「今月の問題」　第２０４回　（平成２８年９月）
 
＜問題＞　

　

赤，青，緑の旗がそれぞれ５枚あります。この旗を校庭のポールに縦に一列に揚げて，信号を送ろうと思います。ただし，赤旗の下に必ず青旗、青旗の下には必ず緑旗を揚げるようにします。

 

ここで問題です。旗を５枚あげたとき送ることのできる信号の数は何通りでしょうか。

 

 

＜正解者一覧表＞　　　　　　　　　　

　　　　　 ９
順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時 　　 　　備　考　　
　１ teki　さん 2016/9/1　0:04 大阪府　
　２ ゴンとも　さん 2016/9/1　0:07 豊川市　
　３ kou　さん 2016/9/1　0:10 さいたま　
　４ バニラ　さん 2016/9/1　0:12 　
　５ algebra　さん 2016/9/1　0:13 神奈川県　
　６ 朝霞おじ　さん 2016/9/1　0:14 埼玉県　
　７ 男はつらいよ　さん 2016/9/1　0:15 神奈川県　
　８ Ｍｒ．ダンディ　さん 2016/9/1　0:41 　
　９ 次郎長　さん 2016/9/1　1:46 眠れない兵庫県　
１０ いぬたこ　さん 2016/9/1　5:14 千葉県　
１１ みやねや　さん 2016/9/1　5:15 大阪　
１２ 歌猫　さん 2016/9/1　5:17 関東　
１３ 鯨鯢(Keigei)　さん 2016/9/1　5:17 　
１４ 保和　さん 2016/9/1　11:58 あいち　
１５ dyslexia　さん 2016/9/1　12:57 大阪府　
１６ 佐野のくま　さん 2016/9/1　13:25 茨城県　
１７ uchinyan　さん 2016/9/1　15:41 東京都　
１８ 巷の夢　さん 2016/9/1　17:24 神奈川県在住　
１９ NNR4　さん 2016/9/1　22:10 兵庫県　
２０ マッキー２７　さん 2016/9/1　23:44 愛知県　
２１ ユートニウム　さん 2016/9/2　7:40 　
２２ GUTENTAG　さん 2016/9/2　10:53 滋賀県　
２３ まいすた　さん 2016/9/3　0:38 　
２４ ヤマモトヒサシ　さん 2016/9/3　12:22 愛知県　
２５ 石原ゼミ　さん 2016/9/3　14:44 　
２６ あめい　さん 2016/9/3　22:12 　
２７ いちもく　さん 2016/9/4　4:34 立川市　
２８ フリードン　さん 2016/9/4　11:07 長野市　
２９ ローリー　さん 2016/9/5　12:31 大阪府　
３０ やぶｺｳﾉﾄﾘ　さん 2016/9/5　13:55 兵庫県　
３１ 虹パパ　さん 2016/9/6　8:39 東京都　
３２ りーくん　さん 2016/9/7　23:44 埼玉県　
３３ だ　さん 2016/9/8　9:39 　
３４ 岡本ボンバーズ　さん 2016/9/9　13:15 秋田県　
３５ スモークマン　さん 2016/9/11　0:42 ＠新倉敷　
３６ ハイテク王 　さん 2016/9/21　2:17 山口県　
３７ JUST_COMMUNICATION 　さん 2016/9/24　15:24 　
３８ 王はこの麦茶様だ 　さん 2016/9/26　1:26 　
３９ 阿修羅 　さん 2016/9/27　21:50 長野県小学校教諭　

