左の見取り図にあるような花瓶があります。
また、寸法線で表した図は、花瓶を正面からと、真上から見たものです。
この花瓶の底面は縦１０cm、横１２cmの長方形であり、花瓶の高さは１５cmです。
また上底面は、４角形であり、各辺から底面の頂点に向かって切り取った形になっています。そして、左図の長さだけが分かっています。
ここで問題です。
この花瓶の容積は、何cm３になるでしょうか。
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左の見取り図にあるような花瓶があります。
また上底面は、４角形であり、各辺から底面の頂点に向かって切り取った形になっています。そして、左図の長さだけが分かっています。 ここで問題です。
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＜正解者一覧表＞
| 正解者順位 | ｎａｍｅ | メール到着日時 | 備 考 |
| １ | 高田修成(修徳学院) さん | 2002/10/1 0:09 | 兵庫県 |
| ２ | maruhagedon さん | 2002/10/1 0:10 | |
| ３ | ミミズクはくず耳 さん | 2002/10/1 0:17 | 横浜市在住 |
| ４ | miya さん | 2002/10/1 0:20 | 熊本 |
| ５ | Michael さん | 2002/10/1 0:21 | |
| ６ | Non さん | 2002/10/1 0:23 | |
| ７ | Banyanyan さん | 2002/10/1 0:43 | 京都府 |
| ８ | 信三 さん | 2002/10/1 1:01 | シリコンバレーの住人 |
| ９ | モルモット大臣 さん | 2002/10/1 1:08 | モルモット王国 |
| １０ | Nの悲劇 さん | 2002/10/1 1:27 | 兵庫県・怒りの塾講師 |
| １１ | H.N さん | 2002/10/1 4:27 | |
| １２ | 経友会の進作 さん | 2002/10/1 8:50 | 京都府木津町 ６４歳 |
| １３ | BEAN さん | 2002/10/1 9:12 | |
| １４ | モルモッ豚 さん | 2002/10/1 12:26 | モルモット王国 |
| １５ | 巷の夢 さん | 2002/10/1 21:44 | 宮城県出身 |
| １６ | VILL さん | 2002/10/1 23:18 | 兵庫県民 |
| １７ | モルモット増殖中 さん | 2002/10/2 0:51 | モルモット共和国 |
| １８ | なにわ さん | 2002/10/2 23:40 | 西宮市 |
| １９ | 和久 平八郎 さん | 2002/10/3 10:00 | 福岡県在住 プログラマー28 |
| ２０ | 理一郎坊ちゃん さん | 2002/10/3 15:55 | 山口市湯田小６年 |
| ２１ | 浜田 明巳 さん | 2002/10/4 8:24 | |
| ２２ | 有無相生 さん | 2002/10/4 10:26 | 神奈川県 |
| ２３ | MARORINE さん | 2002/10/5 2:15 | 福岡県在住、某進学塾講師 |
| ２４ | ステップ ばい ステップ さん | 2002/10/5 14:15 | |
| ２５ | yuki さん | 2002/10/5 22:43 | 奈良県 |
| ２６ | たなしん さん | 2002/10/5 22:52 | 神奈川県；会社員 |
| ２７ | あああああ さん | 2002/10/6 11:12 | |
| ２８ | 村田 さん | 2002/10/6 18:02 | 大阪市 |
| ２９ | ISAMU さん | 2002/10/6 22:48 | 三重県 |
| ３０ | BossF さん | 2002/10/7 21:05 | |
| ３１ | ふじさきたつみ さん | 2002/10/7 21:07 | 北海道 |
| ３２ | なか さん | 2002/10/8 21:00 | 北海道 |
| ３３ | N.Nishi さん | 2002/10/13 20:19 | 大阪府：中学教諭 |
| ３４ | POPPY さん | 2002/10/17 22:43 | |
| ３５ | 高橋 道広 さん | 2002/10/20 12:49 | 北の隠れ家 |
