今月の問題

　「今月の問題」　第３９回　（平成１４年１２月）

　左図のような、途中までの断面が全く同じ形をした容器があります。そして容器の容積の大きさは、２００cm^３であることも分かっています。
　この容器に、密度が１ｇ/cm^３の水を入れると、左図のように水の高さと容器を反対にした時の空気の高さは、１６cmと４cmになりました。

　この途中まで水を入れた容器全体の重さと（図A）、同じ容器にエタノールを一杯入れた重さ（図B）はちょうど同じになったということです。

ここで問題です。
エタノールの密度は、何g/cm^３になるでしょうか。

＜正解者一覧表＞　　　　　　　　　　　　

正解者順位　　　　ｎａｍｅ　　　　　メール到着日時　　　　備　考　　
　１ Nの悲劇　さん 2002/12/1　0:06 兵庫県
　２ N.Nishi　さん 2002/12/1　0:07 大阪府：中学教諭
　３ maruhagedon　さん 2002/12/1　0:10 　
　４ Banyanyan 2002/12/1　0:11 京都府
　５ mugi 2002/12/1　0:13 　
　６ mhayashi　さん 2002/12/1　0:29 大阪府
　７高田修成(修徳学院)　さん 2002/12/1　0:45 兵庫県
　８ miya 2002/12/1　0:46 　
　９トクジ　さん 2002/12/1　0:50 徳島県　家庭教師　
１０ Michael　さん 2002/12/1　1:00 　
１１信三　さん 2002/12/1　1:00 シリコンバレーの住人　
１２ teki　さん 2002/12/1　1:05 　
１３モルモット大臣　さん 2002/12/1　1:38 モルモット王国　
１４ yuki　さん 2002/12/1　1:55 奈良県　
１５巷の夢　さん 2002/12/1　8:59 宮城県出身　
１６有無相生　さん 2002/12/1　9:51 神奈川県、会社員
１７高橋　道広　さん 2002/12/1　10:53 北の隠れ家
１８ ISAMU　さん 2002/12/1　12:54 三重県　
１９なにわ　さん 2002/12/1　15:47 西宮市　
２０和久平八郎　さん 2002/12/1　17:11 　
２１グランパ　さん 2002/12/1　18:47 木綿子のグランパ　
２２スモークマン　さん 2002/12/1　21:25 　
２３かつひこ　さん 2002/12/1　23:27 兵庫関宮　
２４ ponta55555　さん 2002/12/1　23:30 兵庫　
２５経友会の進作　さん 2002/12/2　13:53 京都府木津町　６４歳
２６ MARORINE　さん 2002/12/3　3:35 福岡県在住某進学塾講師　
２７安楽　さん 2002/12/3　12:40 小林市　
２８ Non　さん 2002/12/3　22:30 　
２９ 15KARATSOUL　さん 2002/12/4　10:57 兵庫県民　
３０先生の教え子　さん 2002/12/4　20:01 兵庫県
３１ BEAN　さん 2002/12/4　23:50 　
３２フィリピンの鷹　さん 2002/12/7　0:10 フィリピン在住38歳　
３３理一郎坊ちゃん　さん 2002/12/8　9:59 山口市湯田小６年　
３４馬渕　雅志　さん 2002/12/8　21:38 大阪府　
３５ tsunotsuno　さん 2002/12/9　12:18 静岡県庵原郡富士川町　
３６ミミズクはくず耳　さん 2002/12/12　20:49 横浜市在住　
３７吉見の沢北　さん 2002/12/14　20:18 　
３８数が苦　さん 2002/12/16　15:39 福岡県（自営業）　
３９ふじさきたつみ　さん 2002/12/17　22:30 北海道　
４０ＢｏｓｓＦ　　さん 2002/12/18　17:43 　
４１ nobu　さん 2002/12/20　23:26 　
４２ソォ゛ト　澵　さん 2002/12/25　15:16 　
４３ kyoho　さん 2002/12/26　16:53 愛知県　大学生
４４寒いですね　さん 2002/12/27　23:27 兵庫上郡町　
４５ステップ　ばい　ステップ　さん 2002/12/29　5:55 かけだし算数ファン

答えは、０．８ｃｍ^３でした。

次のような素敵な解答を送っていただきました。
単純な問題であるので、解き方は基本的に同じだと思いますが、大変勉強になります。
また、皆さんの解答より、容器の容積の設定が必要のないことを知りました。

