉県 

答えは 8通りでした。

[5] 解法? 投稿者: のぼりん <1gatu> 投稿日: 2015/01/16(Fri) 21:37  
1+3+9<27 だから、測る物品は 27g の分銅と反対の皿に乗せる必要があります。
測れる重さは、(27±1±3±9)g の八通り以内です(複号任意)。
1×2<3、(1+3)×2<9 だから、±1±3±9 の八通りの計算値は全て異なります。

分銅の重さを三進法の単位に揃えているのは、1×2<3、(1+3)×2<9 の要件を満たす最小値から来ているのですね。
この原理を使えば、3^0g、3^1g、……、(3^n)g の(n+1)個の分銅の場合も、容易に求められますね。
問題設定の妙に感服しました。
[4] 回復されてたんですね。 投稿者: teki <1gatu> 投稿日: 2015/01/15(Thu) 20:43  
おめでとうございます。
早速ですが、解き方を書いておきます。

重りの乗せ方は、通常の場合、「左」「右」「乗せない」の3とおりあり、3^4=81通りの重さが量れます。(問題に出てくるのは1~40ですが、残りの41通りは、-40~0)
4つの重り全てを天秤に乗せる場合、「乗せない」という選択肢は除外されるので、2^4=16通りの重さが量れます。
-側を考慮すると、この半分の8通りとなります。
まあ、地道に数えてもそんなに時間はかからないですけど。