| ３６ | CRYING DOLPHIN さん | 2002/10/23 2:03 | トキワの森 |
| ３７ | 先生の教え子 さん | 2002/10/24 12:40 | 竹野中３年 |
| ３８ | フィリピンの鷹 さん | 2002/10/29 21:30 |
答えは、１５１５cm３です。
今回もいろいろな方から、解き方を送っていただきました。考え方は基本的には同じなのですか、それぞれの方が的確な表現で記述させていますので、紹介させてもらいます。参考に見てください。
＜ミミズクはくず耳 さんより＞
xy+(12-x)(y-3)+(13-x)(10-x)+(10-y)(x+2) = 114
なので，後は (10*12-114/6)*15 = 1515 です。
＜モルモット大臣 さんより＞
切り出す4つの三角錐の底面積の総和は57cm2より、
求める花瓶の 体積は12×10×15-57×15×1/3=1515
＜なにわ さんより＞
真上から見た図で切り落とされる三角形を１８０度回転させ内側に並べ
ると真ん中に２×３の長方形が残ります。
余分な長さ10cmを書いてある のがこの問題のミソ
＜和久 平八郎 さんより＞
「真上から見た図」の上辺左側の長さをx，右辺上側の長さをy、４つの3角形の面積の総和をSとすると、
S={x(y+3)+(12-x)y+(10-y)(10-x)+(7-y)(x+2)}/2
これを整理すると、
S=57
∴ 求める容積は 10*12*15-S*15/3 =1515 (p3)
＜理一郎坊ちゃん さんより＞
真上から見た図の４個の直角三角形の面積の和が５７㎠。
これら４個の直角三角形を底面とする４個の三角錐の体積の和
は、（５７×１５）／３＝２８５㎤。
直方体の体積は、１０×１２×１５＝１８００㎤
したがって花瓶の体積は、１８００−２８５＝１５１５
＜MARORINE さんより＞
真上からの図で切り取られた４つの三角形のうち、左上方の三角形の左の辺の長さをｘ，上の辺の長さをyとすると，右上方の三角形の２辺の長さはそれぞれ１２−y，ｘ−３。右下方の三角形の２辺の長さはそれぞれ１３−ｘ，１０−y。左下方の三角形の２辺の長さはそれぞれy＋２，１０−ｘ。よって切り取られた周りの４つの三角錐の体積の和は，
1/6×15×{ｘｙ＋（１２−ｙ）（ｘ−３）＋（１３−ｘ）（１０−ｙ）＋（ｙ＋２）（１０−ｘ）}＝1/6×15×114＝２８５。
したがって求める花瓶の容積は，10×12×15−285＝１５１５ｃｍ3
＜ステップ ばい ステップ さんより＞
問題の花瓶は１０×１２×１５の直方体から４つの三角錐を切り取ったものになっています。真上から見た図で２ｃｍ、
３ｃｍの幅の４本の平行線で囲まれた２×３の小長方形を１０×１２の長方形から切り取ると、ちょうど４つの三角錐の
底面積の２倍になっています。よって４つの三角錐の底面積は（１０×１２−２×３）÷２＝５７。
したがって花瓶の容積は１０×１２×１５−５７×１５×１/３＝１５１５。
＜BossF(^^;; さんより＞
12x10x15-{xy+(12-x)(y-3)+(13-y)(10-x)+(10-y)(x+2)}/2x15x1/3
=120x15-(xy+12y-36-xy+3x+130-13x-10y+xy+10x+20-xy-2y)/2x15x1/3
=120x15-57x15x1/3=120x15-19x15
=101x15=1515
＜ふじさきたつみ さんより＞
花瓶の口の面積は、（１２＊１０＋２＊３）/２＝６３ だから、
１２０−６３＝５７、求める容積は、（１２＊１０＊１５）−５７＊１５/３＝１８００−２８５＝１５１５
＜N.Nishi さんより＞
直方体(12×10×15＝1800cm^3)から
４つの三角錐を引きました。
４つの三角錐の底面積の合計が(12×10−6)÷２＝57cm^2なので
体積は57×15÷3＝285cm^31800−285＝1515cm^3
＜CRYING DOLPHIN さんより＞
真ん中の2×3×15の柱を取り去った残りは、切り取る前の体積の5/6に
なります。
＜yuki さんより＞
切り落とされる三角錐の底面積の和は
(120-6)÷2＝57
よって花瓶の体積は
12×10×15-57×15÷3＝1515
＜あああああさん＞と＜村田さん＞と＜高橋道広さん＞には、
上底面の作図を添付していただき、説明していただきました有難うございます。
＜浜田明巳さん＞
からはＶＢで体積を解析するプログラムを添付してもらいました。感謝の気持で一杯です。