「今月の問題」 第214回 (平成29年7月)

 
<問題> 

  右図のような、中心から頂点までの長さが100mmの正6角形の周りに、6枚の刃がついた回転のこぎりがあります。 回転のこぎりの刃は、正6角形の周りに、6個の正三角形が隙間なく並んでいます。 この時、回転のこぎりの刃の周囲の長さ(赤色の長さ)は、1200mmになります。

   ここで問題です。正6角形を、無限に辺の数を増やした正多角形に変えると、刃の周囲の長さは、何mmに近づくでしょうか。
 ただし、円周率は3.14として下さい。  


  

<正解者一覧表>                      
順位     name      メール到着日時      備 考  
 1 まいすた  さん 2017/7/1 1:36  
 2 ゴンとも さん 2017/7/1 2:57  
 3 鯨鯢(Keigei) さん 2017/7/1 5:08  
 4 巷の夢 さん 2017/7/1 5:28 神奈川県在住 
 5 いぬたこ さん 2017/7/1 6:19 千葉 
 6 うたねこ さん 2017/7/1 7:03 とうきょう 
 7 ほかず さん 2017/7/1 7:04  
 8 kou さん 2017/7/1 7:50 さいたま 
 9 次郎長 さん 2017/7/1 8:19 暑くなりそうな兵庫県
10 algebra さん 2017/7/1 8:25 神奈川県 
11 男はつらいよ さん 2017/7/1 8:25 神奈川県 
12 アレキサンダーおろ さん 2017/7/1 8:34 関東 
13 Dr山本 さん 2017/7/1 8:35 愛知県 
14 Mr.ダンディ さん 2017/7/1 9:34 大阪府 
15 マッキー27 さん 2017/7/1 10:01  
16 GUTENTAG さん 2017/7/1 12:02 滋賀県 
17 NNR4 さん 2017/7/1 12:19 兵庫県 
18 teki さん 2017/7/1 13:18 大阪府 
19 バニラ さん 2017/7/1 13:23  
20 スモークマン さん 2017/7/1 13:56 @新倉敷 
21 いちもく さん 2017/7/1 14:14 立川市 
22 源内シンガポール さん 2017/7/1 14:59 長崎県 
23 AKIRA さん 2017/7/1 16:45 豊川市 
24 あめい さん 2017/7/2 17:38  
25 初芝立命館高校 さん 2017/7/3 9:45 大阪府 
26 朝霞おじ さん 2017/7/3 10:04 埼玉県 
27 やぶコウノトリ さん 2017/7/4 13:35 兵庫県 
28 りーくん さん 2017/7/5 21:30 埼玉県 
29 ユートニウム さん 2017/7/6 7:58  
30 岡本ボンバーズ  さん 2017/7/6 15:55  
31 うさぎとかめ さん 2017/7/8 19:09  
32 dyslexia さん 2017/7/18 16:18  
33 ローリー さん 2017/7/18 13:53 大阪府 

答えは1256mmでした。

[340] 図形的に…^^ 投稿者: スモークマン <7gatu> 投稿日: 2017/07/01(Sat) 13:56  
無限の正多角形=円
その上に正三角形が並んでるので…
2*円周=200*3.14*2=1256 mm
フラクタル図形と呼ばれるものなのでしょうが…
面白いですね☆
正方形なら3*円周
半円なら…π/2*円周
ね ^^
[339] すいません 投稿者: ゴンとも <7gatu> 投稿日: 2017/07/01(Sat) 02:57  
XMaxima で

limit(2*n*sqrt(100^2+100^2-2*100*100*cos(2*%pi/n)),n,inf);
400*%pi で 400*3.14=1256・・・・・・(答え)

先の式でcos(%pi/n)でなくcos(2*%pi/n)でした。
[337] 円に漸近 投稿者: まいすた <7gatu> 投稿日: 2017/07/01(Sat) 01:36  
1256mmではないでしょうか?。6角形の1200mmより減るのは明らかにおかしい気がします。

正多角形の辺を無限に増やしていくと、正多角形の周長は円周に漸近するので、

正多角形の周長=2×100×π≒628mm

鋸刃1つ当たりの周長は、正多角形の1辺の長さの2倍なので、

鋸刃の周長=2×628=1256mm

数学的に書くと、

正多角形の1辺の長さ=200 sin[π/n]

鋸刃の周長=lim[n→∞] 2n 200sin[π/n]=lim[n→∞] 2n 200π/n
     =400π=1256mm

http://primzahl.seesaa.net/