「今月の問題」　第２５１回　（令和２年８月）
＜問題＞　
　よしお君は、1本２４０円のビールをＡ本と１本１５０円の発泡酒をＢ本買って１００２０円支払いました。
　合わせて何本買ったのかを考えると、８通り考えられるようです。
　

ここで問題です。
Ａ＋Ｂの最小値と最大値は何本になるでしょうか。  

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時 　　 　　備　考　　
　１ ゴンとも　さん 2020/8/1　0:05 豊川市　
　２ algebra　さん 2020/8/1　0:07 神奈川県　
　３ 男はつらいよ　さん 2020/8/1　0:10 神奈川県　
　４ マッキー２７　さん 2020/8/1　0:14 愛知県　
　５ ｋｏｕ　さん 2020/8/1　0:15 さいたま　
　６ Mr.ダンディ　さん 2020/8/1　0:15 　
　７ スモークマン　さん 2020/8/1　0:21 ＠新倉敷　
　８ 乙女座　さん 2020/8/1　0:23 　
　９ 市松　さん 2020/8/1　0:44 東京都　
１０ 鯨鯢(Keigei)　さん 2020/8/1　4:52 　
１１ 巷の夢　さん 2020/8/1　5:37 神奈川県在住　
１２ いぬたこ　さん 2020/8/1　6:09 千葉　
１３ 保和　さん 2020/8/1　6:12 愛知県　
１４ 花田一族　さん 2020/8/1　6:18 岐阜　
１５ うた猫　さん 2020/8/1　7:03 関東　
１６ いちもく　さん 2020/8/1　7:29 立川市　
１７ まいすた　さん 2020/8/1　7:42 　
１８ 次郎長　さん 2020/8/1　9:43 暑くなってきました、兵庫県
１９ teki　さん 2020/8/1　10:49 大阪府　
２０ チコ勝　さん 2020/8/1　11:44 千葉　
２１ GUTENTAG　さん 2020/8/1　14:06 滋賀県　
２２ フランキー尚　さん 2020/8/1　14:48 名古屋市　
２３ nowhereman　さん 2020/8/1　16:47 東京都　
２４ 朝霞おじ　さん 2020/8/1　18:23 埼玉県　
２５ syokyuhsya　さん 2020/8/2　23:12 千葉県　
２６ りゅう　さん 2020/8/2　2:37 　
２７ NNR4　さん 2020/8/2　8:33 兵庫県　
２８ アルファ・ケンタウリ　さん 2020/8/2　22:44 京都府小学5年生　
２９ 岡本ボンバーズ　さん 2020/8/3　9:19 秋田県　
３０ 阿修羅　さん 2020/8/3　16:18 長野県小学校教諭　
３１ 量子論　さん 2020/8/4　11:35 京都市中京区　
３２ なや　さん 2020/8/7　10:46 兵庫県　
３３ 瓜8個　さん 2020/8/8　16:06 兵庫県　
３４ S　さん 2020/8/9　11:43 東京都　
３５ 見たチョップ　さん 2020/8/21　7:15 大阪府大阪市
３６ K　さん 2020/8/28　15：11 　

 

答えは、44本と65本でした。

[687] 私が２０年以上前に 投稿者： teki <44> 投稿日： 2020/08/06(Thu) 14:37  
この問題に出くわした時、最初は、式１つで未知数４つ・・・。
整数条件を加味したとしても、解けないんじゃないの？って思いました。
そこで、考え方を変えて、問題は「あじ」についてしか問われていない。
もしかして、あじとその他の３種類について、何か異なる条件があるのでは？と思い
それぞれの値段を素因数分解してみました。
mod13に気づいたときは、うれしかったです。
[686] Re:[684] #719 さんへ 投稿者： よしおか（管理人） <44> 投稿日： 2020/08/06(Thu) 07:52  

> あじ以外の３種の値段は、いずれも１３の倍数であり、この３種を何尾買っても金額は１３の倍数。
> ３６００は１３で割ると１２余る数であり、１７０は１３で割ると１余る数だから、
> あじの購入尾数は、１２＋１３ｎ（ｎ＝０、１・・・・）
> 合計金額が３６００円なので、あじの購入数は２１尾以下。
> よって、あじは１２尾買ったことになる。


