「今月の問題」　第２０６回　（平成２８年１１月）
＜問題＞　

　よしおくんとのり子さんが卓球の試合をして、３点先取したほうが勝ちとします。よしお君がのりこさんから１点を取る確率を3/4とします。

　ここで問題です。
　よしお君がのり子さんに勝つ確率を分数で答えて下さい。
　※　リオデジャネイロオリンピックでの日本人の活躍は凄まじいものがありました。金メダル１２個、銀メダル８個、銅メダル２１個は日頃の練習成果を十分に発揮した誇らしい成績でした。
　その中で、プレッシャーの中で勝ち得た女子卓球の銅メダルは感動させられるものでした。
　右のスコアは福原選手の個人３回戦の成績です。およそ、福原選手がとっている得点は3/4ほどになります。彼女の強さが確認できます。
ちなみに４回戦は４－０、準々決勝は４－０での勝利でした。


＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　
順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時 　　 　　備　考　　
　１ algebra　さん 2016/11/1　0:05 神奈川県　
　２ 男はつらいよ　さん 2016/11/1　0:07 神奈川県　
　３ 源内シンガポール　さん 2016/11/1　0:09 長崎県　
　４ Ｍｒ．ダンディ　さん 2016/11/1　0:11 　
　５ ゴンとも　さん 2016/11/1　0:38 豊川市　
　６ バニラ　さん 2016/11/1　0:39 　
　７ kou　さん 2016/11/1　1:21 さいたま　
　８ 鯨鯢(Keigei)　さん 2016/11/1　5:50 　
　９ いちもく　さん 2016/11/1　5:52 立川市　
１０ 巷の夢　さん 2016/11/1　5:57 神奈川県在住　
１１ 次郎長　さん 2016/11/1　6:30 秋冷、兵庫　
１２ ユートニウム　さん 2016/11/1　6:54 　
１３ いぬたこ　さん 2016/11/1　9:31 千葉県　
１４ やぶｺｳﾉﾄﾘ　さん 2016/11/1　9:33 兵庫県　
１５ 朝霞おじさん 2016/11/1　9:50 埼玉県　
１６ 保和　さん 2016/11/1　10:01 愛知　
１７ やまもとひさし　さん 2016/11/1　10:02 愛知県
１８ AKIRA　さん 2016/11/1　10:37 豊川市　
１９ 十一月　さん 2016/11/1　13:20 愛知　
２０ 初芝立命館高等学校　さん 2016/11/1　13:22 大阪府　
２１ uchinyan　さん 2016/11/1　14:10 東京都　
２２ 佐野のくま　さん 2016/11/1　15:44 関東平野　
２３ teki　さん 2016/11/1　16:32 大阪府　
２４ マッキー２７　さん 2016/11/1　20:40 愛知県　
２５ まいすた　さん 2016/11/1　23:01 　
２６ あきのみやじま　さん 2016/11/2　3:39 広島県　
２７ うたねこ　さん 2016/11/2　13:51 東京都　
２８ GUTENTAG　さん 2016/11/2　13:57 滋賀県　
２９ NNR4　さん 2016/11/2　22:04 兵庫県　
３０ GUTENTAG　さん 2016/11/3　8:26 滋賀県　
３１ AKIRA　さん 2016/11/3　16:54 愛知県　
３２ りーくん　さん 2016/11/3　23:52 埼玉県　
３３ ハイテク王　さん 2016/11/4　0:55 山口県　
３４ スモークマン　さん 2016/11/4　22:49 @新倉敷　
３５ たかひろ　さん 2016/11/6　19:04 埼玉県　
３６ dyslexia　さん 2016/11/7　9:18 大阪府の真ん中あたり　
３７ たけ　さん 2016/11/14　13:21 大阪府　
３８ こうちゃんxxxパパ　さん 2016/11/14　16:32 大阪府　
３９ ローリー　さん 2016/11/16　10:18 大阪府　
４０ suganium　さん 2016/11/22　0:22 　

 

答えは、459/512　でした。

[266] 久しぶりに解きました 投稿者： suganium <459> 投稿日： 2016/11/22(Tue) 00:22  
3-0で勝つ・・・27/64
3-1で勝つ・・・81/256
3-2で勝つ・・・81/512
合計459/512

