「今月の問題」 第225回 (平成30年6月)
 
  <問題> 

 
大相撲の千秋楽で最多勝の力士が3名いた場合「巴戦」と呼ばれる優勝決定戦を行います。
優勝決定戦に出場する3人の力士がくじを引き、○が描かれた紙を引いた力士は休みとなり、残りの2人がまず対戦します。2連勝する力士が出るまで続けられます。
 
ここで問題です。
よしお君を含め力の互角な3人が「巴戦」をします。よしお君は〇が描かれた紙を引き初戦は休みです。よしお君が優勝する確率を求めて下さい。


<大相撲の同点者人数別の実施方法>

 2
人・・・・ 直接対戦する。
 3
人・・・・ 巴戦行う。
 4
人・・・・ トーナメント戦を行う。
 5
人・・・・ 不戦勝を含むトーナメント戦を行い3人に絞る。その後は3人の場合と同じ(巴戦)

 戦後、5人の優勝決定戦が1996年11月場所でありました。 大関武蔵丸、大関貴ノ浪、横綱曙、大関若乃花、関脇魁皇が 11勝4敗で進出し、武蔵丸が優勝を果たしました。


 


<正解者一覧表>                      
順位     name      メール到着日時      備 考  
 1 次郎長 さん 2018/6/1 0:03 兵庫県 
 2 algebra さん 2018/6/1 0:05 神奈川県 
 3 kou さん 2018/6/1 0:10 さいたま 
 4 男はつらいよ さん 2018/6/1 0:11 神奈川県 
 5 ゴンとも さん 2018/6/1 0:12 豊川市 
 6 うたねこ さん 2018/6/1 3:37 関東 
 7 山本尚 さん 2018/6/1 3:38 愛知 
 8 保和 さん 2018/6/1 3:56  
 9 巷の夢 さん 2018/6/1 5:40 神奈川県在住 
10 朝霞おじ さん 2018/6/1 5:58 埼玉県 
11 ユートニウム さん 2018/6/1 6:46  
12 Nobelium さん 2018/6/1 7:51  
13 やぶコウノトリ さん 2018/6/1 11:36 兵庫県 
14 いちもく さん 2018/6/1 13:02 立川市 
15 teki さん 2018/6/1 22:44 大阪府 
16 マッキー27 さん 2018/6/2 0:13 愛知県 
17 わんたこ さん 2018/6/2 7:14 房総 
18 Mr.ダンディ さん 2018/6/3 11:25 大阪府 
19 たかひろ さん 2018/6/3 16:51 埼玉県 
20 鯨鯢(Keigei) さん 2018/6/4 21:05  
21 hiro さん 2018/6/5 7:55  
22 NNR4 さん 2018/6/6 21:06  
23 算数の森 さん 2018/6/10 23:53 兵庫県 
24 まいすた さん 2018/6/13 20:03  
25 200日目 さん 2018/6/13 23:27  
26 ローリー さん 2018/6/26 13:11 大阪府 

答は2/7 でした

[426] 皆さんは 投稿者: 200日目 <21917> 投稿日: 2018/06/13(Wed) 23:27  
確率の勉強をしたときに
相撲の巴戦を 取り上げませんでしたか?
例えば このように

ABCで 巴戦をするときに

最初にABが戦い Aが勝ったときに Bが優勝する確率を p とする
そこで Aが優勝する確率は BとCの両方に勝ったときが 1/4
Bに勝ってCに負けたときが p/4
Bに負けたときが p/2 なので
合計すると
1/4 + P/4 + p/2 となる

Bが優勝する確率も Aと同じ
Cが優勝する確率は
AとBの両方に勝ったときが 1/4
どちらか一方に勝って他方に負けたときが p/4 なので
合計して 1/4 + p/4 となる
これより

(1/4 + p/4 + p/2 ) ×2 + ( 1/4 +p/4 ) = 1 から
p= 1/7

従って Cの優勝する確率は
1/4 + 1/4 × 1/7 = 2/7

AとBが優勝する確率は
1/4 + 1/4 × 1/7 + 1/2 × 1/7 = 5/14 なので

Cは ABより
5/14 - 2/7 = 1/14 だけ 優勝の確率が小さくなると。


初戦でAが勝っても まだBに 優勝の望みはあるが
Cは Aに負けると Aが優勝してしまい
Cの優勝の可能性は ゼロになるから
Cは ABより 少し不利になると言うことなんですね。
[425] よく分かりませんでしたぁ ^^; 投稿者: スモークマン <21917> 投稿日: 2018/06/07(Thu) 13:52  
いろいろ調べて...^^;; Orz~
5/14,5/14/,4/14=2/7
と少し不利になるのですねぇ...!!
覚えとこっと ^^♪

入室の仕方も変わってましたのね..
今頃やっと入ることができましたです ^^
[424] 公平だと思い込んでました 投稿者: まいすた <21917> 投稿日: 2018/06/04(Mon) 08:51  
優勝に至るまでの戦歴の場合分け(○:勝ち,×:負け,-:休み,※最初の休みは100%そうなるので省略)を考えていくと、
○○
○×-○○
○×-○×-○○


この時、各○,×,-になる確率は1/2なので、
Σ[n=1→∞]1/4×1/8^(n-1)=(1/4)/(1-1/8)=2/7

http://primzahl.seesaa.net/

[422] 事実は小説より・・・・ 投稿者: 巷の夢 <21917> 投稿日: 2018/06/01(Fri) 05:51  
 次郎長様と同じく、昔、巴戦て本当に公平なんだろうかと
疑問に思い検討したことを思い出しました。
 しかし、次郎長様と違い、記憶力が悪く、致し方ないので
無限級数の計算を行い、2/7に到達致しました。因みに、
最初に取り組む人の確率は5/14で、その差は1/14もあるので
すね・・・。
[421] 知っていました 投稿者: 次郎長 <21917> 投稿日: 2018/06/01(Fri) 00:05  
この問題、50年ほど昔にどっちが有利だと議論したことがあり、答えを知っていました。
最近は理論的に考えるのではなく、記憶と勘で解いています。