「今月の問題」 第240回 (令和1年9月)
 
 <問題> 


 安心して老後を過ごすには、2000万円必要であるというニュースがありました。
 そこで、よしお君は、毎年100万円ずつ積み立てて、20年間貯金しよう計画しました。利息については、年利率0.3%、1年ごとの複利で加算されます。


 ここで問題です。
 1.00320=1.06174とすると、20年後の年末における元利合計(貯金額)は、何万円になるでしょうか。(ただし、千円以下の数は切り捨てて下さい)
 
<複利式とは>
運用する元本に年々増えた利子を組み入れた分に対して、利子が付く計算方法です。

 

 

<正解者一覧表>                      
順位     name      メール到着日時      備 考  
 1 市松 さん 2019/9/1 0:11  東京都 
 2 algebra さん 2019/9/1 0:14  神奈川県 
 3 マッキー27 さん 2019/9/1 0:20  愛知県 
 4  kou さん 2019/9/1 0:22  さいたま 
 5 GOGOGIANTS さん 2019/9/1 0:37   
 6 男はつらいよ さん 2019/9/1 0:40  神奈川県 
 7 ゴンとも さん 2019/9/1 0:47  豊川市 
 8 乙女座 さん 2019/9/1 0:59   
 9 鯨鯢(Keigei) さん 2019/9/1 6:06   
10 巷の夢 さん 2019/9/1 6:10  神奈川県在住 
11 戌は蛸 歌猫さん 2019/9/1 6:24  関東 
12 保和 さん 2019/9/1 6:48  愛知県 
13 朝霞おじ さん 2019/9/1 8:10  埼玉県 
14 花田家の一族 さん 2019/9/1 9:22  中部 
15 teki さん 2019/9/1 10:00  大阪府 
16 Mr.ダンディ さん 2019/9/1 11:30  大阪府 
17 GUTENTAG さん 2019/9/1 11:51  滋賀県 
18 スモークマン さん 2019/9/1 12:44  @新倉敷 
19 いちもく さん 2019/9/1 16:48  立川市 
20 山本尚 さん 2019/9/1 16:47   
21 まいすた さん 2019/9/1 17:39   
22 次郎長 さん 2019/9/2 7:45  そうかそうか兵庫県 
23 nowhereman さん 2019/9/3 8:33  TOKYO 
24 明日は幼稚園で手品を披露 さん 2019/9/4 6:16  兵庫県 
25 NNR4 さん 2019/9/4 21:06  兵庫県 
26 なや さん 2019/9/18 9:12  兵庫県 

答は、2064万円でした。

[579] 金利が余りに低いので勘が狂っちゃう 投稿者: 次郎長 <9gatu> 投稿日: 2019/09/02(Mon) 09:27  
等比数列の和、なんて久しぶりにやったものだし、
金利があまりにも低いものだから、1-0.3=0.7で計算したり、散々間違えました。
おまけに初項が1,003,000とは思わず、何回(5回くらい)やっても
2058になるので、掲示板の修正漏れと考え、2058を送って忘れていました。
日本銀行にお願い。せめて金利は2.5%くらい付けて下さい。
[578] Re:[571] 等比数列の和 投稿者: Mr.ダンディ <9gatu> 投稿日: 2019/09/01(Sun) 11:33  
> 100×1.003+100×(1.003)^2+100×(1.003)^3+・・・・・・+100×(1.003)^20
> =100×1.03×((1.003)^20-1)/(1.003-1)
> =2064
> よって,20,640,000円
まったく同じ計算式となりました。
[577] Re:[575] Re:[574] すみません 投稿者: ゴンとも <9gatu> 投稿日: 2019/09/01(Sun) 11:00  
御指摘ありがとうございます。
確かに初項は100*1.003=100.3万円でしたね。
訂正して

100.3*(1-1.003^20)/(1-1.003);
ここでn=20として
100.3*(1-1.06174)/(1-1.003);2064.174・・・
で2064・・・・・・(答え)
[576] 年度の末 投稿者: teki <9gatu> 投稿日: 2019/09/01(Sun) 09:53  
ですので、初項は1,003,000円になりますよね。
[575] Re:[574] すみません 投稿者: 巷の夢 <9gatu> 投稿日: 2019/09/01(Sun) 06:17  
ゴンとも 様

 初項が違いますね。100万円でなく、100.3万円ですね。
[574] Re:[573] すみません 投稿者: ゴンとも <9gatu> 投稿日: 2019/09/01(Sun) 05:25  
自己レスで・・・
問題文の赤字で1.003^20=1.06174とあるので訂正するも

100*1000^(1-n)*(1003^n-1000^n)/3
=100*(1-(1003/1000)^n)/(1-1003/1000)
ここでn=20で
100*(1-1.003^20)/(1-1003/1000)
=100*(1-106174/100000)/(1-1003/1000)=2058
[573] すみません 投稿者: ゴンとも <9gatu> 投稿日: 2019/09/01(Sun) 05:11  
答えが違うものがでてきました!!
以下のサイトでも2064にはなりませんでした!!

http://www.applifactory.com/fpcalc/毎年積立を行って複利運用したときの金額計算/

積立額(年間):1000000
年利率:0.3
年数:20
金額:20,580,392円

となって以下自分で厳密に計算すると

1年目:100
2年目:100*1.003+100
3年目:100*1.003^2+100*1.003+100
4年目:100*1.003^3+100*1.003^2+100*1.003+100



よりn=年目として a(n+1)=a(n)*1.003+100
この漸化式をXMaximaで解くと
load("solve_rec")$
factor(solve_rec(a[n+1]=a[n]*1.003+100,a[n],a[1]=100));
a[n]=100*1000^(1-n)*(1003^n-1000^n)/3・・・・・・(n年目の一般項)
ここでn=20として小数点以下切り落とすと
floor(ev(100*1000^(1-n)*(1003^n-1000^n)/3,n=20));2058・・・・・・(答え)

ここでMaximaでなく等差数列の和の公式で
100*(1-(1003/1000)^n)/(1-1003/1000)=100*1000^(1-n)*(1003^n-1000^n)/3
も同じで・・・
[572] 訂正 投稿者: algebra <9gatu> 投稿日: 2019/09/01(Sun) 00:46  
誤:100×1.03×・・・→正:100×1.003×・・・
[571] 等比数列の和 投稿者: algebra <9gatu> 投稿日: 2019/09/01(Sun) 00:45  
100×1.003+100×(1.003)^2+100×(1.003)^3+・・・・・・+100×(1.003)^20
=100×1.03×((1.003)^20-1)/(1.003-1)
=2064
よって,20,640,000円