「今月の問題」　第２９回　（平成１４年２月）



　｢塵劫記｣は、江戸時代に書かれ、４００年も経た現在にまで名を残している。｢継子立て｣や｢絹盗人算｣などの人々を楽しませる内容を採り入れられている。このことには｢塵劫記｣の方向を大衆むけにしたことになり、江戸時代を通して多くの人に受けいれられた。
　著者、吉田光由は、角倉一族という経済的には恵まれた家に１５９８年に生まれた。そして、外祖父にあたる数学の得意な角倉了以には可愛がられて育てられたということである。

　左図は、江戸時代の書物「塵劫記」に書かれた「百五間算」というページです。

　現代の文章に表すと、
　「ある数χを７で割ると２余ります。またχを５で割ると１余ります。そして、χを３で割ると２余ります」
　
ここで問題です。

　　ある数χはいくつになるのでしょうか。あてはまる数字のうち１０００に一番近い数を見つけてください。

　


＜正解者一覧表＞　　　　　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１なにわ　さん2002/2/1　0:41西宮市
　２ 高田修成(修徳学院)　さん2002/2/1　0:52兵庫県
　３ミミズクはくず耳　さん2002/2/1　0:57神奈川県横浜市
　４信三　さん2002/2/1　1:02シリコンバレーの住人
　５モルモット増殖中　さん2002/2/1　1:32モルモット王国算数教室
　６miya　さん2002/2/1　5:33
　７N.Nishi　さん2002/2/1　6:52大阪府：中学教諭
　８ まお　さん2002/2/1　8:27福井県
　９dr.m　さん2002/2/1　10:25阪神間の田舎者
１０ ＢＯＮＺ　さん2002/2/1　10:51大阪市内
１１ｔｅｋｉ　さん2002/2/1　13:13　
１２H.Fujimoto　さん2002/2/1　15:27兵庫県
１３巷の夢　さん2002/2/1　20:41宮城県出身
１４老眼鏡　さん2002/2/1　20:45　
１５トド３号　さん2002/2/1　21:51静岡県
１６ISAMU　さん2002/2/2　10:28三重県
１７ 有無相生　さん2002/2/2　11:42神奈川県、会社員
１８ふじさきたつみ　さん2002/2/2　12:21北海道
１９ルーキー　さん2002/2/2　12:26中学3年生
２０モルモット大臣　さん2002/2/2　15:31モルモット王国大学院
２１理一郎坊ちゃん　さん2002/2/2　17:04山口市
２２Mr.N　さん2002/2/4　20:56　
２３ 高橋　道広　さん2002/2/4　22:42北の隠れ家
２４ノリ　さん2002/2/4　23:36　
２５QPer　さん2002/2/5　0:43宝くじ売り場
２６かず　さん2002/2/5　17:30埼玉県
２７ BossF　さん2002/2/5　20:26　
２８BEAN　さん2002/2/6　23:50　
２９ NobleScarlet　さん2002/2/7　4:54大阪出身、札幌在住
３０安楽　さん2002/2/7　16:56　
３１浜田　明巳　さん2002/2/8　13:32　
３２モルモット13号　さん2002/2/10　22:38モルモット王国
３３ とむ　さん2002/2/11　22:38東京都、大学生
３４Michael　さん2002/2/15　0:50京都府　
３５圭太　さん2002/2/19　0:53　
３６テモ　さん2002/2/19　23:00広島のおじさん
３７ CRYING DOLPHIN　さん2002/2/19　23:44高知県在住
３８HN理想雀士　さん2002/2/20　9:38　
３９たっちゅー　さん2002/2/20　12:42　
４０まれっと　さん2002/2/24　8:14大阪府　社会人
４１iinoue　さん2002/2/24　13:30都会
４２清川　育男　さん2002/2/26　0:25広島市
４３micikazu　さん2002/2/26　11:18山口市

答えは、「１０３１」でした。

＜ミミズクはくず耳さん＞

7と5だけに注目すると、51が条件を満たしますことに気付きました。しかしこれは3で割り切れてしま
うので、7×5 = 35を足した86は３つの条件を満たす。あとは、105×9 = 945を足して、1031。