こたえは３１通りでした。

忙しくて、やっと９月の問題を開けました！
[240] Re:[239] このような解法も 投稿者： teki <9gatu> 投稿日： 2016/09/04(Sun) 14:30  
> トリボナッチ数列に気がつく前に、下記のような解法でときました。
> ｎ枚で一番下が赤、青、緑になる場合の数をそれぞれ　R(n),B(n),G(n)
> とすると　
> R(n)＝B(n)＝G(n)
> R(n+1)=G(n) , B(n+1)=G(n)+R(n) ,G(n+1)=G(n)+B(n)
> となり
>
> R(2)=G(1)=1 , B(2)=1+1=2 , G(2)=1+1=2
> R(3)=2 , B(3)=3 , G(3)=4
> R(4)=4 , B(4)=6 , G(4)=7
> R(5)=7 , B(5)=11 , G(5)=13
> 求める値=7+11+13=31
>
> 5枚位なら、樹形図にしろ、この解法にしろ、トリボナッチにしろ手間はそう変わらないでしょうが
> やはり　トリボナッチ数列に気がつきたいところですね。

実は、末尾が赤、青、緑7となる数列もトリボナッチになります。
[239] このような解法も 投稿者： Ｍｒ．ダンディ <9gatu> 投稿日： 2016/09/04(Sun) 10:53  
トリボナッチ数列に気がつく前に、下記のような解法でときました。
ｎ枚で一番下が赤、青、緑になる場合の数をそれぞれ　R(n),B(n),G(n)
とすると　
R(n)＝B(n)＝G(n)
R(n+1)=G(n) , B(n+1)=G(n)+R(n) ,G(n+1)=G(n)+B(n)
となり

R(2)=G(1)=1 , B(2)=1+1=2 , G(2)=1+1=2
R(3)=2 , B(3)=3 , G(3)=4
R(4)=4 , B(4)=6 , G(4)=7
R(5)=7 , B(5)=11 , G(5)=13
求める値=7+11+13=31

5枚位なら、樹形図にしろ、この解法にしろ、トリボナッチにしろ手間はそう変わらないでしょうが
やはり　トリボナッチ数列に気がつきたいところですね。
[238] 時間があったので・・・（余裕で解けたわけではありませんが） 投稿者： あめい <9gatu> 投稿日： 2016/09/03(Sat) 22:12  
研修会会場に早く着いてしまい、時間があったのでやってみました。
最初は樹形図で、・・・・５段なので案外すらすらと書けました。
まだ時間があったので, トリボナッチでしたっけ、以前こちらかどちらかで覚えた数列に思い至り、自分としては大満足の時間の使い方でした。
[237] Re:[236] 書き出してみると 投稿者： dyslexia <9gatu> 投稿日： 2016/09/01(Thu) 22:06  
> ＞もうひとつ法則性が ピンときません。
>
> ｎ＞３について、
>
> 　　　　　F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3)
>
> が成り立ちます。なぜなら、ｎ枚の旗の並べ方F(n)は、
> １．最上段が緑のとき、２番目以降は何でもいいので、F(n-1)通り。
> ２．最上段が青のとき、２番目は緑、３番目以降は何でもいいので、F(n-2)通り。
> ３．最上段が赤のとき、２番目は青、３番目は緑、４番目以降は何でもいいので、F(n-3)通り。
>
> 従って、F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3)
>
> ３番目までは、樹形図等で数えるよりないですが・・・・。
>
> で、F(1)=3,F(2)=5,F(3)=9　から
>
> F(4)=3+5+9=17,F(5)=5+9+17)=31　となります。

さっそくの御教示、ありがとうございます。
言われてみれば そうですね 合点がいきました。
[236] Re:[235] 書き出してみると 投稿者： teki <9gatu> 投稿日： 2016/09/01(Thu) 21:35  
＞もうひとつ法則性が ピンときません。

ｎ＞３について、

　　　　　F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3)

が成り立ちます。なぜなら、ｎ枚の旗の並べ方F(n)は、
１．最上段が緑のとき、２番目以降は何でもいいので、F(n-1)通り。
２．最上段が青のとき、２番目は緑、３番目以降は何でもいいので、F(n-2)通り。
３．最上段が赤のとき、２番目は青、３番目は緑、４番目以降は何でもいいので、F(n-3)通り。

