「今月の問題」　第２５４回　（令和２年１１月）
＜問題＞　

　よしお君は、右図の万華鏡のデザインを作成しました。
　四角形ＡＢＣＤは一辺が６ｃｍの正方形です。
　また、Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈは各辺の中点を取りました。


ここで問題です。
中央にできた赤色の八角形の面積はいくらになるでしょうか。


 

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　　　　　　
順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時 　　 　　備　考　　
　１ ｋｏｕ　さん 2020/11/1　0:17 さいたま　
　２ 乙女座　さん 2020/11/1　0:21 　
　３ ゴンとも　さん 2020/11/1　0:24 豊川市　
　４ algebra　さん 2020/11/1　0:26 神奈川県　
　５ 男はつらいよ　さん 2020/11/1　0:32 神奈川県　
　６ 次郎長　さん 2020/11/1　0:36 兵庫県　
　７ いちもく　さん 2020/11/1　6:45 立川市　
　８ 巷の夢　さん 2020/11/1　7:50 神奈川県在住　
　９ teki　さん 2020/11/1　8:47 大阪府　
１０ いぬたこ　さん 2020/11/1　9:13 千葉　
１１ 花田　さん 2020/11/1　9:15 中部地方　
１２ Hyamamoto　さん 2020/11/1　9:48 愛知　
１３ うたねこ　さん 2020/11/1　9:27 　
１４ №719 さん 2020/11/1　10:09 　
１５ 量子論　さん 2020/11/1　10:36 京都市中京区　
１６ スモークマン　さん 2020/11/1　13:33 ＠新倉敷　
１７ 朝霞おじ　さん 2020/11/1　16:08 埼玉県　
１８ 保和　さん 2020/11/1　18:22 尾張　
１９ Mr.ダンディ　さん 2020/11/1　21:04 大阪府　
２０ 阿修羅　さん 2020/11/3　0:48 長野県小学校教諭　
２１ GUTENTAG　さん 2020/11/3　14:09 滋賀県　
２２ NNR4　さん 2020/11/4　8:56 兵庫県　
２３ 鯨鯢(Keigei)　さん 2020/11/4　18:36 　
２４ K　さん 2020/11/5　8:15 　
２５ 源内シンガポール　さん 2020/11/10　14:58 　

 

答えは　６　でした

[713] 第254回 投稿者： 鯨鯢(Keigei) <11gatu> 投稿日： 2020/11/04(Wed) 18:45  
出題を忘れていて遅くなりました。

正方形ABCDの中心をXとすれば、
△EFXについて、EK，FI は中線ですので、Jは重心です。
よって、四角形XIJKの面積は △EFXの面積の 1/3 、
正方形AFXEの面積の 1/6 です。
赤色の八角形の面積は 正方形ABCDの面積の 1/6 になり、
6×6÷6＝6 (cm2)です。
[712] 無題 投稿者： №719 <11gatu> 投稿日： 2020/11/04(Wed) 12:50  
IM,KO,LP,JNを結んだ交点をZとする。中央の赤い8角形は正8角形ではないが対称性は謂えるから

三角形ZIPの面積を8倍すればええわけよ

Iは長方形AFHDの対角線の交点だから

ZI = EI


ZP : DP = ZI : ZH = 1 : 2

従って
三角形 ZIP = ZI / ZE × ZP / ZD × 三角形 ZDE

= 1/2 × 1/3 × 三角形ZDE
= 1/6 × 1/8 × 正方形ABCD
= 36/48

最後に 8倍して
求める答えは 6
[711] Re:[710] 3:4:5が出てきますのね... 投稿者： teki <11gatu> 投稿日： 2020/11/01(Sun) 17:40  
> とりあえず地道ながら...^^;
> tan(残された角OCL=x)
> tan(ピンクの角ECD=y)=1/2
> tan(2y)=1/(1-1/2^2)=4/3
> tan(x+2y)=tan90°=(tanx+4/3)/(1-tanx*(4/3))=∞
> so...tanx=3/4・・・3:4:5ね ^^
> 真ん中の小さい正方形=6^2/5
> ・・・これは有名な分割問題でもありますね ^^
> その1辺を4にすると...残る長さが4-3=1
> so...
> (6^2/5)*(1-(4/3)*2/4^2)=(6^2/5)(5/6)=6

これ、浮浪さんところの第９２３回で同様の図形が出てますね。
（問題自体は、面積を直接求めるものでなく、正方形の中の大きい八角形
との面積比を求めるものですが）
スモークマンさんも一度見たことがあるはず。（って、いちいち覚えてませんよね。）
[710] 3:4:5が出てきますのね... 投稿者： スモークマン <11gatu> 投稿日： 2020/11/01(Sun) 14:08  
とりあえず地道ながら...^^;
tan(残された角OCL=x)
tan(ピンクの角ECD=y)=1/2
tan(2y)=1/(1-1/2^2)=4/3
tan(x+2y)=tan90°=(tanx+4/3)/(1-tanx*(4/3))=∞
so...tanx=3/4・・・3:4:5ね ^^
真ん中の小さい正方形=6^2/5
・・・これは有名な分割問題でもありますね ^^
その1辺を4にすると...残る長さが4-3=1
so...
(6^2/5)*(1-(4/3)*2/4^2)=(6^2/5)(5/6)=6
[709] こんな感じて 投稿者： №719 <11gatu> 投稿日： 2020/11/01(Sun) 10:09  
真ん中の赤色の8角形の面積は
四角形ALCP+四角形DJBNー8角形IAKBMCOD=
正方形ABCDの面積の1/3 + 正方形ABCDの面積の1/3 ー
正方形ABCDの面積の1/2

となって答えは正方形ABCDの面積の1/6

6×6× 1/6= 6
[708] いやー、お恥ずかしい 投稿者： 巷の夢 <11gatu> 投稿日： 2020/11/01(Sun) 07:56  
ずっと、正８角形だと一人合点し、√２を正解に
使うのだから・・・・、認証はできないし、まあいいか
解答を送付致しました。
小一時間ほどして、待てよと、きちんと図を描いてみると
何と中心からの長さが、√2と3/2と二つあったとは・・・。
いやーお恥ずかしい・・・。
[707] 座標で 投稿者： ゴンとも <11gatu> 投稿日： 2020/11/01(Sun) 00:37  
I(0,3/2)で
線分FH,EGの交点をO(0,0)として
直線EC:y=-2*x+3,直線EC:y=-(x-3)/2
この交点Pのx座標は
-2*x+3=-(x-3)/2 変形して
-4*x+6=-x+3 変形して
3*x=3 x=1 より
八角形=8*△PIO=8*IO*Pのx座標/2=8*(3/2)*1/2=6・・・・・・(答え)
[706] 三角形の面積の公式 投稿者： algebra <11gatu> 投稿日： 2020/11/01(Sun) 00:30  
1/2×3/2×√2×sin45°×8＝6(cm2)