「今月の問題」　第２２５回　（平成３０年６月）
 
  ＜問題＞　

　
大相撲の千秋楽で最多勝の力士が3名いた場合「巴戦」と呼ばれる優勝決定戦を行います。
優勝決定戦に出場する3人の力士がくじを引き、○が描かれた紙を引いた力士は休みとなり、残りの2人がまず対戦します。2連勝する力士が出るまで続けられます。
 
ここで問題です。
よしお君を含め力の互角な3人が「巴戦」をします。よしお君は〇が描かれた紙を引き初戦は休みです。よしお君が優勝する確率を求めて下さい。

＜大相撲の同点者人数別の実施方法＞

 2人・・・・ 直接対戦する。
 3人・・・・ 巴戦行う。
 4人・・・・ トーナメント戦を行う。
 5人・・・・ 不戦勝を含むトーナメント戦を行い3人に絞る。その後は3人の場合と同じ(巴戦)。

 戦後、5人の優勝決定戦が1996年11月場所でありました。 大関武蔵丸、大関貴ノ浪、横綱曙、大関若乃花、関脇魁皇が 11勝4敗で進出し、武蔵丸が優勝を果たしました。

 


＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時 　　 　　備　考　　
　１ 次郎長　さん 2018/6/1　0:03 兵庫県　
　２ algebra　さん 2018/6/1　0:05 神奈川県　
　３ kou　さん 2018/6/1　0:10 さいたま　
　４ 男はつらいよ　さん 2018/6/1　0:11 神奈川県　
　５ ゴンとも　さん 2018/6/1　0:12 豊川市　
　６ うたねこ　さん 2018/6/1　3:37 関東　
　７ 山本尚　さん 2018/6/1　3:38 愛知　
　８ 保和　さん 2018/6/1　3:56 　
　９ 巷の夢　さん 2018/6/1　5:40 神奈川県在住　
１０ 朝霞おじ　さん 2018/6/1　5:58 埼玉県　
１１ ユートニウム　さん 2018/6/1　6:46 　
１２ Nobelium　さん 2018/6/1　7:51 　
１３ やぶコウノトリ　さん 2018/6/1　11:36 兵庫県　
１４ いちもく　さん 2018/6/1　13:02 立川市　
１５ teki　さん 2018/6/1　22:44 大阪府　
１６ マッキー２７　さん 2018/6/2　0:13 愛知県　
１７ わんたこ　さん 2018/6/2　7:14 房総　
１８ Mr.ダンディ　さん 2018/6/3　11:25 大阪府　
１９ たかひろ　さん 2018/6/3　16:51 埼玉県　
２０ 鯨鯢(Keigei)　さん 2018/6/4　21:05 　
２１ hiro　さん 2018/6/5　7:55 　
２２ NNR4　さん 2018/6/6　21：06 　
２３ 算数の森　さん 2018/6/10　23:53 兵庫県　
２４ まいすた　さん 2018/6/13　20:03 　
２５ 200日目　さん 2018/6/13　23：27 　
２６ ローリー　さん 2018/6/26　13：11 大阪府　

答は2/7　でした

[426] 皆さんは 投稿者： 200日目 <21917> 投稿日： 2018/06/13(Wed) 23:27  
確率の勉強をしたときに
相撲の巴戦を 取り上げませんでしたか？
例えば このように

ABCで 巴戦をするときに

最初にABが戦い Aが勝ったときに Bが優勝する確率を p とする
そこで Aが優勝する確率は BとCの両方に勝ったときが 1/4
Bに勝ってCに負けたときが p/4
Bに負けたときが p/2 なので
合計すると
1/4 + P/4 + p/2 となる

Bが優勝する確率も Aと同じ
Cが優勝する確率は
AとBの両方に勝ったときが 1/4
どちらか一方に勝って他方に負けたときが p/4 なので
合計して 1/4 + p/4 となる
これより

(1/4 + p/4 + p/2 ) ×2 + ( 1/4 +p/4 ) = 1 から
p= 1/7

従って Cの優勝する確率は
1/4 + 1/4 × 1/7 = 2/7

AとBが優勝する確率は
1/4 + 1/4 × 1/7 + 1/2 × 1/7 = 5/14 なので

Cは ABより
5/14 - 2/7 = 1/14 だけ 優勝の確率が小さくなると。


初戦でAが勝っても まだBに 優勝の望みはあるが
Cは Aに負けると Aが優勝してしまい
Cの優勝の可能性は ゼロになるから
Cは ABより 少し不利になると言うことなんですね。
[425] よく分かりませんでしたぁ ^^; 投稿者： スモークマン <21917> 投稿日： 2018/06/07(Thu) 13:52  
いろいろ調べて...^^;; Orz～
5/14,5/14/,4/14=2/7
と少し不利になるのですねぇ...!!
覚えとこっと ^^♪

入室の仕方も変わってましたのね..
今頃やっと入ることができましたです ^^
[424] 公平だと思い込んでました 投稿者： まいすた <21917> 投稿日： 2018/06/04(Mon) 08:51  
優勝に至るまでの戦歴の場合分け（○：勝ち，×：負け，－：休み，※最初の休みは100%そうなるので省略）を考えていくと、
○○
○×－○○
○×－○×－○○
・
・
この時、各○,×,－になる確率は1/2なので、
Σ[n=1→∞]1/4×1/8^(n-1)=(1/4)/(1-1/8)=2/7

http://primzahl.seesaa.net/

[422] 事実は小説より・・・・ 投稿者： 巷の夢 <21917> 投稿日： 2018/06/01(Fri) 05:51  
　次郎長様と同じく、昔、巴戦て本当に公平なんだろうかと
疑問に思い検討したことを思い出しました。
　しかし、次郎長様と違い、記憶力が悪く、致し方ないので
無限級数の計算を行い、2/7に到達致しました。因みに、
最初に取り組む人の確率は5/14で、その差は1/14もあるので
すね・・・。
[421] 知っていました 投稿者： 次郎長 <21917> 投稿日： 2018/06/01(Fri) 00:05  
この問題、50年ほど昔にどっちが有利だと議論したことがあり、答えを知っていました。
最近は理論的に考えるのではなく、記憶と勘で解いています。