従って、F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3)

３番目までは、樹形図等で数えるよりないですが・・・・。

で、F(1)=3,F(2)=5,F(3)=9　から

F(4)=3+5+9=17,F(5)=5+9+17)=31　となります。
[235] 書き出してみると 投稿者： dyslexia <9gatu> 投稿日： 2016/09/01(Thu) 21:15  
赤を 1 青を 2 緑を 3 として 左を上として並べると
1 2 3 1 2
1 2 3 2 3
1 2 3 3 1
1 2 3 3 2
1 2 3 3 3
2 3 1 2 3
2 3 2 3 1
2 3 2 3 2
2 3 2 3 3
2 3 3 1 2
2 3 3 2 3
2 3 3 3 1
2 3 3 3 2
2 3 3 3 3
3 1 2 3 1
3 1 2 3 2
3 1 2 3 3
3 2 3 1 2
3 2 3 2 3
3 2 3 3 1
3 2 3 3 2
3 2 3 3 3
3 3 1 2 3
3 3 2 3 1
3 3 2 3 2
3 3 2 3 3
3 3 3 1 2
3 3 3 2 3
3 3 3 3 1
3 3 3 3 2
3 3 3 3 3

それで 旗の上から 赤ではじまるのが 5
青ではじまるのが 9
緑ではじまるのが 17
合計 31 となりましたが もうひとつ法則性が ピンときません。
[234] 日本語の能力不足？ 投稿者： 巷の夢 <9gatu> 投稿日： 2016/09/01(Thu) 17:31  
最初ずっと、問題の意味が分からず、呻吟を続けておりました。
赤の下には必ず青、青の下には必ず緑、赤赤としてはいけないのだし
・・・・、うーんー、そこでやっと閃き、一番上の色を決めれば
良いなと・・・・。
いやはや冷や汗とひらめきの遅い事、自分でも嫌になりました。
[233] 眠れぬ夜は 投稿者： 次郎長 <9gatu> 投稿日： 2016/09/01(Thu) 11:14  
夜10時くらいから寝床に入っていたものの、うつらうつら。
ふと目が覚めたら深夜1時半過ぎ。
そうだ、問題出てるかなとそっとスイッチ入れ。
ややこしそう、朝にしようかと悩んだけど、
1段目2段目と順に考えて行ったら意外と順調に解けました。
ここ2，3日、暑さが少しマシで、寝やすくなりました。
[232] 無題 投稿者： いぬたこ <9gatu> 投稿日： 2016/09/01(Thu) 05:14  
最初めんどくさく
どこから
かんがえていいか
解りませんでしたが開き直って
上から見ていったら法則が見えました
231] 十進basic で　 投稿者： ゴンとも <9gatu> 投稿日： 2016/09/01(Thu) 00:12  
赤,青,緑をそれぞれ1,2,3,旗の位置を上から変数a,b,c,d,eとして

for a=1 to 3
for b=1 to 3
if (a=1 and b<>2) or (a=2 and b<>3) then goto 40
for c=1 to 3
if (b=1 and c<>2) or (b=2 and c<>3) then goto 30
for d=1 to 3
if (c=1 and d<>2) or (c=2 and d<>3) then goto 20
for e=1 to 3
if (d=1 and e<>2) or (d=2 and e<>3) then goto 10
let s=s+1
10 next e
20 next d
30 next c
40 next b
50 next a
print s
end

f9押して　31・・・・・・(答え)
[230] トリボナッチ数列 投稿者： teki <9gatu> 投稿日： 2016/09/01(Thu) 00:09  
になりますね。

３、５、９，１７，３１・・・・

前の３つを足した数列になるので、５枚なら５＋９＋１７＝３１通りになります。
同様に６枚なら、９＋１７＋３１＝５７通り、７枚なら１７＋３１＋５７＝１０５通り・・・です。