右式の例を見てください。 既約分数｛b/a｝と既約分数｛d/c｝の引き算とかけ積の計算をすると、全く同じ値になります。 　 ここで問題です。 　このようなａ，ｂ，ｃ，ｄの組み合わせは何通りあるでしょうか。 ※ただし、分子のｂ，ｄの値は、１〜９のどれかの数であり、分母のａとcは２〜９のどれかの数です。

＜ｔｅｋｉ　さんの解答＞
分母の大きい方を決定すると、それに伴って小さい方が決定される。
また、２つの分母が決まれば、分子は自動的に決まる。（分母の数の差）
これと既約分数という条件を勘案すると、分母の組合せは以下の通り。
（９，８）（９，７）（９，５）（９，４）（９，２）
（８，７）（８，５）（８，３）
（７，６）（７，５）（７，４）（７，３）（７，２）
（６，５）
（５，４）（５，３）（５，２）
（４，３）
（３，２）

＜モルモット大臣　さんの解答＞
b/a-d/c=b/a×d/cからbc-ad=bdよってbc=ad+bd=(a+b)dと変形
ここでa,b,c,dは自然数でcとdは互いに素であるからb=d, c=a+bで
ある。ここでc=3~9で場合分けすると1/2-1/3,1/3-1/4が2回、3回
出現しますが、それぞれ確実に数えて19通りとなりました。

＜miya　さんの解答＞
ａｄ＝b（ｃ−ｄ）と変形して数え上げました
（ａ、ｂ、ｃ、ｄ）の組は
（２，７，９，７）（４，５，９，５）（３，５，８，５）（２，５，７，５）
（５，４，９，４）（３，４，７，４）（５，３，８，３）（４，３，７，３）（２，３，５，３）（７，２，９，２）（５，２，７，２）（３，２，５，２）
（８，１，９，１）（７，１，８，１）（６，１，７，１）（５，１，６，１）
（４，１，５，１）（３，１，４，１）（２，１，３，１）

＜有無相生　さんの解答＞
b*c=(a+b)*d
a+b=b*c/d
c,dは互いに素だから、bはｄで割り切れる。
b=n*d (n=1,2,...)
a=n*(c-d)
nが１でないと、a,bは公約数ｎをもち、互いに素に反する。
故に、n=1
a=c-d
b=d
b=d=k(k=1,2,....)のときの、a,bが互いに素、かつc,dが互いに素
を満たす、(a,b,c,d)の組の個数をn(k)とする。
n(1)=7   (a,c)=(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9)
n(2)=3   (a,c)=(3,5),(5,7),(7,9)
n(3)=3   (a,c)=(2,5),(4,7),(5,8)
n(4)=2   (a,c)=(3,7),(5,9)
n(5)=3   (a,c)=(2,7),(3,8),(4,9)
n(6)=0
n(7)=1   (a,c)=(2,9)
n(8)=0
n(9)=0

＜ふじさきたつみ　さんの解答＞
ｂ/ａ＝Ａ，ｄ/ｃ＝Ｂとおくと、分数の式は、Ａ−Ｂ＝ＡＢとなる。こ れを変形すると、Ｂ＝Ａ/（Ａ＋１）、Ａ，は分母が２から、９までの 既約分数で、Ｂも分母が２から、９までの規約分数なので、その条件を 満たす、Ａ、Ｂをもとめればよい。 　Ａ　　　１/２　3/2　5/2　7/2　1/3　2/3　4/3　5/3　1/4　3/4　5/4　1/5　2/5　3/5　4/5　1/6　1/7　2/7　1/8 　Ｂ　　　１/3　3/5　5/7　7/9　1/4　2/5　4/7　5/8　1/5　3/7　5/9　1/6　5/7　3/8　4/9　1/7　1/8　2/9　1/9 　以上　１９個です。

＜あつしぃ　さんの解答＞
b/a , d/c : 既約分数
a,c:2〜9の整数
b,d:1〜9の整数
b/a-d/c=b/a*d/c となる、 ---- (A)
(a,b,c,d)の整数の組み合わせが何通りあるか。
(A)より、 (bc-ad)/ac = bd/ac bc-ad = bd
∴
a = bc/d - b ---- �@
b = ad/(c-d) ---- �A
c = ad/b - d ---- �B
d = bc/(a+b) ---- �C
�@より、bc/dは整数、d/cが既約分数のため、bは、dの倍数
b = n・d ---- �D
�Bより、ad/bは整数、b/aが既約分数のため、dは、bの倍数
d = m・b ---- �E
�D�Eより、m = n = 1
∴ b = d 
条件(A)に代入し、
d = c - a
b = d = 1 の時、
(a,c) = {(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9)}
b = d = 2 の時、
(a,c) = {(2,4),(3,5),(4,6),(5,7),(6,8),(7,9)}
b = d = 3 の時、
(a,c) = {(2,5),(3,6),(4,7),(5,8),(6,9)}
b = d = 4 の時、
(a,c) = {(2,6),(3,7),(4,8),(5,9)}
b = d = 5 の時、
(a,c) = {(2,7),(3,8),(4,9)}
b = d = 6 の時、
(a,c) = {(2,8),(3,9)}
b = d = 7 の時、
(a,c) = {(2,9)}
b/a、d/c は既約分数のため、
(a,b,c,d) = {
(2,1,3,1),(3,1,4,1),(4,1,5,1),(5,1,6,1),(6,1,7,1),
(7,1,8,1),(8,1,9,1),
(3,2,5,2),(5,2,7,2),(7,2,9,2),
(2,3,5,3),(4,3,7,3),(5,3,8,3),
(3,4,7,4),(5,4,9,4),
(2,5,7,5),(3,5,8,5),(4,5,9,5),
(2,7,9,7)
}

＜高橋　道広　さんの解答＞
b/a-d/c=b/a×d/cからbc-ad=bd　　ad=b(c-d）　b/a=d/(c-d)
ここでb/aは既約分数ですからb<>dとすると、dとc-dは同じ数ｋで
わりきれることになり、このときc=(c-d)+dは(c-d)もdもｋで割り
切れるからｋでわりきれます。するとd/cはｋで約分できるので
仮定に矛盾します。よって　b=d　a=c-dであることがわかりま
す。この条件を満たす数を決定するとよいのですが、
c、dをc-d>1かつc、dが互いに素であるように決定すれば、上と
同様にa、bは互いに素になるので、十分であることがわかりま
す。
c=3のとき　2>dより　d=1　　　　　　　　　　１通り
c=4のとき　3>dより　d=1　　　　　　　　　　１通り
c=5のとき　4>dより　d=1,2,3　　　　　　　　３通り
c=6のとき　5>dより　d=1　　　　　　　　　　１通り
c=7のとき　6>dより　d=1,2,3,4,5　　　　　　５通り
c=8のとき　7>dより　d=1,3,5　　　　　　　　３通り
c=9のとき　8>dより　d=1,2,4,5,7　　　　　　５通り
合計１9 通りです

＜ミミズクはくず耳　さんの解答＞
a/b, a/(b+a) の分子が共通になるもので、
既約分数になるものを数えました。
a = 1の時、b = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 の 7個、
a = 2の時、b = 3, 5, 7 の 3個、
a = 3の時、b = 2, 4, 5 の 3個、
a = 4の時、b = 3, 5 の 2個
a = 5の時、b = 2, 3, 4 の 3個
a = 7の時、b = 2 の 1個
で、全部で 19 個です。