今回は、多項式を展開する問題です。
きっと、この式（X2＋X＋１）5 を展開すると、項の数は全部で、１１個になると思います。
ここで問題です。
X5 の係数はいくらになるでしょうか。
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今回は、多項式を展開する問題です。 ここで問題です。
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答えは、５１でした。
＜正解者一覧表＞
| 正解者順位 | ｎａｍｅ | メール到着日時 | 備 考 |
| １ | Michael さん | 2002/5/1 0:20 | |
| ２ | モルモット増殖中 さん | 2002/5/1 0:25 | モルモット王国 |
| ３ | ミミズクはくず耳 さん | 2002/5/1 0:30 | |
| ４ | なにわ さん | 2002/5/1 0:32 | 西宮市 |
| ５ | Banyanyan さん | 2002/5/1 0:58 | 京都府 |
| ６ | モルモット大臣 さん | 2002/5/1 3:19 | モルモット王国 |
| ７ | 信三 さん | 2002/5/1 3:27 | シリコンバレーの住人 |
| ８ | 有無相生 さん | 2002/5/1 8:47 | 神奈川県、会社員 |
| ９ | QPer さん | 2002/5/1 9:11 | |
| １０ | 巷の夢 さん | 2002/5/1 12:51 | 宮城県 |
| １１ | miya さん | 2002/5/1 16:48 | 熊本 |
| １２ | teki さん | 2002/5/1 18:00 | |
| １３ | 高橋 道広 さん | 2002/5/1 18:18 | 北の隠れ家 |
| １４ | BossF さん | 2002/5/1 22:20 | |
| １５ | N.Nishi さん | 2002/5/1 22:58 | 大阪府：中学教諭 |
| １６ | BEAN さん | 2002/5/2 0:08 | |
| １７ | 老眼鏡 さん | 2002/5/2 21:59 | 福岡ダイエー ファン |
| １８ | ISAMU さん | 2002/5/2 22:57 | 三重県 |
| １９ | ふじさきたつみ さん | 2002/5/3 10:37 | 北海道 |
| ２０ | 暇な人間 さん | 2002/5/3 15:32 | |
| ２１ | 岡田 さん | 2002/5/4 1:47 | 鳥取県出身 |
| ２２ | 理一郎坊ちゃん さん | 2002/5/4 18:25 | 山口市湯田 |
| ２３ | Parpunte さん | 2002/5/5 23:12 | 市川市のリーマン |
| ２４ | まお さん | 2002/5/7 0:28 | 福井県 |
| ２５ | 安楽克嘉 さん | 2002/5/7 9:01 | 宮崎県小林市 |
| ２６ | あつしぃ さん | 2002/5/8 16:17 | 会社員 |
| ２７ | 計算鑑定人 さん | 2002/5/9 7:45 | |
| ２８ | aho さん | 2002/5/10 23:55 | 熊本 |
| ２９ | LION さん | 2002/5/12 12:11 | 東京都 |
| ３０ | テモ さん | 2002/5/14 23:47 | 広島市佐伯区美鈴が丘 |
| ３１ | ルーキー さん | 2002/5/20 5:06 | 高校１年生 |
| ３２ | 浜田 明巳 さん | 2002/5/24 14:55 | |
＜ミミズクはくず耳 さん＞
２項展開よりちょっと面倒ですね。
１１１
＊１１１
＊＊１１１
−−−−−−
１２３２１
＊１２３２１
＊＊１２３２１
−−−−−−
１３６７６３１
＊１３６７６３１
＊＊１３６７６３１
−−−−−−−−−−−−
１,4,10,16,19,16,10,4,1
＊１,4,10,16,19,16,10,4,1
＊＊１,4,10,16,19,16,10,4,1
−−−−−−−−−−−−
1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1
＜なにわ さんより＞
こんなのがありました。
http://www.research.att.com/~njas/sequences/
Sequence:
3,16,51,126,266,504,882,1452,2277,3432,5005,7098,9828,13328,
17748,23256,30039,38304,48279,60214,74382,91080,110630,
133380,159705,190008,224721,264306,309256,360096,417384,
481712,553707,634032,723387,822510
Name: Coefficient of x^5 in expansion of
(1+x+x^2)^n
＜モルモット大臣 さんより＞
X^5はX^2×X^2とX、X^2とX×X×X,X×X×X×X×Xの組み合わせであり
5C2×3C1+5C1×4C3+5C5=51
＜有無相生 さんより＞
[x(x+1)+1]**5=x**5*(x+1)**5+5*x**4*(x+1)**4+10*x**3*(x+1)**3+10*x**2*(x+1)**2+....
x**5の係数は、第１項から１、第２項から20、第3項から30で計51.