＜ステップ　ばい　ステップ　さんより＞
正立のときの空気は高さ４ｃｍの円柱の体積に
等しいので、容器全体の体積は高さ
（１６＋４）ｃｍ＝２０ｃｍ
の円柱の体積と等しくなります。
　同じ重さのとき密度は体積に反比例するので
１６÷２０＝０．８

＜kyoho　さんより＞
空気が入ってるところの体積は等しい。当然水の部分の体積も等しいの
で、水はこの容器の１６＋４分の１６すなわち０．８倍なので
水の体積＝１６０（ｃｍ）３乗
これより、エタノールの密度＝０．８ｇ/cm3

＜ＢｏｓｓＦ　さんより＞
水の重さをＷ[ｇ] 容器の円筒部分の底面積を S[ｃ㎡]とすると、
W=16S=200-4S
これより、W=160、S=10
よって求める密度 ρ=160/200=0.8[g/ｃ㎡]

＜ふじさきたつみ　さんより＞
容器の中に入っている水の体積と空気の体積の比
は４：１だから、水は２００×４/５＝１６０
だから、エタノールの密度は、１６０/２００＝０．８

＜理一郎坊ちゃん　さんより＞
円周率をＰ、底面の半径をｒ、と書くことにします。
ボトルの口側の体積は、４Ｐｒ＾２　よって、
ボトルの体積は、４Ｐｒ＾２＋１６Ｐｒ＾２＝２０Ｐｒ＾２
これが２００だから、Ｐｒ＾２＝１０
水の重さは、１６Ｐｒ＾２だから、エタノールの密度は、
１６Ｐｒ＾２／２００＝１６０／２００＝０．８

＜banyanyan　さんより＞
体積比
水：空き＝１６：４＝４：１
よって、
水の体積＝４
水の重さ＝４
エタノールの重さ＝４
エタノールの体積＝４＋１＝５
よって、密度は
４÷５＝０．８ｇ／ｃｍ３

＜15KARATSOUL　さんより＞
水の入った容器の方は，水の体積とあいてる部分の体積が
　１６：４＝４：１
ですから，水の体積は，
　２００×４／５＝１６０(cm^3)
です。従って，水の重さは１６０gです。エタノールの重さはこれに等
しいのですから，求める密度は，
　１６０÷２００＝０．８(g/cm^3)

＜Non　さんより＞
水の体積：空き部分の体積＝１６：４より、
水の体積：エタノールの体積＝１６：２０ですね。

＜MARORINE　さんより＞
容器の底面積をScm2とすると
　　　水の体積…16Scm3、瓶の空の部分の体積…4Scm3
　　　ここで、瓶全体の容積は200cm3だから
　　　16S＋4S＝200、S＝10cm3
　　　したがって、水の重さは、16×10＝160cm3
　　　よって、エタノールの密度は160÷200＝0.8g/cm3

＜かつひこ　さんより＞
容器の底面積をＸとすると
１６Ｘ　＝　２００－４Ｘ　という式が成り立ちます。
これを解くと　Ｘ＝１０　となり　水の質量が１６０ｇ　になります。
よってエタノールの密度＝１６０÷２００　で求まります。
ちなみに理科の教科書に載っているエタノールの密度は０．７９です。

＜スモークマン　さんより＞
200/(16+4)=10
16*10/200=0.8 （答え）0.8

＜和久平八郎　さんより＞
容器の底面積をS(c㎡)とすると
右の水の重さ=左の水の重さ　　より
16*S=200-(4*S)

⇒ S=10(c㎡)

∴ 水の重さは160ｇ

これより、エタノールの密度は
160/200=4/5 (ｇ/cm3)

＜高橋　道広　さんより＞
16cmになった容器の上の部分を4cmの空間のある部分と交換する
と　20cmの円柱の容器となる。
これに水とエタノールを入れたとして
16/20=0.8

＜有無相生　さんより＞
容器の円筒部分の断面積をSとすると、水の体積は16S=200-4Sとなり、
S=10　あとは、1*160＝（エタノールの密度）*200

＜ｙｕｋｉ　さんより＞
容器の円柱部分の底面積をＳとすると、
16Ｓ＝200－4Ｓ　∴Ｓ＝10
よって、水の体積(＝質量)は16×10＝160
ゆえに、エタノールの密度は160÷200＝0.8ｇ/cm^3

