「今月の問題」　第３８回　（平成１４年１１月）

　図のような「円すい」、「球」、「円柱」の形をした積み木があります。
　材質（密度）が同じであり、大きな箱の中にこの積み木が、いくつか入っています。
　全体の積み木の重さは、円すい１個の重さのちょうど１１０個分になったということです。
  ここで問題です。
 積み木の合計数が一番少ない場合、その総数は何個になるでしょうか。

※ただし、箱の中には、「円すい」「球」「円柱」の積み木は、少なくても１個は含まれているとします。

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１ 高田修成(修徳学院)　さん2002/11/1　0:03兵庫県
　２Banyanyan　さん2002/11/1　0:05京都府　
　３BEAN　さん2002/11/1　0:06　
　４Michael　さん2002/11/1　0:11　
　５ BONZ　さん2002/11/1　0:19Osaka/JAPAN
　６Nの悲劇　さん2002/11/1　0:35兵庫県
　７ maruhagedon　さん2002/11/1　2:28　
　８miya　さん2002/11/1　5:38　
　９信三　さん2002/11/1　8:14シリコンバレーの住人　
１０経友会の進作　さん2002/11/1　10:42京都府木津町　６４歳　
１１teki　さん2002/11/1　11:31　
１２巷の夢　さん2002/11/1　18:59宮城県出身　
１３モルモット大臣　さん2002/11/1　19:30モルモット王国　
１４Non　さん2002/11/1　19:42　
１５ponta55555　さん2002/11/1　23:19　
１６和久 平八郎　さん2002/11/2　0:34福岡在住PG　
１７ISAMU　さん2002/11/2　8:57三重県　
１８なにわ　さん2002/11/2　9:54西宮市　
１９フィリピンの鷹　さん2002/11/2　10:15　
２０理一郎坊ちゃん　さん2002/11/2　16:46山口市湯田小６年
２１ 有無相生　さん2002/11/3　17:40神奈川県、会社員
２２ BossF　さん2002/11/3　18:31　
２３ＭＡＲＯＲＩＮＥ　さん2002/11/4　13:28福岡県在住　某進学塾講師　
２４ふじさきたつみ　さん2002/11/4　16:46北海道　
２５清川　育男　さん2002/11/4　23:22広島市　
２６グランパ　さん2002/11/4　23:36　
２７15KARATSOUL　さん2002/11/5　15:21兵庫県民　
２８スモークマン　さん2002/11/5　22:52Jijy
２９ タムラなんでも工房　さん2002/11/6　21:46　
３０α波　さん2002/11/8　2:56　
３１ 高橋　道広　さん2002/11/8　18:21北の隠れ家　
３２あああああ　さん2002/11/9　11:47　
３３安楽克嘉　さん2002/11/12　17:04宮崎県小林市　
３４yuki　さん2002/11/14　21:31奈良県　
３５トクジ　さん2002/11/29　15:20徳島県　家庭教師　
３６N.Nishi　　さん2002/11/30　19:50大阪府：中学教諭　

答えは３８個です。今回もスマートな模範解答を送って頂きましたので、紹介させていただきます。

＜ｔｅｋｉ　さんより＞
図のような円錐、球、円柱の体積の比は、１：２：３ですので、
これを組み合わせて１１０を作ればいい訳です。
個数が最小となるのは、体積３の円柱を最も多く使う場合で
すので、１１０÷３＝３６余り２より、円柱の個数は３６個以内
です。
少なくとも１個は円錐、球が入っているので、３６個の円柱が
入っている場合は、残りの２を作ることができません。
従って、個数が最小となる組合せは、円柱３５個、球２個、円
錐１個の合計３８個の場合となります。

＜和久 平八郎　さん＞
密度が全て等しいので円錐、球、円柱の重さの比は
5*(πr^2)/3:4*(πr^3)/3:5*πr^2 (r=5/2)
⇒1:2:3

ここで円錐、球、円柱の個数をそれぞれα,β,γとすると
 α+2β+3γ=110    
  （α,β,γは自然数）・・・@
α+β+γの最小値を求めるので
@を満たすようなγが取り得る最大の値をとればよい。

γ=36のとき
α+2β=2
これは@を満たさないので適さない。

γ=35のとき
α+2β=5
これを満たす(α,β)の組でα+βが最小になる組み合わせは
(α,β)=(1,2)
よって求める解は
α+β+γ=38(個)