＜ｔｅｋｉさん、まおさん、NobleScarletさん、CRYING DOLPHINさん他＞

　題意の数の最小値は８６、また、３，５，７の最小公倍数は１０５
であり、１０００に最も近い最小公倍数は９４５及び１０５０であるの
で、１０００に最も近い数は９４５＋８６＝１０３１となる。

＜ふじさきたつみ　さん＞

　7a+2=105a+30
  5b+1=105b+21
  3c+2=105c+35
だから、30+21+35=86　となって、１０５Ｎ＋８６がもとめる解

＜信三　さんからの貴重なメール＞

もう６５年も以前のことになりますが、私が中学１年のとき、クラスの担任が数
学の先生で、和算の研究のため近所の神社などの算額を見て回っておられるよう
な方でした。その先生が全校の遠足のときクラスの生徒達と一緒に歩きながら、
生徒の思う数を７と５と３で割った余りを聞いて元の数を当てるというゲームを
しました。
そのとき、私がそのやり方を見つけて、先生を驚かせたことがありました。

私が使った方法を今回の問題を例にして申しますと、
7で割って２余る数として、９を見つけます。
９を３で割ると余りは０ですが、これに、7を足してゆくと、7で割ったときの余
りを変えないで、３で割ったときの余りが１ずつ増えます。９＋７＊２＝２３
が、7と３の条件を満足します。
２３を５で割ると３余りますが、これに、２１を足してゆくと、7と３で割った
ときの余りを変えないで、５で割ったときの余りが１ずつ増えます。２３＋
２１＊（２＋１）＝８６が、１０５以下の範囲にある、条件にかなう数になります。
この数に１０５を必要な個数足して１０００に近い数を得ます。

以上が、私が中学１年の頭で考えだした解法でした。

＜高橋　道広　さん＞

 7で割ると２あまる数を書く　2,9,16,23,…
5で割ると1あまる数を書く　1,6,11,16,21
16が共通で、このあと上の数は7ずつ増加、下の数は5づつ増加するので
また、同じ数があるとしたら16より7の何倍か足した数で、5の何倍か足
した数、つまり7×35の何倍か足した数になっている。
それは35でわると16あまる数となる。
次にそのような数を並べると16,51,86,121,…
これを３で割ると余りは1,0,2,1,…
86が該当するが、上と同じ理由によって次は86より35×3=105の倍数
多い数が両方に共通する数となっている。
1000÷105=9あまり55であり　86-55=31より　
1000の近くのこのような数は
86+105×9=1031

　

＜ＢossＦ　さん＞

7で割ると2余る数は
2 9 16 …
ここで、5で割ると1余る数16を発見！
したがって、7で割ると2余り5で割ると1余る数は
35で割ると16余る数…@です

また，3で割ると2余る数は
2 5 8 11 …
ここで、5で割ると1余る数11を発見！
同様に3で割ると2余り5で割ると1余る数は
15で割ると11余る数…Aです

そこで、@、Aを書き出しますと
@→16 51 86 …
A→11 26 41 56 71 86 …
ここで86を発見
したがって，求める数は105で割ると86余る数です
105x9+86=1031…答

＜浜田　明巳　さん＞

<HEAD>
<TITLE>平成14年2月第29回</TITLE>
<SCRIPT LANGUAGE="JAVASCRIPT">
<!--
  var x;
  var min=10000;
  var sa;
  var kotae1;
  var kotae2;
  for(x=2;x<=10000;x++){
    if(x%7==2&&x%5==1&&x%3==2){
      sa=Math.abs(x-1000);
      if(min>sa){
        min=sa;
        kotae1=x;
        kotae2=0;
      }
      else{
        if(min==sa){
          kotae2=x;
        }
      }
    }
  }
  document.write("答="+kotae1);
  if(kotae2>0){
    document.write(","+kotae2);
  }
  document.write("<BR>");
//-->
</SCRIPT>
</HEAD>
</HTML>

＜清川　育男　さん＞

 k,k1,k2は非負整数とする。
題意より、
x=7*k+2
k=5*k1+2
x=35*k1+16
k1=3*k2+2
x=105*k2+86
k2=8 x=926
k2=9 x=1031
したがって、1031