「今月の問題」　第２１４回　（平成２９年７月）
 
＜問題＞　

 　右図のような、中心から頂点までの長さが１００mmの正６角形の周りに、６枚の刃がついた回転のこぎりがあります。　回転のこぎりの刃は、正６角形の周りに、６個の正三角形が隙間なく並んでいます。　この時、回転のこぎりの刃の周囲の長さ（赤色の長さ）は、１２００mmになります。

  　ここで問題です。正６角形を、無限に辺の数を増やした正多角形に変えると、刃の周囲の長さは、何mmに近づくでしょうか。
　ただし、円周率は３.１４として下さい。  


  

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時 　　 　　備　考　　
　１ まいすた 　さん 2017/7/1　1:36 　
　２ ゴンとも　さん 2017/7/1　2:57 　
　３ 鯨鯢(Keigei)　さん 2017/7/1　5:08 　
　４ 巷の夢　さん 2017/7/1　5:28 神奈川県在住　
　５ いぬたこ　さん 2017/7/1　6:19 千葉　
　６ うたねこ　さん 2017/7/1　7:03 とうきょう　
　７ ほかず　さん 2017/7/1　7:04 　
　８ kou　さん 2017/7/1　7:50 さいたま　
　９ 次郎長　さん 2017/7/1　8:19 暑くなりそうな兵庫県
１０ algebra　さん 2017/7/1　8:25 神奈川県　
１１ 男はつらいよ　さん 2017/7/1　8:25 神奈川県　
１２ アレキサンダーおろ　さん 2017/7/1　8:34 関東　
１３ Dr山本　さん 2017/7/1　8:35 愛知県　
１４ Ｍｒ．ダンディ　さん 2017/7/1　9:34 大阪府　
１５ マッキー２７　さん 2017/7/1　10:01 　
１６ GUTENTAG　さん 2017/7/1　12:02 滋賀県　
１７ NNR4　さん 2017/7/1　12:19 兵庫県　
１８ teki　さん 2017/7/1　13:18 大阪府　
１９ バニラ　さん 2017/7/1　13:23 　
２０ スモークマン　さん 2017/7/1　13:56 @新倉敷　
２１ いちもく　さん 2017/7/1　14:14 立川市　
２２ 源内シンガポール　さん 2017/7/1　14:59 長崎県　
２３ AKIRA　さん 2017/7/1　16:45 豊川市　
２４ あめい　さん 2017/7/2　17:38 　
２５ 初芝立命館高校　さん 2017/7/3　9:45 大阪府　
２６ 朝霞おじ　さん 2017/7/3　10:04 埼玉県　
２７ やぶコウノトリ　さん 2017/7/4　13:35 兵庫県　
２８ りーくん　さん 2017/7/5　21:30 埼玉県　
２９ ユートニウム　さん 2017/7/6　7:58 　
３０ 岡本ボンバーズ 　さん 2017/7/6　15:55 　
３１ うさぎとかめ　さん 2017/7/8　19:09 　
３２ dyslexia　さん 2017/7/18　16:18 　
３３ ローリー　さん 2017/7/18　13:53 大阪府　

答えは1256mmでした。

[340] 図形的に…^^ 投稿者： スモークマン <7gatu> 投稿日： 2017/07/01(Sat) 13:56  
無限の正多角形＝円
その上に正三角形が並んでるので…
2*円周=200*3.14*2=1256 mm
フラクタル図形と呼ばれるものなのでしょうが…
面白いですね☆
正方形なら3*円周
半円なら…π/2*円周
ね ^^
[339] すいません 投稿者： ゴンとも <7gatu> 投稿日： 2017/07/01(Sat) 02:57  
XMaxima で

limit(2*n*sqrt(100^2+100^2-2*100*100*cos(2*%pi/n)),n,inf);
400*%pi で　400*3.14=1256・・・・・・(答え)

先の式でcos(%pi/n)でなくcos(2*%pi/n)でした。
[337] 円に漸近 投稿者： まいすた <7gatu> 投稿日： 2017/07/01(Sat) 01:36  
1256mmではないでしょうか？。6角形の1200mmより減るのは明らかにおかしい気がします。

正多角形の辺を無限に増やしていくと、正多角形の周長は円周に漸近するので、

正多角形の周長＝2×100×π≒628mm

鋸刃1つ当たりの周長は、正多角形の1辺の長さの2倍なので、

鋸刃の周長＝2×628＝1256mm

数学的に書くと、

正多角形の1辺の長さ＝200 sin[π/n]

鋸刃の周長＝lim[n→∞] 2n 200sin[π/n]＝lim[n→∞] 2n 200π/n
　　　　　＝400π＝1256mm

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