上図のように平行四辺形ABCDがあります。
線分ADとＣＢは平行四辺形の対角線です。
今、線分CD上に点Ｅを３：１にとり、線分BEを引きました。
この時、
(三角形@の面積)
： (三角形Aの面積) ：
(三角形Bの面積) の比を求めて下さい。
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上図のように平行四辺形ABCDがあります。 この時、
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答えは ５：３：２です。
高橋さんの解答
ADとBEの交点をF,ADとBCの交点をOとします。三角形DEFと三角形ABFは
相似で、相似比は1:4より、DF:AF=1:4 DF=１とするとAF=4 AD=５
AO=ODより、AO=2.5 OF=4-2.5=1.5
よって面積比は、AO:AF:FDとなり2.5:1.5:1=5:3:2
別解を...CD上にGをBEとOGが平行になるようにとります。
OG平行BEより、CG:GE=CO:OB=1:1、CG=GE=星1.5
OG平行FEより,OF:FD=GE:ED=星1.5:星1=3:2 AO=ODより、
面積比は5:3:2です。
LIONさんの解答
ADとBEの交点をＦ、2つの対角線の交点をＧとすると、
AB：DE＝AF：DF＝４：１、AG：DG＝1：1より、
AG：GF：FD＝5：3：2
あげさん、BossFさん、CRYING DOLPHINさんの解答
線分ADと線分BCの交点をF、ADとBEの交点をGとする。
AF:DF＝1:1(平行四辺形の性質より自明)
△ABGと△DEGで考えると4:1の相似形のため、AG:DG=4:1
AF:DF＝5:5、AG:DG＝8:2 → AF:FG:GD＝5:3:2
△BAF、△BFG、△BGDの高さは同一のため、底辺にあたる
AF、FG、GDの比が面積比となる。
よって、△BAF：△BFG：△BGD＝5:3:2
浜田さんからの回答
今回はＣで作ってみました。
Ｃ(０，０)，Ｄ(１，０)
として点Ａ(ｘ，ｙ)（−１＜ｘ≦１，０＜ｙ≦２）の位置を乱数によって決めます．Ａにともない点Ｂ(ｘ＋ＣＤ，ｙ)が決まり，点Ｅの位置と@，A，Bの面積が決まります．
この試行を１０００回繰り返し，比の平均を求めます．
結果は，試行回数に関わらず，常に
1:0.600000:0.400000
となりました．
つまり，答は，
５：３：２
となります．
ちなみにこのプログラムでは，近似計算しかしていませんので，たとえ答があっていたとしても，算数的（数学的）な正解とはなりません．
/* 17.C */
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
double rnd(void);
main(){
double x[8],y[8],a[3],b[3],p[3],hen[4],s,menseki[4],wa[4];
int j1,j2,j3,j4,j[4],j1_max=1000;
/* 比を求める */
x[1]=0; /* C */
y[1]=0;
x[2]=1; /* D */
y[2]=0;
y[5]=0; /* E */
wa[0]=0;
wa[1]=0;
for(j1=1;j1<=j1_max;j1++){
x[0]=2*rnd()-1; /* A */
y[0]=2*rnd();
x[3]=x[0]+x[2]; /* B */
y[3]=y[0]+y[2];
x[4]=x[3]*.5; /* 対角線の交点 */
y[4]=y[3]*.5;
x[5]=.75; /* E */
/* AD:y-Ay=(Dy-Ay)/(Dx-Ax)*(x-Ax) -> (Dx-Ax)(y-Ay)=(Dy-Ay)x-Ax) */
/* -> (Ay-Dy)x+(Dx-Ax)y=Dx*Ay-Ax*Dy */
a[0]=y[0]-y[2];
b[0]=x[2]-x[0];
p[0]=x[2]*y[0]-x[0]*y[2];
/* BE:(By-Ey)x+(Ex-Bx)y=Ex*By-Bx*Ey */
a[1]=y[3]-y[5];
b[1]=x[5]-x[3];
p[1]=x[5]*y[3]-x[3]*y[5];
x[6]=(b[1]*p[0]-b[0]*p[1])/(a[0]*b[1]-a[1]*b[0]); /* AD,BEの交点 */
y[6]=(a[0]*p[1]-a[1]*p[0])/(a[0]*b[1]-a[1]*b[0]);
/* 034, 346, 236 */
for(j2=0;j2<=2;j2++){
j[0]=3*(j2==1)+2*(j2==2);
j[1]=3*(j2!=1)+4*(j2==1);
j[2]=4*(j2==0)+6*(j2>0);
s=0;
for(j3=0;j3<=2;j3++){
j4=(j3+1)%3;
hen[j3]=sqrt((x[j[j3]]-x[j[j4]])*(x[j[j3]]-x[j[j4]])+(y[j[j3]]-y[j[j4]])*(y[j[j3]]-y[j[j4]]));
s+=hen[j3];
}
s*=.5;
menseki[j2]=s;
for(j3=0;j3<=2;j3++){
menseki[j2]*=s-hen[j3]; /* ヘロンの公式 */
}
menseki[j2]=sqrt(menseki[j2]);
if(j2>0){
wa[j2-1]+=menseki[j2]/menseki[0];
}
}
printf("%d回試行 -> 1:%lf:%lf\n",j1,wa[0]/j1,wa[1]/j1);
/* 今までの平均 */
}
}
double rnd(void){
return((double)rand()/32767.1);
}
mhayashi さんの解答
ＡＤとＢＣの交点をＯ、ＡＤとＢＥの交点をＰとする．
三角形ＰＡＢと三角形ＰＤＥは相似であり，
相似比は４：１より面積比は１６：１となる．
ここで三角形ＰＤＥの面積を１とすると三角形ＰＡＢの面積は１６となる．
三角形ＰＢＤと三角形ＰＤＥに注目すると，
ＰＢ：ＰＥ＝４：１より，三角形ＰＢＤの面積は４となり，
したがって三角形ＢＥＤの面積は５となる．
ここで三角形ＢＥＤと三角形ＢＣＤに注目してみると，
高さ共通で底辺の比が１：４より，三角形ＢＣＤの面積は２０となる．
三角形ＯＡＢと三角形ＢＣＤの面積比は，１：２であることは
明らかなので，三角形ＯＡＢの面積は１０となる．
また三角形ＰＡＢの面積が１６なので三角形ＯＰＢの面積は６となる．
三角形ＰＢＤの面積は
以上より，
三角形ＯＡＢ：三角形ＯＰＢ：三角形ＰＢＤ＝１０：６：４＝５：３：２
となる．