「今月の問題」　第２４０回　（令和１年９月）
 
 ＜問題＞　


　安心して老後を過ごすには、２０００万円必要であるというニュースがありました。
　そこで、よしお君は、毎年１００万円ずつ積み立てて、２０年間貯金しよう計画しました。利息については、年利率０.３％、１年ごとの複利で加算されます。


　ここで問題です。
　1.00320＝1.06174とすると、２０年後の年末における元利合計（貯金額）は、何万円になるでしょうか。（ただし、千円以下の数は切り捨てて下さい）
   		＜複利式とは＞
運用する元本に年々増えた利子を組み入れた分に対して、利子が付く計算方法です。

 

 

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時 　　 　　備　考　　
　１ 市松　さん 2019/9/1　0:11　 東京都　
　２ algebra　さん 2019/9/1　0:14　 神奈川県　
　３ マッキー２７　さん 2019/9/1　0:20　 愛知県　
　４ 　kou　さん 2019/9/1　0:22　 さいたま　
　５ ＧＯＧＯＧＩＡＮＴＳ　さん 2019/9/1　0:37　 　
　６ 男はつらいよ　さん 2019/9/1　0:40　 神奈川県　
　７ ゴンとも　さん 2019/9/1　0:47　 豊川市　
　８ 乙女座　さん 2019/9/1　0:59　 　
　９ 鯨鯢(Keigei)　さん 2019/9/1　6:06　 　
１０ 巷の夢　さん 2019/9/1　6:10　 神奈川県在住　
１１ 戌は蛸　歌猫さん 2019/9/1　6:24　 関東　
１２ 保和　さん 2019/9/1　6:48　 愛知県　
１３ 朝霞おじ　さん 2019/9/1　8:10　 埼玉県　
１４ 花田家の一族　さん 2019/9/1　9:22　 中部　
１５ teki　さん 2019/9/1　10:00　 大阪府　
１６ Mr.ダンディ　さん 2019/9/1　11:30　 大阪府　
１７ GUTENTAG　さん 2019/9/1　11:51　 滋賀県　
１８ スモークマン　さん 2019/9/1　12:44　 ＠新倉敷　
１９ いちもく　さん 2019/9/1　16:48　 立川市　
２０ 山本尚　さん 2019/9/1　16:47　 　
２１ まいすた　さん 2019/9/1　17:39　 　
２２ 次郎長　さん 2019/9/2　7:45　 そうかそうか兵庫県　
２３ nowhereman　さん 2019/9/3　8:33　 TOKYO　
２４ 明日は幼稚園で手品を披露　さん 2019/9/4　6:16　 兵庫県　
２５ NNR4　さん 2019/9/4　21:06　 兵庫県　
２６ なや　さん 2019/9/18　9:12　 兵庫県　

答は、２０６４万円でした。

[579] 金利が余りに低いので勘が狂っちゃう 投稿者： 次郎長 <9gatu> 投稿日： 2019/09/02(Mon) 09:27  
等比数列の和、なんて久しぶりにやったものだし、
金利があまりにも低いものだから、1-0.3=0.7で計算したり、散々間違えました。
おまけに初項が1,003,000とは思わず、何回（5回くらい）やっても
2058になるので、掲示板の修正漏れと考え、2058を送って忘れていました。
日本銀行にお願い。せめて金利は2.5%くらい付けて下さい。
[578] Re:[571] 等比数列の和 投稿者： Mr.ダンディ <9gatu> 投稿日： 2019/09/01(Sun) 11:33  
> 100×1.003＋100×(1.003)^2＋100×(1.003)^3＋・・・・・・＋100×(1.003)^20
> ＝100×1.03×((1.003)^20－1)/(1.003－1)
> ＝2064
> よって，20,640,000円
まったく同じ計算式となりました。
[577] Re:[575] Re:[574] すみません 投稿者： ゴンとも <9gatu> 投稿日： 2019/09/01(Sun) 11:00  
御指摘ありがとうございます。
確かに初項は100*1.003=100.3万円でしたね。
訂正して

100.3*(1-1.003^20)/(1-1.003);
ここでn=20として
100.3*(1-1.06174)/(1-1.003);2064.174・・・
で2064・・・・・・(答え)
[576] 年度の末 投稿者： teki <9gatu> 投稿日： 2019/09/01(Sun) 09:53  
ですので、初項は１，００３，０００円になりますよね。
[575] Re:[574] すみません 投稿者： 巷の夢 <9gatu> 投稿日： 2019/09/01(Sun) 06:17  
ゴンとも 様

　初項が違いますね。100万円でなく、100.3万円ですね。
[574] Re:[573] すみません 投稿者： ゴンとも <9gatu> 投稿日： 2019/09/01(Sun) 05:25  
自己レスで・・・
問題文の赤字で1.003^20＝1.06174とあるので訂正するも

100*1000^(1-n)*(1003^n-1000^n)/3
=100*(1-(1003/1000)^n)/(1-1003/1000)
ここでn=20で
100*(1-1.003^20)/(1-1003/1000)
=100*(1-106174/100000)/(1-1003/1000)=2058
[573] すみません 投稿者： ゴンとも <9gatu> 投稿日： 2019/09/01(Sun) 05:11  
答えが違うものがでてきました!!
以下のサイトでも2064にはなりませんでした!!

http://www.applifactory.com/fpcalc/毎年積立を行って複利運用したときの金額計算/
で
積立額(年間):1000000
年利率：0.3
年数：20
金額：20,580,392円

となって以下自分で厳密に計算すると

1年目:100
2年目:100*1.003+100
3年目:100*1.003^2+100*1.003+100
4年目:100*1.003^3+100*1.003^2+100*1.003+100
・
・
・
よりn=年目として　a(n+1)=a(n)*1.003+100
この漸化式をXMaximaで解くと
load("solve_rec")$
factor(solve_rec(a[n+1]=a[n]*1.003+100,a[n],a[1]=100));
a[n]=100*1000^(1-n)*(1003^n-1000^n)/3・・・・・・(n年目の一般項)
ここでn=20として小数点以下切り落とすと
floor(ev(100*1000^(1-n)*(1003^n-1000^n)/3,n=20));2058・・・・・・(答え)

ここでMaximaでなく等差数列の和の公式で
100*(1-(1003/1000)^n)/(1-1003/1000)=100*1000^(1-n)*(1003^n-1000^n)/3
も同じで・・・
[572] 訂正 投稿者： algebra <9gatu> 投稿日： 2019/09/01(Sun) 00:46  
誤：100×1.03×・・・→正：100×1.003×・・・
[571] 等比数列の和 投稿者： algebra <9gatu> 投稿日： 2019/09/01(Sun) 00:45  
100×1.003＋100×(1.003)^2＋100×(1.003)^3＋・・・・・・＋100×(1.003)^20
＝100×1.03×((1.003)^20－1)/(1.003－1)
＝2064
よって，20,640,000円