上図のように、正三角形ＡＢＣと正方形ＤＥＦＧがあります。 ただしＢＣ＝ＥＦの条件があることも分かっています。 この正三角形の内部の点Pから、三辺まで距離の和（ＰＱ＋PR＋ＰＳ）は、ちょうど１５ｃｍになりました。 さて、このとき正方形ＤＥＦＧの面積は何ｃｍ２になるでしょうか。

正三角形の内部の点から、各辺までの距離の和が、正三角形の高さに等しいことは、私自身は上図によって示そうとした。
AB=PQ,AC=QR
AB+AC=PQ+QR
         =PRになる。

しかしながら、いろいろな方の回答より、もっと一般的に解くことができることを知りました。

＜解答例＞

＜tommyさんより＞

 �僊BC正三角形なので、高さをhとおくと面積Ｓ＝1/2・h・BC ・・・�@であ
る。
一方条件から、S=1/2・(PQ+QR+RP)・BC ・・・�Aとも表せる。
�@=�Aなので、h=PQ+QR+RP=15・・・�Bである。
ここで三平方の定理(30度60度90度の三角形)を用いると、辺の比は
1:2:√3 であるから高さｈ=√3/2・BC・・・�Cとおける。
�Cを�Bに代入して
 √3/2・BC＝15　したがって BC=10√3
つまり、(正方形DEFGの面積)＝10√3×10√3=300 (cm2)

有無相生さん、保夫さん、ふじさきたつみさん、大豪院邪鬼さん、BossFさん、高橋さん、ミミズクはくず耳さん、CRYING DOLPHINさんからも同様の解答を頂きました。
有り難うございました。

＜圭太さん、ヒサノッチさん、ミミズクはくず耳さんより＞

＜鈴木さんより＞
QP=SP＝RPの場合
RP=5
三角形BPRは、３０度６０度の直角三角形なので
RP：BR＝１：√３
BR＝５√３
BC＝１０√３
BC=EFより
四角形の面積　１０√３×１０√３＝３００

＜浜田　明巳さんより＞
パスカルで作りました．正三角形の１辺の長さを１とし，Ａ(１／２，√３／２)，Ｂ(
０，０)，Ｃ(１，０)とします．乱数を使ってＰの座標を△ＡＢＣ内に求め，ＰＱ＋ＰＲ＋ＰＳを計算します．
本来この長さが１５になるので，相似比を求め，その相似比にそって，正方形の面積を求めます．
program p0107(input,output);
var
    Py:real ;
    Px:real ;
    PR:real ;
    PQ:real ;
    PS:real ;
    soujihi:real ;
    kotae:real ;
    QX:integer ;
    begin
        repeat
            Px := random;
            Py := random;
            if Py<=sqrt(3)*Px then  begin
                QX := 1;
                if Py>-sqrt(3)*(Px-1) then  begin
                    QX := 0;
                    end;
                end else begin
                QX := 0;
                end;
        until QX=1;
        PR := Py;
        PQ := abs(-sqrt(3)*Px+Py)/sqrt((-sqrt(3))*(-sqrt(3))+1*1);
        PS := abs(sqrt(3)*Px+Py-sqrt(3))/sqrt(sqrt(3)*sqrt(3)+1*1);
        soujihi := 15/(PQ+PR+PS);
        kotae := soujihi*soujihi;
        writeln(kotae:10:4);
    end.