＜miya さんより＞
（ｘ＾２＋ｘ＋１）＾５の一般項は
（５！／ｐ！ｑ！ｒ！）・（ｘ＾２）＾ｐ・ｘ＾ｑ・１＾ｒ
＝（５！／ｐ！ｑ！ｒ！）・ｘ＾２ｐ＋ｑ・１＾ｒ
よって
２ｐ＋ｑ＝５、ｐ＋ｑ＋ｒ＝５
ｐ、ｑ、ｒの組は
（０，５，０）、（１，３，１）、（２，１，２）
（５！／５！）＋（５！／１！３！１！）＋（５！／２！１！２！）
＝１＋２０＋３０＝５１
ｎ＝５でそんなに大きくないので実際に手計算でも
５１という解はそんなに時間かからずに求めることもできました
＜ BossF さんより＞
[略解] x5=(x2)2x(x1)1x(1)2 … 5!/(2!x2!)=30 =(x2)1x(x1)3x(1)1 … 5!/3!=20
=(x2)0x(x2)5x(1)0 … 1
よって 51…答
＜N.Nishi さんより＞
組み合わせで考えました。（間違ってたりして）
与式をχの次数だけで考えると(2,1,0)(2,1,0)(2,1,0)(2,1,0)
(2,1,0)となっていて、更に( )内の項の係数がすべて１というのがミ
ソ。
よってχの5乗の係数は全ての（ ）から「11111」（１を5つ）か
「01112」（0,2を1つずつ、１を3つ）「00122」（0,2を２つずつ、1を
1つ）をかけたものを考えればよい。全て係数が1なので何通りか数え
る。
「11111」で1通り
「01112」で20通り
「00122」で30通り
あわせて51通りなので
係数は51
＜ふじさきたつみ さん＞
二項定理をつかいました。
（ｘ＾２）＾ｐ＊ｘ＾ｑ＊１＾ｒ＝ｘ＾５とすると
（ｐ、ｑ、ｒ）＝（０，５，０）
（ｐ、ｑ、ｒ）＝（１，３，１）
（ｐ、ｑ、ｒ）＝（２、１，２）の３つがあって、
それぞれの係数は ５！/ｐ！＊ｑ！＊ｒ！に代入して、１，２０、３０
だから、求める係数は、５１となる。
＜岡田 さん より＞
x^2+x=Mとして（M+1）^5を二項定理でとく
M^5+5M^4+10M^3+10M^2+5M+1
Mをもどす
x^10+5x^9+15x^8+30x^7+45x^6+51x^5+45x^4+30x^3+15x^2+5x+1
よってx＾2の係数は51
＜あつしぃ さんより＞
[解]
x^5 の係数は、
(x)*(x)*(x)*(x)*(x) の係数 ---- (A)
(x^2)*(x)*(x)*(x)*(1) の係数 ---- (B)
(x^2)*(x^2)*(x)*(1)*(1) の係数 ---- (C)
上記の係数を足せば良い。
(A) の係数は、5!/5!
= 1
(B) の係数は、5!/(1!・3!・1!) = 20
(C) の係数は、5!/(2!・2!・1!) = 30
[! は、階乗]
∴ x^5の係数は、 51
＜LION さんより＞
x^5 = (x^2)^2*x ＝ (x^2)*(x^3) = x^5であるので、各々の係数を計算して足し算しました。
(30 + 20 + 1 = 51)
＜浜田 明巳 さんより＞
展開式
x^10+5x^9+15x^8+30x^7+45x^6+51x^5+45x^4+30x^3+15x^2+5x+1
x^5の係数
51
下記のＵＢＡＳＩＣのプログラムで解いてしまいました．ありきたりの解答ですみません．
10 'asave "m0205.ub"
20 print (_X^2+_X+1)^5
30 print ((_X^2+_X+1)^5\_X^5)@_X
40 end