確率90%くらいですか!すごいですね(笑)
[265] Re:[264] いつもありがとう ございます。 投稿者： teki <459> 投稿日： 2016/11/05(Sat) 22:19  
> tekiさん、どうもです。
> 実は ほげさんに メールをして ヒントをもらったのですが
> ちょっと 意地悪な？ ものでして 益々 どつぼに 嵌ってしまったのでした、もう一度考えてみます。

厳密に計算すれば、くじを引く順番によって若干の差が生じますが、奇数人で中央の人は、全部の平均になるんです。
[264] いつもありがとう ございます。 投稿者： dyslexia <459> 投稿日： 2016/11/05(Sat) 22:02  
tekiさん、どうもです。
実は ほげさんに メールをして ヒントをもらったのですが
ちょっと 意地悪な？ ものでして 益々 どつぼに 嵌ってしまったのでした、もう一度考えてみます。
[263] Re:[262] 吉岡先生、こちらの計算ミスでした。 投稿者： teki <459> 投稿日： 2016/11/05(Sat) 20:57  
> #127の くじ の確率で行き詰まって 苦戦を強いられています。

dyslexiaさんらしくないですね。
もっと単純に考えてはいかがですか。
３人と５人でくじ引きするのですから、それぞれの当選確率は何番目であろうとおなじことです。
[262] 吉岡先生、こちらの計算ミスでした。 投稿者： dyslexia <459> 投稿日： 2016/11/04(Fri) 23:15  
よしおくんが 勝つのは
セットカウント 3-0, 3-1, 3-2 の場合があり これらは 互いに排反

3-0の場合の確率は (3/4)^3 =27/64
3-1の場合の確率は 第三セットまでに よしおくんが 2ポイント取り
第四セットで勝つ場合の確率だから

3C2 (3/4)^2 ×(1/4)×(3/4) =81/256

3-2の場合 第四セットまでに よしおくんが 2ポイント取り
第5セットで 勝つ場合の確率だから

4C2(3/4)^2 × (1/4)^2 × (3/4) =81/512


故に 216/512 + 162/ 512 + 81/512 = 459/ 512


確率は 本当に厄介ですね。
ほげさんのところの 問題集は あと残り2問まできたのですが
#127の くじ の確率で行き詰まって 苦戦を強いられています。
[261] 漸化式風…?…^^; 投稿者： スモークマン <459> 投稿日： 2016/11/04(Fri) 22:49  
f(3-0)=(3/4)^3
f(3-1)=4C1*(3/4)^3*(1/4)-f(3-0)*(1/4)=4*(3/4)^3*(1/4)-(3/4)^3*(1/4)
=(3/4)^3*(1/4)*(4-1)=81/256
f(3-2)=5C2*(3/4)^3*(1/4)^2-f(3-1)*(1/4)-f(3-0)*(1/4)^2
=10*(3/4)^3*(1/4)^2-(3/4)^3*(1/4)^2*(4-1)-(3/4)^3*(1/4)^2
=(3/4)^3*(1/4)^2*(10-3-1)
=81/512
なはっ…全然面倒あるか…^^;
[260] よしお君が勝つ確率一般式 投稿者： ハイテク王 <459> 投稿日： 2016/11/04(Fri) 20:49  
　私はⅰ)よしお君が最初に点を取る場合
　　　ⅱ)のり子さんが最初に点を取る場合　に場合分けして解きました。
　
　よしお君がのり子さんから一点を取る確率をPとすると、のりこさんがよしおくんから一点を取る確率は余事象より1－Pとなる。

　ⅰ)について、よしお君が勝つということは、最後に点を取るのはよしお君でないといけないので、最初と最後の確率はPだとわかり、その間の事象は、Pが必ず一つ、かつ、1－Pが0～2つであればよい。これを反復試行を使って考えると、

　　①Pが一つ
　　②Pが一つ、かつ、1-Pが一つ　　　これらは互いに排反なので足し算
　　③Pが一つ、かつ、1-Pが二つ　　

　となり、ⅰ)の確率P&#8321;=P{P+２&#8557;１P(1-P)+３&#8557;１P(1-P)^2}P

=P(6P-8P^2+3P^3)P　となる。

　ⅱ)について、ⅰ)と同様に考えると、最初の確率は1-P、最後の確率はPであり、その間の事象は、Pが必ず二つ、かつ、1-Pが0～1つであればよい。
　　
　　④Pが二つ
　　⑤Pが二つ、かつ、1-Pが一つ　

