「今月の問題」　第１３回　（平成１２年１０月）

＜１．標準問題＞

右図のような、頂角Ａの角度が２０度の二等辺三角形（AB=AC）があります。 ＢＣ＝ＢＥになるように、辺ＡＣ上にＥ点をとり、 Ｃ点から、∠ＢＣＤ＝５０°になるように辺ＡＢ上にＤ点をとりました。 この時、∠ＥＤＣの大きさを求めて下さい。

＜標準問題の解答例＞
＊＊＊rinaさんの解答＊＊＊＊＊＊＊

△ＡＢＣは底角８０の二等辺三角形

△ＢＣＤで　∠ＣＢＤ＝８０　∠ＢＣＤ＝５０　から残りの角　∠ＢＤＣ＝５０　
従って　△ＢＣＤは　　ＢＣ＝ＢＤ　の二等辺三角形.............�@

条件より　　ＢＣ＝ＢＥ............�A

�@�Aより　　ＢＣ＝ＢＥ＝ＢＤ

だから点Ｂは　△ＥＤＣの外接円の中心になる
弧ＥＣの中心角　∠ＣＢＥ＝２０　　よって　弧ＥＣの円周角　∠ＣＤＥ＝１０

＊＊＊高橋　道広　さんの解答＊＊＊＊＊

＊＊＊ＬＩＯＮ　さんの解答＊＊＊＊＊

与えられた角度の条件より、△BECはBE＝BCなる二等辺三角形、△BDCはBD=BCなる
二等辺三角形。
　よって、BD=BE。
　角DBE＝60度であるから、角EDC＝（180度−60度）÷2−角BDC＝60度−50度＝10度。

　

＜２．難解問題＞

右図のような、頂角Ａの角度が２０度の二等辺三角形（AB=AC）があります。 Ｂ点から、∠ＣＢＥ＝５０°になるように辺ＡＣ上にＥ点をとりました。 Ｃ点から、∠ＢＣＤ＝６０°になるように辺ＡＢ上にＤ点をとりました。 この時、∠ＥＤＣの大きさを求めて下さい。

＜難解問題の解答例＞

＊＊＊rinaさんの解答＊＊＊＊＊＊＊

標準問題と同様に辺ＡＢ上に　ＣＢ＝ＣＦ　となる点Ｆをとる

△ＦＣＤで　∠ＢＣＦ＝２０　より　∠ＦＣＤ＝４０　∠ＣＦＤ＝１８０−８０＝１
００
だから残りの角　∠ＦＤＣ＝４０　よって　△ＦＣＤは　ＦＣ＝ＦＤの二等辺三角形
.......�@

△ＣＢＥで　∠ＢＣＥ＝８０　∠ＣＢＥ＝５０　だから残りの角　∠ＣＥＢ＝５０
よって　△ＣＢＥは　ＣＢ＝ＣＥの二等辺三角形.............�A

△ＣＥＦで　�Aより　ＣＢ＝ＣＥ　　また　ＣＢ＝ＣＦ　だから　ＣＥ＝ＣＦ
一方　∠ＥＣＦ＝８０−２０＝６０　よって　△ＣＥＦは正三角形
すなわち　ＦＣ＝ＦＥ...........�B

�@�Bより　ＦＣ＝ＦＥ＝ＦＤ

だから点Ｆは　△ＥＤＣの外接円の中心
弧ＥＣの中心角　∠ＣＦＥ＝６０　（正三角形より）
よって弧ＥＣの円周角　∠ＥＤＣ＝３０

＊＊＊高橋　道広　さんの解答＊＊＊＊＊
辺AB上にBC＝FCとなる点Fをとります。
△ＡBCについて　角ABC＝８０度
△BCFについて　角CFB＝角FBC＝８０度　角FCB＝２０度
　　　　　　　　　　　BC＝CF…�@
△CDFについて　角CFD＝６０−２０＝４０
　　　　　　　　　　　角CDF＝４０（△BCDに着目）
　　　　　　　　　　よって二等辺三角形であるから、FC＝FD…�A
△BCEについて　角CBE＝角BEC＝５０度
　　　　　　　　　　よって二等辺三角形であるから、BC=CE…�B
△CEFについて　�@と�BからCF＝CE　角FCE＝６０より
　　　　　　　　　　正三角形であるからCF=EF…�C
△DEFについて　�Aと�CからEF＝FDであるから二等辺三角形
　　　　　　　　　角DFE＝１８０−８０−６０＝４０
　　　　　　　　　　　　　（Fのまわりの角に着目）
　　　　　　　　　角FEE＝（１８０−４０）/２＝７０
これから、角CDE＝角FDE-角FDC＝７０−４０＝３０
答え３０°　　　　　　　　　

＊＊＊ＬＩＯＮ　さんの解答＊＊＊＊＊
　CからAB上に角FCB＝20度となるような点Fをとると角BFC=角FBC=80度となるから、
CF=CB。
　また、与えられた条件より角EBC=50度、角C＝80度だから角BEC=50度となり、CB=CE。
　さらに、角ECF=80度-20度＝60度であるから、△EFCは正三角形。よって、FC=FE。

　次に△FCDに注目すると、角BFC＝80度、角DCF=40度より、角FDC=40度。
　よってFD=FC。

　以上より、FD=FEとなるから角FDE=角DEF。
　
　角EFD=180度−80度＝60度＝40度より、
　角EDC=（180度−40度）÷2−角FDC＝70度−40度＝30度。