「今月の問題」 第38回 (平成14年11月)

 図のような「円すい」、「球」、「円柱」の形をした積み木があります。
 材質(密度)が同じであり、大きな箱の中にこの積み木が、いくつか入っています。
 全体の積み木の重さは、円すい1個の重さのちょうど110個分になったということです。
  ここで問題です。
積み木の合計数が一番少ない場合、その総数は何個になるでしょうか

※ただし、箱の中には、「円すい」「球」「円柱」の積み木は、少なくても1個は含まれているとします。


<正解者一覧表>             
正解者順位     name      メール到着日時     備 考  
 1 高田修成(修徳学院) さん2002/11/1 0:03兵庫県
 2Banyanyan さん2002/11/1 0:05京都府 
 3BEAN さん2002/11/1 0:06 
 4Michael さん2002/11/1 0:11 
 5 BONZ さん2002/11/1 0:19Osaka/JAPAN
 6Nの悲劇 さん2002/11/1 0:35兵庫県
 7 maruhagedon さん2002/11/1 2:28 
 8miya さん2002/11/1 5:38 
 9信三 さん2002/11/1 8:14シリコンバレーの住人 
10経友会の進作 さん2002/11/1 10:42京都府木津町 64歳 
11teki さん2002/11/1 11:31 
12巷の夢 さん2002/11/1 18:59宮城県出身 
13モルモット大臣 さん2002/11/1 19:30モルモット王国 
14Non さん2002/11/1 19:42 
15ponta55555 さん2002/11/1 23:19 
16和久 平八郎 さん2002/11/2 0:34福岡在住PG 
17ISAMU さん2002/11/2 8:57三重県 
18なにわ さん2002/11/2 9:54西宮市 
19フィリピンの鷹 さん2002/11/2 10:15 
20理一郎坊ちゃん さん2002/11/2 16:46山口市湯田小6年
21 有無相生 さん2002/11/3 17:40神奈川県、会社員
22 BossF さん2002/11/3 18:31 
23MARORINE さん2002/11/4 13:28福岡県在住 某進学塾講師 
24ふじさきたつみ さん2002/11/4 16:46北海道 
25清川 育男 さん2002/11/4 23:22広島市 
26グランパ さん2002/11/4 23:36 
2715KARATSOUL さん2002/11/5 15:21兵庫県民 
28スモークマン さん2002/11/5 22:52Jijy
29 タムラなんでも工房 さん2002/11/6 21:46 
30α波 さん2002/11/8 2:56 
31 高橋 道広 さん2002/11/8 18:21北の隠れ家 
32あああああ さん2002/11/9 11:47 
33安楽克嘉 さん2002/11/12 17:04宮崎県小林市 
34yuki さん2002/11/14 21:31奈良県 
35トクジ さん2002/11/29 15:20徳島県 家庭教師 
36N.Nishi  さん2002/11/30 19:50大阪府:中学教諭 


答えは38個です。今回もスマートな模範解答を送って頂きましたので、紹介させていただきます。


<teki さんより>
図のような円錐、球、円柱の体積の比は、1:2:3ですので、
これを組み合わせて110を作ればいい訳です。
個数が最小となるのは、体積3の円柱を最も多く使う場合で
すので、110÷3=36余り2より、円柱の個数は36個以内
です。
少なくとも1個は円錐、球が入っているので、36個の円柱が
入っている場合は、残りの2を作ることができません。
従って、個数が最小となる組合せは、円柱35個、球2個、円
錐1個の合計38個の場合となります。


<和久 平八郎 さん>
密度が全て等しいので円錐、球、円柱の重さの比は
5*(πr^2)/3:4*(πr^3)/3:5*πr^2 (r=5/2)
⇒1:2:3

ここで円錐、球、円柱の個数をそれぞれα,β,γとすると
 α+2β+3γ=110    
  (α,β,γは自然数)・・・@
α+β+γの最小値を求めるので
@を満たすようなγが取り得る最大の値をとればよい。

γ=36のとき
α+2β=2
これは@を満たさないので適さない。

γ=35のとき
α+2β=5
これを満たす(α,β)の組でα+βが最小になる組み合わせは
(α,β)=(1,2)
よって求める解は
α+β+γ=38(個)


