「今月の問題」　第２５０回　（令和２年７月）
＜問題＞　
　よしお君は今月２日誕生日を迎えます。
　誕生日の年齢を３で割ると余りがＡになります。
　次に、５で割ると余りがBになります。
　さらに、７で割ると余りがＣになりました。
　そして、７０A＋２１B＋１５Cを計算すると２７２になりました。


ここで問題です。
よしお君の年齢は何歳になるでしょうか。  
 ＜ヒント＞
よしお君は年をとりましたが100歳にはなっていません。
ちなみに、よしお君の年齢を２で割ると余りが０になり、３で割ると余りが２になり、５で割ると余りが２になります。


＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時 　　 　　備　考　　
　１ スモークマン　さん 2020/7/1　0:05 ＠新倉敷　
　２ algebra　さん 2020/7/1　0:07 神奈川県　
　３ 市松　さん 2020/7/1　0:07 東京都　
　４ 男はつらいよ　さん 2020/7/1　0:08 神奈川県　
　５ ゴンとも　さん 2020/7/1　0:08 豊川市　
　６ 源内シンガポール　さん 2020/7/1　0:09 長崎県　
　７ ｋｏｕ　さん 2020/7/1　0:20 さいたま　
　８ 乙女座　さん 2020/7/1　0:22 　
　９ Mr.ダンディ　さん 2020/7/1　1:05 　
１０ 鯨鯢(Keigei)　さん 2020/7/1　4:13 　
１１ いぬたこ　さん 2020/7/1　4:29 千葉　
１２ うたねこ　さん 2020/7/1　5:34 関東　
１３ 保和　さん 2020/7/1　5:44 　
１４ 花田ちこ　さん 2020/7/1　6:41 　
１５ 巷の夢　さん 2020/7/1　6:43 神奈川県在住　
１６ マッキー２７　さん 2020/7/1　6:56 愛知県　
１７ teki　さん 2020/7/1　8:29 大阪府　
１８ リリー山本　さん 2020/7/1　8:35 名古屋　
１９ まいすた　さん 2020/7/1　10:25 　
２０ 次郎長　さん 2020/7/1　11:33 兵庫県　
２１ 西瓜大きくなあれ　さん 2020/7/1　12:44 兵庫県　
２２ GUTENTAG　さん 2020/7/1　14:32 滋賀県　
２３ いちもく　さん 2020/7/1　15:53 立川市　
２４ 朝霞おじ　さん 2020/7/1　22:20 埼玉県　
２５ 量子論　さん 2020/7/2　13:00 京都市　
２６ MAC　さん 2020/7/3　5:37 　
２７ nowhereman　さん 2020/7/3　21:30 東京都　
２８ NNR4　さん 2020/7/4　8:24 兵庫県　
３０ 阿修羅　さん 2020/7/5　11:02 長野県小学校教諭　
３１ アルファ・ケンタウリ　さん 2020/7/5　21:42 京都府小学5年生　
３２ やまと　さん 2020/7/5　22:25 　
３３ K　さん 2020/7/6　14:35 　
３４ 岡本ボンバーズ　さん 2020/7/8　13:03 秋田県　
３５ wowka 　さん 2020/7/12　14:53 　
３６ あめい　さん 2020/7/17　18:51 　
３７ いじめで高校中退　さん 2020/7/22　8:24 石川県金沢市　

 

答は　６２歳でした

[675] 鯨鯢さんが既に説明されていますが 投稿者： teki <8gatu> 投稿日： 2020/07/10(Fri) 22:21  
この問題を成立させるには、Ａ、Ｂ、Ｃの係数に下記の条件が必要となります。

Ａの係数：５×７＝３５の倍数で、３で割って１余る数
Ｂの係数：３×７＝２１の倍数で、５で割って１余る数
Ｃの係数：３×５＝１５の倍数で、７で割って１余る数

－を認めないのであれば、本問の７０、２１、１５が最小となります。
また、各係数に３、５、７の最小公倍数である１０５を足しても同様の問題が作成可能です。
[674] Re:[672] 必要十分条件 投稿者： スモークマン <8gatu> 投稿日： 2020/07/03(Fri) 14:08  
> 人間の年齢としては、62が妥当だと思います。
> 厳密に言えば、A＝2，B＝2，C＝6 になり、
> このとき、70A＋21B＋15C＝272 であることを確かめてはじめて、十分であることが言えます。
> もし、「70A＋21B＋15C を計算すると 167 になりました」でも同じ答が出るはずですが、
> この場合は答がありません。
> どなたのコメントにも書かれていませんので、一言、申し添えました。

70A+21B+15C=167
A=2,B=2,C=-1
とかになりますが、余りは>=0なので、ありえないわけですのねぇ ^^;
なるほどです☆
[673] 以前に 投稿者： teki <8gatu> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 22:53  
このサイトの平成１４年２月の問題で、江戸時代の書物「塵劫記」に書かれた「百五間算」
が取り上げられていますが、今回の問題もこれの同類と言えます。

