「今月の問題」　第２４７回　（令和２年４月）
 
  ＜問題＞　

　右図を見てください。
　ＡとBは任意の自然数としますが、Cは上の二つのAとBの和です。
　同様にしてD＝B＋C、E＝C＋D、F＝D＋E、G＝F＋E、H＝F＋G、
　I＝H＋G、J＝I＋H　とします。
　そして、最後にＡからJまでの１０個の数字の和を求めます。
　例えば、A＝3、B＝6とすると、１０個の数字の和は693になります。

　ここで問題です。
　ＡとＢの数字組み合わせを考えると、１０個の数字の和が693になることが分かりました。
　３以外にＡにどんな数字を当てはめれば良いでしょうか。
 
 　
  

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＜※３＞都道府県名や職業など知らせてもらえたら有り難いですが。

沢山の方に訪問して頂き本当に有り難く感謝の気持ちで一杯です。第２５０回まで続けたいなあと思います。
次回の出題予定は、令和２年５月１日　０：００頃を予定しています。

 

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時 　　 　　備　考　　
　１ algebra　さん 2020/4/1　0:01 神奈川県　
　２ teki　さん 2020/4/1　0:05 大阪府　
　３ 市松　さん 2020/4/1　0:06 東京都　
　４ 次郎長　さん 2020/4/1　0:07 兵庫県　
　５ 乙女座　さん 2020/4/1　0:12 　
　６ 男はつらいよ　さん 2020/4/1　0:13 神奈川県　
　７ ゴンとも　さん 2020/4/1　0:17 豊川市　
　８ kou　さん 2020/4/1　0:30 さいたま　
　９ いぬタコ・うたねこ　さん 2020/4/1　1:55 千葉　
１０ 山本　さん 2020/4/1　2:14 名古屋　
１１ となかい　さん 2020/4/1　2:44 東京　
１２ 朝霞おじ　さん 2020/4/1　3:18 埼玉県　
１３ 極載正澗溝穣　さん 2020/4/1　4:51 京　
１４ 鯨鯢(Keigei)　さん 2020/4/1　5:09 　
１５ マッキー２７　さん 2020/4/1　7:02 愛知県　
１６ 巷の夢　さん 2020/4/1　7:09 神奈川県在住　
１７ まいすた　さん 2020/4/1　7:27 　
１８ syokyuhsya　さん 2020/4/1　10:13 千葉県　
１９ Mr.ダンディ　さん 2020/4/1　10:25 大阪府　
２０ nowhereman　さん 2020/4/1　11:10 tokyo　
２１ №719　さん 2020/4/1　11:14 　
２２ GUTENTAG　さん 2020/4/1　11:22 滋賀県　
２３ 阿修羅　さん 2020/4/1　16:34 　
２４ 俵耕一　さん 2020/4/1　16:37 　
２５ いちもく　さん 2020/4/1　18:46 立川市　
２６ あめい　さん 2020/4/1　19:27 静岡県　
２７ 花田一族　さん 2020/4/1　20:54 岐阜　
２８ ひまわひ　さん 2020/4/2　16:34 茨城県　
２９ スモークマン　さん 2020/4/2　21:00 ＠新倉敷　
３０ 新しいステージ　さん 2020/4/3　20:33 兵庫県　
３１ NNR4　さん 2020/4/3　22:01 兵庫県　
３２ Y Okada 　さん 2020/4/13　10:07 　
３３ なや　さん 2020/4/14　9:19 兵庫県　
３４ ダメカン　さん 2020/4/17　13:20 埼玉県　
３５ KAZ　さん 2020/4/22　15:51 熊本県　
３６ 大阪市の中学受験プロ家庭教師　さん 2020/4/23　14:50 大阪府　
３７ りーくん　さん 2020/4/23　23:15 埼玉県　
３８ 算数の森　さん 2020/4/30　22:03 兵庫県　

 

こたえは、１１　でした。

[640] 無題 投稿者： y.okada <5gatu> 投稿日： 2020/04/13(Mon) 09:38  
■解答■
1段目の値をA、2段目の値をBとすると、10段目までの合計の値は55A+88Bとなる。
これより、与えられた問題は(※)55A+88B＝693を満たす正整数A,Bの組合せのうち、Aを答える問題となる。
式(※)を満たす正整数A、Bは(A,B)=(3,6),(11,1)であるため、答えるべき回答は11である。
（解答終わり）

