「今月の問題」 第39回 (平成14年12月)

 

 左図のような、途中までの断面が全く同じ形をした容器があります。そして容器の容積の大きさは、200cmであることも分かっています。
 この容器に、密度が1g/cmの水を入れると、左図のように水の高さと容器を反対にした時の空気の高さは、16cmと4cmになりました。

 この途中まで水を入れた容器全体の重さと(図A)、同じ容器にエタノールを一杯入れた重さ(図B)はちょうど同じになったということです。


  ここで問題です。
エタノールの密度は、何g/cmになるでしょうか

 


<正解者一覧表>             
正解者順位     name      メール到着日時     備 考  
 1Nの悲劇 さん2002/12/1 0:06兵庫県
 2N.Nishi さん2002/12/1 0:07大阪府:中学教諭
 3 maruhagedon さん2002/12/1 0:10 
 4Banyanyan2002/12/1 0:11京都府
 5mugi2002/12/1 0:13 
 6 mhayashi さん2002/12/1 0:29大阪府
 7 高田修成(修徳学院) さん2002/12/1 0:45兵庫県
 8miya2002/12/1 0:46 
 9トクジ さん2002/12/1 0:50徳島県 家庭教師 
10Michael さん2002/12/1 1:00 
11信三 さん2002/12/1 1:00シリコンバレーの住人 
12teki さん2002/12/1 1:05 
13モルモット大臣 さん2002/12/1 1:38モルモット王国 
14yuki さん2002/12/1 1:55奈良県 
15巷の夢 さん2002/12/1 8:59宮城県出身 
16 有無相生 さん2002/12/1 9:51神奈川県、会社員
17 高橋 道広 さん2002/12/1 10:53北の隠れ家
18ISAMU さん2002/12/1 12:54三重県 
19なにわ さん2002/12/1 15:47西宮市 
20和久 平八郎 さん2002/12/1 17:11 
21グランパ さん2002/12/1 18:47木綿子のグランパ 
22スモークマン さん2002/12/1 21:25 
23かつひこ さん2002/12/1 23:27兵庫関宮 
24ponta55555 さん2002/12/1 23:30兵庫 
25経友会の進作 さん2002/12/2 13:53京都府木津町 64歳
26MARORINE さん2002/12/3 3:35福岡県在住某進学塾講師 
27安楽 さん2002/12/3 12:40小林市 
28Non さん2002/12/3 22:30 
2915KARATSOUL さん2002/12/4 10:57兵庫県民 
30 先生の教え子 さん2002/12/4 20:01兵庫県
31BEAN さん2002/12/4 23:50 
32フィリピンの鷹 さん2002/12/7 0:10フィリピン在住38歳 
33理一郎坊ちゃん さん2002/12/8 9:59山口市湯田小6年 
34馬渕 雅志 さん2002/12/8 21:38大阪府 
35tsunotsuno さん2002/12/9 12:18静岡県庵原郡富士川町 
36ミミズクはくず耳 さん2002/12/12 20:49横浜市在住 
37吉見の沢北 さん2002/12/14 20:18 
38数が苦 さん2002/12/16 15:39福岡県(自営業) 
39ふじさきたつみ さん2002/12/17 22:30北海道 
40BossF  さん2002/12/18 17:43 
41nobu さん2002/12/20 23:26 
42ソォ゛ト L さん2002/12/25 15:16 
43kyoho さん2002/12/26 16:53愛知県 大学生
44寒いですね さん2002/12/27 23:27兵庫上郡町 
45ステップ ばい ステップ さん2002/12/29 5:55かけだし算数ファン


答えは、0.8cmでした。

次のような素敵な解答を送っていただきました。
単純な問題であるので、解き方は基本的に同じだと思いますが、大変勉強になります。
また、皆さんの解答より、容器の容積の設定が必要のないことを知りました。



<ステップ ばい ステップ さんより>
正立のときの空気は高さ4cmの円柱の体積に
等しいので、容器全体の体積は高さ
(16+4)cm=20cm
の円柱の体積と等しくなります。
 同じ重さのとき密度は体積に反比例するので
16÷20=0.8