　となり、ⅱ)の確率P&#8322;=(1-P){P^2+３&#8557;２P^2(1-P)}P

=(1-P)(4P^2-3P^3)P　となる。

　　ⅰ),ⅱ)よりP=3/4を代入して、Ｐ=P&#8321;+P&#8322;=459/512　となる。

　　
　　
　またN点先取の場合は、P&#8321;=P{∑K=0～N-1 N-2+K&#8557;N-2 P^N-2(1-P)^k}P

P&#8322;=(1-P){∑K=0～N-2 N-1+K&#8557;N-1 P^N-1(1-P)^K}P

Ｐ=P{∑K=0～N-1 N-2+K&#8557;N-2 P^N-2(1-P)^K}P+(1-P){∑K=0～N-2 N-1+K&#8557;N-1 P^N-1(1-P)^K}P　となる。
[259] 無念 投稿者： まいすた <459> 投稿日： 2016/11/01(Tue) 23:00  
数え上げで解く方法しか、考え付きませんでした。
得点確率pでN点先取ルールの場合、勝利確率はどんな一般式になるんでしょう？

http://primzahl.seesaa.net/

[258] おっと 投稿者： teki <459> 投稿日： 2016/11/01(Tue) 16:40  
書き間違えました。

(27/1024)*3　は　+(27/1024)*6　の間違いです。
[257] 基本的には 投稿者： teki <459> 投稿日： 2016/11/01(Tue) 16:38  
Ｍｒ．ダンディさんと同じですが、

３－１の場合が３通り、３－２の場合が６通りあるので、

27/64+(27/256)*3+(27/1024)*3=918/1024=459/512　としました。

昨夜解けたのですが、正解者認証の方法がわからず、今日再計算して答えを送付しました。

吉岡先生、正解者掲示板の入室方法を明記願います。

[256] ふむふむ 投稿者： いぬたこ <459> 投稿日： 2016/11/01(Tue) 09:26  
3つ勝つのをおいて、残りどこに負けを入れるかで解きました
[255] [254] Re:[251] 計算が面倒 投稿者： 次郎長 <459> 投稿日： 2016/11/01(Tue) 07:43  
Ｍｒ．ダンディ様、巷の夢様と同じ方法で解きました。
最後の足し算で2回間違えました。
通分ができない。
[254] Re:[251] 計算が面倒 投稿者： 巷の夢 <459> 投稿日： 2016/11/01(Tue) 06:55  
Mr.ダンディ様と同じ方法で解きました。
[253] 十進Basic で 投稿者： ゴンとも <459> 投稿日： 2016/11/01(Tue) 01:00  
卓球の試合を1,2,3,4,5と番号を振り
各試合の得点をよしお君,のり子さんの順にa1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,b5として

for a1=0 to 1
for b1=0 to 1
if a1+b1<>1 then goto 90
for a2=0 to 1
for b2=0 to 1
if a2+b2<>1 then goto 70
for a3=0 to 1
for b3=0 to 1
if a3+b3<>1 then goto 50
if a1+a2+a3=3 then let s1=s1+1
for a4=0 to 1
for b4=0 to 1
if a4+b4<>1 then goto 30
if a4=1 and a1+a2+a3+a4=3 then let s2=s2+1
for a5=0 to 1
for b5=0 to 1
if a5+b5<>1 then goto 10
if a5=1 and a1+a2+a3+a4+a5=3 then let s3=s3+1
10 next b5
20 next a5
30 next b4
40 next a4
50 next b3
60 next a3
70 next b2
80 next a2
90 next b1
100 next a1
print s1;s2;s3;s1*(3/4)^3+s2*(3/4)^3*(1/4)^1+s3*(3/4)^3*(1/4)^2
end

有理数モードにしてf9押して　1 3 6 459/512・・・・・・(答え)
[252] 無題 投稿者： algebra <459> 投稿日： 2016/11/01(Tue) 00:23  
反復試行を用いて解きました。
[251] 計算が面倒 投稿者： Ｍｒ．ダンディ <459> 投稿日： 2016/11/01(Tue) 00:21  
３点連続とる確率・・・(3/4)^3=27/64
2-1の後１点取る確率・・・(3C2)*(3/4)^2*(1/4)*(3/4)=81/256
2-2の後１点取る確率・・・(4C2)*(3/4)^2*(1/4)^2*(3/4)=81/512
よって
27/64＋81/256＋81/512=459/512
としました