■考えたこと■
・計算過程でフィボナッチ数列が出てくるのが面白いな、と思いました。
・また、掲示板にたどり着いてから、693が11の倍数ということに気づいて、少し手間な計算をしてしまいました。
・余談ですが、任意の数字を作成できるのかどうか、考えてみたのですが、考えているうちに
先日Youtubeで数学の動画を見ていて、チキンマックナゲットの定理と呼ばれる定理があることを思い出しました。
https://www.youtube.com/watch?v=McjGO0w45x4
m個入と、n個入のチキンマックナゲットを組合せて、作れないチキンマックナゲットの最大個数はいくつかという問題です。
ちょっと似た問題だったので、参考までに。
[639] 無題 投稿者： №719 <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 13:45  
5A+8B=63より
8の倍数(但し63以下で)から 1をひくと5の倍数になる
ものを探すと 15と55が出てきて
Aは3か11と分かる。
[638] 無題 投稿者： nowhereman <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 11:19  
693を約分すると、693=3*3*7*11となります。７をＡとしてＢにどの自然数をいれても合計は693にならなかったけど、11をＡとしてＢに自然数の1をいれると合計は693になりました。
フィボナッチ数列で解くのか、約分を利用するのか、それとも
たまたま、あったのかわかりませんがね。
[637] 補足 投稿者： teki <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 10:56  
１つ目の　Ｆ（ｎ）は１，１から始まるフィボナッチ数列
２つ目の　Ｓ（ｎ）＝Ｆ（ｎ＋２）－Ｆ（２）のＦ（ｎ）はＡとＢを決定したあとの値
です。
混乱させて、申し訳ない。

２つめは
Ｓ（ｎ）＝Ｆ’（ｎ＋２）－Ｆ’（２）　と書くべきでした。
[636] 和の一般項 投稿者： teki <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 10:45  
この数列の和の一般項Ｓ（ｎ）は、フィボナッチ数列をＦ（ｎ）として

Ｓ（ｎ）＝Ｆ（ｎ）＊Ａ＋（Ｆ（ｎ＋１）－１）＊Ｂ　となります。

また、

Ｓ（ｎ）＝Ｆ（ｎ＋２）－Ｆ（２）

が成り立ちます。
[635] Re:[633] Ａ～Ｊの和は必ず Ｇ×11 投稿者： teki <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 09:29  
> 「ＡとＢは任意の数」とありますが、「ＡとＢは自然数」という条件が必要ですね。
> ところで、Ａ～Ｊの和は必ず Ｇ×11 になるのですね。

Ｇは、５Ａ＋８Ｂ　ですから、当然そうなりますね。
[634] Re:[629] 結局 投稿者： 巷の夢 <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 07:17  
最初、全く分からなかったのですが、色々書いていると
teki様の解法に気づき、正解に辿りつきました。

　しかし、このコロナバイオレンスどうなるのでしょうか？
東京含め、めっきり寂しく、うらぶれた雰囲気、早く春が
来て欲しいですね・・・・。
[633] Ａ～Ｊの和は必ず Ｇ×11 投稿者： 鯨鯢(Keigei) <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 05:16  
「ＡとＢは任意の数」とありますが、「ＡとＢは自然数」という条件が必要ですね。
ところで、Ａ～Ｊの和は必ず Ｇ×11 になるのですね。
[632] 地道に計算 投稿者： algebra <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 00:41  
tekiさんと同じです。
55A＋88B＝693 より，5A＋8B＝63，5・3＋8・6＝63 より，
5(A－3)＋8(B－6)＝0，・・・A＝3＋8t，B＝6－5t(t＝0,1)
t＝0 のとき，A＝3，B＝6　t＝1 のとき，A＝11，B＝1
よって，A＝11，B＝1
[631] Re:[628] 十進Basicで 投稿者： ゴンとも <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 00:41  
手でもできますね。不定方程式というのですか?
先のifの条件は
a+b+(a+b)+(a+2*b)+(2*a+3*b)+(3*a+5*b)+(5*a+8*b)+(8*a+13*b)+(13*a+21*b)+(21*a+34*b)=88*b+55*a=693
これをaについて解くと　a=(63-8*b)/5 より
ここでaを正の整数として(しないと答えがたくさん!!)
b=1から7までで代入してa=11・・・・・・(答え),b=1
[630] なお 投稿者： teki <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 00:41  
ａ、ｂの係数の５５と８８は通常の１，１から始まるフィボナッチ数列をＦ（ｎ）とすると、Ｆ（１０）及びＦ（１１）－１になります。
[629] 結局 投稿者： teki <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 00:28  
１段目をａ、２段目をｂとすると、１０個の合計が５５ａ＋８８ｂになるので、あとは整数方程式を解けばいいんですね。
[628] 十進Basicで 投稿者： ゴンとも <5gatu> 投稿日： 2020/04/01(Wed) 00:23  
for a=1 to 100
for b=1 to 100
if (a+b)+(a+b)+(a+2*b)+(2*a+3*b)+(3*a+5*b)+(5*a+8*b)+(8*a+13*b)+(13*a+21*b)+(21*a+34*b)=693 then a;b
next b
next a
end

f9押して　
3 6
11・・・・・・(答え) 1