<kyoho さんより>
空気が入ってるところの体積は等しい。当然水の部分の体積も等しいの
で、水はこの容器の16+4分の16すなわち0.8倍なので
水の体積=160(cm)3乗
これより、エタノールの密度=0.8g/cm3


<BossF さんより>
水の重さを W[g] 容器の円筒部分の底面積を S[cu]とすると、
W=16S=200-4S
これより、W=160、S=10
よって求める密度 ρ=160/200=0.8[g/cu]


<ふじさきたつみ さんより>
容器の中に入っている水の体積と空気の体積の比
は4:1だから、水は200×4/5=160
だから、エタノールの密度は、160/200=0.8


<理一郎坊ちゃん さんより>
円周率をP、底面の半径をr、と書くことにします。
ボトルの口側の体積は、4Pr^2 よって、
ボトルの体積は、4Pr^2+16Pr^2=20Pr^2
これが200だから、Pr^2=10
水の重さは、16Pr^2だから、エタノールの密度は、
16Pr^2/200=160/200=0.8


<banyanyan さんより>
体積比
水:空き=16:4=4:1
よって、
水の体積=4
水の重さ=4
エタノールの重さ=4
エタノールの体積=4+1=5
よって、密度は
4÷5=0.8g/cm3


<15KARATSOUL さんより>
水の入った容器の方は,水の体積とあいてる部分の体積が
 16:4=4:1
ですから,水の体積は,
 200×4/5=160(cm^3)
です。従って,水の重さは160gです。エタノールの重さはこれに等
しいのですから,求める密度は,
 160÷200=0.8(g/cm^3)


<Non さんより>
水の体積:空き部分の体積=16:4より、
水の体積:エタノールの体積=16:20ですね。


<MARORINE さんより>
容器の底面積をScm2とすると
   水の体積…16Scm3、瓶の空の部分の体積…4Scm3
   ここで、瓶全体の容積は200cm3だから
   16S+4S=200、S=10cm3
   したがって、水の重さは、16×10=160cm3
   よって、エタノールの密度は160÷200=0.8g/cm3


<かつひこ さんより>
容器の底面積をXとすると
16X = 200−4X という式が成り立ちます。
これを解くと X=10 となり 水の質量が160g になります。
よってエタノールの密度=160÷200 で求まります。
ちなみに理科の教科書に載っているエタノールの密度は0.79です。


<スモークマン さんより>
200/(16+4)=10
16*10/200=0.8 (答え)0.8


<和久 平八郎 さんより>
容器の底面積をS(cu)とすると
右の水の重さ=左の水の重さ  より
  16*S=200-(4*S)

⇒ S=10(cu)

∴ 水の重さは160g

これより、エタノールの密度は
  160/200=4/5 (g/cm3) 


<高橋 道広 さんより>
16cmになった容器の上の部分を4cmの空間のある部分と交換する
と 20cmの円柱の容器となる。
これに水とエタノールを入れたとして
16/20=0.8


<有無相生 さんより>
容器の円筒部分の断面積をSとすると、水の体積は16S=200-4Sとなり、
S=10 あとは、1*160=(エタノールの密度)*200


<yuki さんより>
容器の円柱部分の底面積をSとすると、
16S=200−4S ∴S=10
よって、水の体積(=質量)は16×10=160
ゆえに、エタノールの密度は160÷200=0.8g/cm^3


トクジ さんより>
温度20℃と仮定する。
空気の密度=0.001205(g/cm^3)
水の密度=1(g/cm^3)
容器の底面に関する情報がないため,半径をrとした円とする。
底面積=r^2π(cm^2)
水の体積は16πr^2となり,
空気の体積は,4πr^2。
空気の入っている体積は,ひっくりかえしても同じことから,
容器の体積=16πr^2+4πr^2=20πr^2(cm^3)=200(cm
^3)

∴水の質量=16πr^2(cm^2)×1(g/cm^3)=16πr^2(g)
∴空気の質量=4πr^2(cm^2)×0.001205(g/cm^3)=0.
00482πr^2(g)

水と空気の重さの和=16+0.00125=16.00482πr^2(g)

エタノールの質量は水の入っている容器と同じなので,
エタノールの密度=16.00482πr^2(g)/20πr^2(cm^3)=
0.800241(g/cm^3)