<理一郎坊ちゃん さんより>
 円錐(C)、球(S)、円柱(P)の体積の比が、本問の場合には、
1:2:3であり、これは重さの比でもある。以下Cの重さを1と
する。
C,S,Pがそれぞれx、y、z個あるとすると、
x+2y+3z=110
個数をなるべく少なくするには、xをなるべく少なく、zをなる
べく多くすればよい。
x=y=1ではzが整数でないので、x=1,y=2を考える。
このときz=35で、積み木の総数は38個になる。以下zを1
づつ減らしていくと、x、yがそれ以上に増加することがわか
る。


<MARORINE さんより>
解説:円錐の体積…π×5/2×5/2×5×1/3=125/12π立方cm
    球の体積…4/3×π×5/2×5/2×5/2=125/6π立方cm
   円柱の体積…π×5/2×5/2×5=125/4π立方cm
   したがって、体積比円錐:球:円柱=1:2:3
   ここで、体積の合計が円錐110個分であるから、
   110÷3=36個…2
   このとき、球または円錐のどちらかが0個になってしまうので、
   円柱は35個、そうすると、35×3=105、110−105=5となるの 
   で、球は5÷2=2個…1、円錐は1個となる。
   よって、合計個数は35+2+1=38個。


<清川 育男 さん>
  体積比 1:2:3
 少なくともそれぞれ1個はある。 3個 残り 104(個分)
 X、Y、Z 非負整数
 X+2*Y+3*Z=104
 条件により、
 X=0、Y=1、Z=34
 円錐    1個
 球     2個
 円柱   35個
 最小個数 38個


<タムラなんでも工房 さんより>
三角錐、球、円柱の体積比は1:2:3
(円錐の体積を1として考える。)
したがって円柱を一番多くとる仕方を答えればよい。
36個とると円錐108個分となり、残り円錐、球のどちらか
一種類しかとれない。
したがって、円柱は35個しかとれない。
体積は、35×3=105の円錐分
のこり5個分の取り方は球を2個、円錐を1個とるようにすれば
最小の個数となる。


<高橋 道広 さん より>
 円錐の体積:(5/2)^2π×5×1/3=125π/12
球の体積:4/3×π×(5/2)^3=125π/6
円柱の体積:(5/2)^2π×5=125π/4
より体積比は1:2:3
この3つを組み合わせたものは有名な数学者の墓に刻まれてる
とか聞いたことがあります。(^。^)

よって円錐、球、円柱の個数をX,Y,Zとするとx+2Y+3Z=110 
Zが最大になるのは 110/3=36.66..から
Z=36で このときX+2Y=2 Y=1 X=0が合計がもっとも少ない。
 しかしこれは条件に合いません。そこで
Z=35 のとき X+2Y=5で (X,Y)=(1,2) (3,1)
 このうち合計が一番少ないのは (X,Y,Z)=(35,1,2) 合計38個
また一般的にX+2Y+3Z=110のとき 
  X+Y+Z
  =X+Y+(110/3-1/3X-2/3Y)
  =110/3+2/3X+1/3Y
  >=110/3+2/3+1/3
  =37.666であるから X+Y+Zの最小は38未満になることはない
 以上から合計38個 となります。
また X+Y+Z=38を満たすものは X+2Y+3Z=110から
2X+Y=4となり (X,Y)=(1,2)を得ますから (X,Y,Z)=(1,2,35)
のみが解となることがわかります。


<yuki さんより>
 円錐をx個、球をy個、円柱をz個とすると、
x+2y+3z=110
ここで、zの最大値は35だから、z=35
これを代入し、x+2y=5
ここで、yの最大値は2だから、y=2、x=1
よって総和はx+y+z=38個


<トクジ さんより>
仮定:密度=1
体積比=質量比  円錐:球:円柱=1:2:3
よって円柱の変域は1≦x≦36
しかし,各積み木は最低1ヶずつはいっているのだから
円柱36個を適応すると3×36=108となり,円錐,球のいずれかが入らなくな
る。
よって,円柱の最大値を35とすると3×35=105となり,のこりは円錐5個分
となる。
球の数を2ヶとしてやると2×2=4で,円錐は1ヶとなり,
円錐(1)+球(2×2=4)+円柱(3×35=105)=円錐110個分
∴積み木の総和は38が最小となる。