＜トクジ　さんより＞
温度２０℃と仮定する。
空気の密度＝０．００１２０５（ｇ／ｃｍ＾３）
水の密度＝１（ｇ／ｃｍ＾３）
容器の底面に関する情報がないため，半径をｒとした円とする。
底面積＝ｒ＾２π（ｃｍ＾２）
水の体積は１６πｒ＾２となり，
空気の体積は，４πｒ＾２。
空気の入っている体積は，ひっくりかえしても同じことから，
容器の体積＝１６πｒ＾２＋４πｒ＾２＝２０πｒ＾２（ｃｍ＾３）＝２００（ｃｍ
＾３）

∴水の質量＝１６πｒ＾２（ｃｍ＾２）×１（ｇ／ｃｍ＾３）＝１６πｒ＾２（ｇ）
∴空気の質量＝４πｒ＾２（ｃｍ＾２）×０．００１２０５（ｇ／ｃｍ＾３）＝０．
００４８２πｒ＾２（ｇ）

水と空気の重さの和＝１６＋０．００１２５＝１６．００４８２πｒ＾２（ｇ）

エタノールの質量は水の入っている容器と同じなので，
エタノールの密度＝１６．００４８２πｒ＾２（ｇ）／２０πｒ＾２（ｃｍ＾３）＝
０．８００２４１（ｇ／ｃｍ＾３）

正解者順位	ｎａｍｅ	メール到着日時	備　考
１	Nの悲劇　さん	2002/12/1　0:06	兵庫県
２	N.Nishi　さん	2002/12/1　0:07	大阪府：中学教諭
３	maruhagedon　さん	2002/12/1　0:10
４	Banyanyan	2002/12/1　0:11	京都府
５	mugi	2002/12/1　0:13
６	mhayashi　さん	2002/12/1　0:29	大阪府
７	高田修成(修徳学院)　さん	2002/12/1　0:45	兵庫県
８	miya	2002/12/1　0:46
９	トクジ　さん	2002/12/1　0:50	徳島県　家庭教師
１０	Michael　さん	2002/12/1　1:00
１１	信三　さん	2002/12/1　1:00	シリコンバレーの住人
１２	teki　さん	2002/12/1　1:05
１３	モルモット大臣　さん	2002/12/1　1:38	モルモット王国
１４	yuki　さん	2002/12/1　1:55	奈良県
１５	巷の夢　さん	2002/12/1　8:59	宮城県出身
１６	有無相生　さん	2002/12/1　9:51	神奈川県、会社員
１７	高橋　道広　さん	2002/12/1　10:53	北の隠れ家
１８	ISAMU　さん	2002/12/1　12:54	三重県
１９	なにわ　さん	2002/12/1　15:47	西宮市
２０	和久平八郎　さん	2002/12/1　17:11
２１	グランパ　さん	2002/12/1　18:47	木綿子のグランパ
２２	スモークマン　さん	2002/12/1　21:25
２３	かつひこ　さん	2002/12/1　23:27	兵庫関宮
２４	ponta55555　さん	2002/12/1　23:30	兵庫
２５	経友会の進作　さん	2002/12/2　13:53	京都府木津町　６４歳
２６	MARORINE　さん	2002/12/3　3:35	福岡県在住某進学塾講師
２７	安楽　さん	2002/12/3　12:40	小林市
２８	Non　さん	2002/12/3　22:30
２９	15KARATSOUL　さん	2002/12/4　10:57	兵庫県民
３０	先生の教え子　さん	2002/12/4　20:01	兵庫県
３１	BEAN　さん	2002/12/4　23:50
３２	フィリピンの鷹　さん	2002/12/7　0:10	フィリピン在住38歳
３３	理一郎坊ちゃん　さん	2002/12/8　9:59	山口市湯田小６年
３４	馬渕　雅志　さん	2002/12/8　21:38	大阪府
３５	tsunotsuno　さん	2002/12/9　12:18	静岡県庵原郡富士川町
３６	ミミズクはくず耳　さん	2002/12/12　20:49	横浜市在住
３７	吉見の沢北　さん	2002/12/14　20:18
３８	数が苦　さん	2002/12/16　15:39	福岡県（自営業）
３９	ふじさきたつみ　さん	2002/12/17　22:30	北海道
４０	ＢｏｓｓＦ　　さん	2002/12/18　17:43
４１	nobu　さん	2002/12/20　23:26
４２	ソォ゛ト　澵　さん	2002/12/25　15:16
４３	kyoho　さん	2002/12/26　16:53	愛知県　大学生
４４	寒いですね　さん	2002/12/27　23:27	兵庫上郡町
４５	ステップ　ばい　ステップ　さん	2002/12/29　5:55	かけだし算数ファン