＜理一郎坊ちゃん　さんより＞
 円錐（C)、球（S)、円柱（P)の体積の比が、本問の場合には、
１：２：３であり、これは重さの比でもある。以下Cの重さを１と
する。
C,S,Pがそれぞれｘ、ｙ、ｚ個あるとすると、
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝１１０
個数をなるべく少なくするには、ｘをなるべく少なく、ｚをなる
べく多くすればよい。
ｘ＝ｙ＝１ではｚが整数でないので、ｘ＝１，ｙ＝２を考える。
このときｚ＝３５で、積み木の総数は３８個になる。以下ｚを１
づつ減らしていくと、ｘ、ｙがそれ以上に増加することがわか
る。

＜ＭＡＲＯＲＩＮＥ　さんより＞
解説：円錐の体積…π×5/2×5/2×5×1/3＝125/12π立方ｃｍ
　　　　球の体積…4/3×π×5/2×5/2×5/2＝125/6π立方ｃｍ
　　　円柱の体積…π×5/2×5/2×5＝125/4π立方ｃｍ
　　　したがって、体積比円錐：球：円柱＝1：2：3
　　　ここで、体積の合計が円錐１１０個分であるから、
　　　110÷3＝36個…2
　　　このとき、球または円錐のどちらかが０個になってしまうので、
　　　円柱は35個、そうすると、35×3＝105、110−105＝5となるの　
　　　で、球は5÷2＝2個…1、円錐は1個となる。
　　　よって、合計個数は35＋2＋1＝38個。

＜清川　育男　さん＞
 　体積比　１：２：３
　少なくともそれぞれ１個はある。　３個　残り　１０４(個分)
　Ｘ、Ｙ、Ｚ　非負整数
　Ｘ+２*Ｙ+３*Ｚ＝１０４
　条件により、
　Ｘ＝０、Ｙ＝１、Ｚ＝３４
　円錐　　　　１個
　球　　　　　２個
　円柱　　　３５個
　最小個数　３８個

＜タムラなんでも工房　さんより＞
三角錐、球、円柱の体積比は１：２：３
（円錐の体積を１として考える。）
したがって円柱を一番多くとる仕方を答えればよい。
３６個とると円錐１０８個分となり、残り円錐、球のどちらか
一種類しかとれない。
したがって、円柱は３５個しかとれない。
体積は、３５×３＝１０５の円錐分
のこり５個分の取り方は球を２個、円錐を１個とるようにすれば
最小の個数となる。

＜高橋　道広　さん　より＞
 円錐の体積:(5/2)＾2π×5×1/3=125π/12
球の体積:4/3×π×(5/2)＾3=125π/6
円柱の体積:(5/2)＾2π×5=125π/4
より体積比は1:2:3
この3つを組み合わせたものは有名な数学者の墓に刻まれてる
とか聞いたことがあります。(^。^)

よって円錐、球、円柱の個数をX,Y,Zとするとx+2Y+3Z=110 
Zが最大になるのは　110/3=36.66..から
Z=36で　このときX+2Y=2　Y=1　X=0が合計がもっとも少ない。
　しかしこれは条件に合いません。そこで
Z=35 のとき　X+2Y=5で　(X,Y)=(1,2)　(3,1)
　このうち合計が一番少ないのは　(X,Y,Z)=(35,1,2)　合計38個
また一般的にX+2Y+3Z=110のとき　
　　X+Y+Z
　　=X+Y+(110/3-1/3X-2/3Y)
　　=110/3+2/3X+1/3Y
　　>=110/3+2/3+1/3
　　=37.666であるから　X+Y+Zの最小は38未満になることはない
　以上から合計38個　となります。
また　X+Y+Z=38を満たすものは　X+2Y+3Z=110から
2X+Y=4となり　(X,Y)=(1,2)を得ますから　(X,Y,Z)=(1,2,35)
のみが解となることがわかります。

＜yuki　さんより＞
 円錐をｘ個、球をｙ個、円柱をｚ個とすると、
ｘ＋2y＋3z＝110
ここで、zの最大値は35だから、z＝35
これを代入し、x＋2y＝5
ここで、yの最大値は2だから、y＝2、x＝1
よって総和はx＋y＋z＝38個

＜トクジ　さんより＞
仮定：密度＝１
体積比＝質量比　　円錐：球：円柱＝１：２：３
よって円柱の変域は１≦ｘ≦３６
しかし，各積み木は最低１ヶずつはいっているのだから
円柱３６個を適応すると３×３６＝１０８となり，円錐，球のいずれかが入らなくな
る。
よって，円柱の最大値を３５とすると３×３５＝１０５となり，のこりは円錐５個分
となる。
球の数を２ヶとしてやると２×２＝４で，円錐は１ヶとなり，
円錐（１）＋球（２×２＝４）＋円柱（３×３５＝１０５）＝円錐１１０個分
∴積み木の総和は３８が最小となる。