鯨鯢さんがおっしゃる通り、条件を満たすのは、１０５を法（のり）として２７２と合同であることは、
あくまで必要条件であり、十分性を確認しないといけませんね。
[672] 必要十分条件 投稿者： 鯨鯢(Keigei) <8gatu> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 22:32  
70A＋21B＋15C を ３で割ると余りがA，５で割ると余りがB，７で割ると余りがC だから、
条件を満たす数の１つです。
３で割って余りが等しい数は３毎、５で割って余りが等しい数は５毎、
７で割って余りが等しい数は７毎なので、
３，５，７で割った余りがすべて等しい数は最小公倍数の 105毎になり、
あるとすれば、答は 105を法として 272と合同な数であることが必要です。
人間の年齢としては、62が妥当だと思います。
厳密に言えば、A＝2，B＝2，C＝6 になり、
このとき、70A＋21B＋15C＝272 であることを確かめてはじめて、十分であることが言えます。
もし、「70A＋21B＋15C を計算すると 167 になりました」でも同じ答が出るはずですが、
この場合は答がありません。
どなたのコメントにも書かれていませんので、一言、申し添えました。
[671] 105を引けばいい理由... 投稿者： スモークマン <8gatu> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 14:39  
3,5,7は互いに素
題意をみたす数は...
(69+1)A+(20+1)B+(14+1)C+3*5*7*M
と表されるので...
272=70A+21B+15C+105M
so...
70A+21B+15C=272-105M
というカラクリなんですよね ^^
[670] そうですか 投稿者： 次郎長 <8gatu> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 13:45  
No.719様
有難うございます。なるほどね。
言われて見りゃ、そうですね。私も時には、そのように解く時もあるのですが、
何となく納得できない時は、何か？誰か？に当たってみたくなって。
歳はとりたくないものです。
[669] 無題 投稿者： №719 <8gatu> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 13:22  
私や単純に
70A+21B+15C=272の不定方程式をときました。
21B+15C=202か132か62のうち

21B+15C=132にだけ正数解があって
A2,B2,C6

ここから［661］につづく
[668] 苦手な問題 投稿者： 次郎長 <8gatu> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 12:44  
今回の問題は、横にヒントがあったので、15の倍数＋2歳であることが分かるので、解けましたが、
Ａ＝Ｂであることが分からないまま、与えられた条件だけで考えると、
Ｍ＝３Ｘ＋Ａ＝５Ｙ＋Ｂ＝７Ｚ＋Ｃ
７０Ａ＋２１Ｂ＋１５Ｃ＝２７２から
１０６Ｍ＝２７２＋１０５Ｐ　（Ｐ＝２Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）と来たものの
さて、ここからどうすえるべえ、と悩みます。
ヒントが無くて、年齢と言うことも分からない場合、どう考えればよろしいか。
どなたか、アドバイスいただければ幸甚
[665] 中国式剰余定理 投稿者： teki <44> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 10:09  
一般解は、
－３５Ａ＋２１Ｂ＋１５Ｃ＋１０５ｋ
ですが、本問ではＡの係数を－３５＋１０５＝７０
としたものですね。

ちなみに、ユークリッドの互除法でも解けますが、中国式剰余定理から、１０５の減算をする方が圧倒的に速いですね。
[664] 無題 投稿者： 巷の夢 <44> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 06:49  
吉岡先生

　誕生日おめでとうございます。ヒントは不要だったの
ですが、何回も々計算ミスで回答に到達せず、やっとこさ
正解に辿り着きました。
　250回もおめでたく、今後も面白い問題を出し続けて下さる
事を期待しております。
[663] 無題 投稿者： いぬたこ <44> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 04:30  
同い年ですね
[662] よしおさん(62歳)は先生のこと？ 投稿者： Mr.ダンディ <44> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 01:14  
中国式剰余定理（3,5,7に限ると　百五減算）
の問題ですね。
忘れかけていました。
[661] お若いね！ 投稿者： 719 <44> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 01:14  
15で割っても2余るから

17,47,62,,77,92,で 7で割って6余るのは62
[660] 十進Basic で 投稿者： ゴンとも <44> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 00:23  
print time$
FOR x=1 TO 100
FOR a=1 TO 272/70
FOR b=1 TO 272/21
FOR c=1 TO 272/15
IF MOD(x,3)=a AND MOD(x,5)=b AND MOD(x,7)=c AND 70*a+21*b+15*c=272 THEN PRINT x;a;b;c
NEXT c
NEXT b
NEXT a
NEXT x
print time$
END

f9押して　
00:22:47
62・・・・・・(答え) 2 2 6
00:22:47　
[659] ハッピバースデーイヴ♪ 投稿者： スモークマン <44> 投稿日： 2020/07/01(Wed) 00:08  
105減算だなと...^^
272-105=167
272-2*105=62
so...
62歳♪