私は、#719さんの方法で何とか苦労をして答を導き出したのですが、こんな鮮やかな方法があるとは・・・・・。
数学の面白さを感じました。
[685] そうか 投稿者： №719 <44> 投稿日： 2020/08/04(Tue) 19:35  
なるほど
[684] #719 さんへ 投稿者： teki <44> 投稿日： 2020/08/04(Tue) 17:47  
お答えいただき、ありがとうございます。

あじ１２尾は正解なのですが、この問題、他の３種類の値は決定できないです。
例えば、あじ１２尾、さば５尾、いわし５尾、さんま５尾　でも合計金額は３６００円となります。

実は、この問題、元ネタは、第１回算数オリンピックなんですが、模範解答としては以下の通りです。

あじ以外の３種の値段は、いずれも１３の倍数であり、この３種を何尾買っても金額は１３の倍数。
３６００は１３で割ると１２余る数であり、１７０は１３で割ると１余る数だから、
あじの購入尾数は、１２＋１３ｎ（ｎ＝０、１・・・・）
合計金額が３６００円なので、あじの購入数は２１尾以下。
よって、あじは１２尾買ったことになる。
[683] せっかくなんで 投稿者： #719 <44> 投稿日： 2020/08/04(Tue) 16:02  
78x + 104yで 一位が0になるもの( 12個 ) のうち 十位も 0になるのは
即ち 100の倍数になるものは
468+832 =1300しかない
つまり
78×6 +104×8 =1300
ここまで来れば あとは簡単

130x + 170y = 2300 を解けば良い
これは容易く x は 2 と分かって
yも 12 だと

よって
鯵が12尾
鯖が 2尾
秋刀魚が 8尾
鰯が 6尾
[682] 文字化けしてしまいました。 投稿者： teki <44> 投稿日： 2020/08/03(Mon) 22:30  
魚の種類の前の変な文字列は無視してください。

　↓
[681] 不定方程式（整数条件） 投稿者： teki <44> 投稿日： 2020/08/03(Mon) 22:28  
で有名なものとして、以下の問題を記憶しています。
興味があれば、解いてください。

魚屋さんで次の魚をどれも１尾以上、 ちょうど３６００円分買いました。

&#8226;さば　（１尾あたり　１３０円）
&#8226;あじ　（１尾あたり　１７０円）
&#8226;いわし（１尾あたり　　７８円）
&#8226;さんま（１尾あたり　１０４円）

さて、あじを何尾買ったことになるでしょうか。
[680] 不定方程式 投稿者： よしおか（管理人） <44> 投稿日： 2020/08/03(Mon) 19:19  
今から45年前は、高校数学１で不定方程式は習わなかったように思います。
今回の問題240χ＋150ｙ＝10020を解くと
χ＝-5χ＋668
ｙ＝8χ-1002になると思いますが、身近な生活にある問題に利用できると思いました。
[679] 老眼が進み… 投稿者： 岡本ボンバーズ <44> 投稿日： 2020/08/03(Mon) 09:25  
「最小値」という文字がボヤけて、最大値だけ送ってしまいました。ビールの本数が５ずつ増えていく事と、それに伴ってビールの金額の十の位が８，４，０，６，２になる事、それが０の時しかうまくいかない事、合計本数が３ずつ減少する事…などなど加味すると秋田県の入試にも出てきそうな、時間を消費させる問題ですね。
[678] 私の解法は整数方程式 投稿者： teki <44> 投稿日： 2020/08/01(Sat) 11:04  
なのですが、小学生が解くとしたら、以下の方法かなぁ。

①　合計金額の１０円の位に着目する。
②　１５０円のものをいくつ買っても、１０円の位は０か５．
③　２４０円のものをいくつ買っても、１０円の位は偶数。
④　これらを足し算して、１０円の位を２にするためには、１５０円のものを偶数個、２４０円のものを３、８、１３、１８・・・個買うしかない。
⑤　合計金額が１００２０円なので、２４０円のものの個数は、４１故以下。
⑥　あとは、表を作れば、８種類の答えがあることが分かる。
⑦　このうち、合計数が最小は３８＋６＝４４、最大は３＋６２＝６５。
[677] 十進Basic で 投稿者： ゴンとも <44> 投稿日： 2020/08/01(Sat) 00:13  
FOR a=0 TO 100
FOR b=0 TO 100
IF 240*a+150*b=10020 THEN PRINT a;b;a+b
NEXT b
NEXT a
END

f9押して
3 62 65
8 54 62
13 46 59
18 38 56
23 30 53
28 22 50
33 14 47
38 6 44 　より
最小値=44,最大値=65・・・・・・(答え)