上図のように、１、２、３、６、□、９、□、□、１８・・・となります。
この時、ある自然数ｎは、３通りの場合が考えられるそうです。
ここで問題です。
考えられる３つの自然数ｎの和はいくらになるでしょうか。
（※皆さんの回答より、ミスや不適切な文章表記があったため、上記のように問題を変更させてもらいました。１月６日。）
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ある自然数ｎがあります。ただし、その自然数は３０００以下と限定します。その正の約数を小さいほうから並べると、 上図のように、１、２、３、６、□、９、□、□、１８・・・となります。 この時、ある自然数ｎは、３通りの場合が考えられるそうです。 ここで問題です。 考えられる３つの自然数ｎの和はいくらになるでしょうか。 （※皆さんの回答より、ミスや不適切な文章表記があったため、上記のように問題を変更させてもらいました。１月６日。） |
＜正解者一覧表＞
| 正解者順位 | ｎａｍｅ | メール到着日時 | 備 考 |
| １ | Banyanyan さん | 2003/1/1 1:16 | 京都府 |
| ２ | たかまつ ろろ さん | 2003/1/1 1:17 | 神奈川県 |
| ３ | 高田修成(修徳学院) さん | 2003/1/1 1:37 | 兵庫県 |
| ４ | N.Nishi さん | 2003/1/1 1:50 | 大阪府：中学教諭 |
| ５ | 信三 さん | 2003/1/1 1:58 | アメリカ；シリコンバレー |
| ６ | Nの悲劇 さん | 2003/1/1 2:16 | 兵庫県 |
| ７ | miya さん | 2003/1/1 5:26 | 熊本県 |
| ８ | Michael さん | 2003/1/1 8:24 | |
| ９ | teki さん | 2003/1/1 10:21 | |
| １０ | あああああ さん | 2003/1/1 10:45 | |
| １１ | 理一郎坊ちゃん さん | 2003/1/1 14:48 | 山口市湯田小６年 |
| １２ | 有無相生 さん | 2003/1/1 17:26 | 神奈川県、会社員 |
| １３ | 呑 さん | 2003/1/1 22:31 | 今年もよろしく！ |
| １４ | モルモット大臣 さん | 2003/1/1 22:59 | モルモット王国 |
| １５ | ステップ ばい ステップ さん | 2003/1/2 10:32 | かけだし算数ファン |
| １６ | なにわ さん | 2003/1/3 0:07 | 西宮市 |
| １７ | かつひこ さん | 2003/1/3 20:24 | 兵庫関宮 |
| １８ | 勝浦捨てる造 さん | 2003/1/5 4:36 | |
| １９ | 浜田明巳 さん | 2003/1/6 14:55 | |
| ２０ | スモークマン さん | 2003/1/6 21:06 | Ｊｙ算 |
| ２１ | Non さん | 2003/1/6 21:18 | |
| ２２ | mhayashi さん | 2003/1/7 1:17 | 大阪府 |
| ２３ | 生駒の大塚 さん | 2003/1/7 10:13 | 奈良県生駒市在住、建設コンサルタント |
| ２４ | BONZ さん | 2003/1/7 13:24 | 会社＠西宮 |
| ２５ | ふじさきたつみ さん | 2003/1/7 20:36 | 北海道 |
| ２６ | 清川 育男 さん | 2003/1/7 23:51 | 広島市 |
| ２７ | 安楽 さん | 2003/1/8 8:47 | |
| ２８ | ミミズクはくず耳 さん | 2003/1/8 12:18 | 横浜市 |
| ２９ | 巷の夢 さん | 2003/1/8 20:26 | 宮城県 |
| ３０ | nobu さん | 2003/1/8 23:44 | |
| ３１ | 経友会の進作 さん | 2003/1/9 13:01 | 京都府木津町 ６４歳 |
| ３２ | フィリピンの鷹 さん | 2003/1/9 18:19 | フィリピン在住38歳 |
| ３３ | 高橋 道広 さん | 2003/1/9 21:13 | 北の隠れ家 |
| ３４ | とも さん | 2003/1/26 21:59 | 東京都の会社員 |
| ３５ | 小金井のチンジャラ さん | 2003/1/29 2:31 | |
| ３６ | MARORINE さん | 2003/1/30 21:30 | 福岡県在住、某進学塾講師 |
答えは５１６６でした。
以下のような回答を頂きました。ありがとうございました。
＜Banyanyan さんより＞
「考えられる３つの数字の和はいくらになるでしょうか。」の
「３つの数字の和」というのは、Ａ＋Ｂ＋Ｃのことでしょうか。
それだと、
７＋１４＋１１＝３２
７＋１４＋１３＝３４
７＋１４＋１７＝３８
の３種類が考えられますね。
ある自然数をＸとすると、
１，２，３，６，Ａ，９，Ｂ，Ｃ，１８，・・・
１，２，３，６，９，１８は，１８の約数であるから，
Ｘは１８の倍数である。
ところが、Ｘの約数に４がないので、Ａは８ではありえない。
よって、Ａ＝７より、Ｘは７の倍数
Ａが７のとき、ＢまたはＣが２×７＝１４になる。
Ｘの約数に４，５が含まれないことから、
Ｂ，Ｃは、１０，１２，１５，１６ではありえない。
よって、
（Ｂ，Ｃ）＝（１１，１４），（１３，１４），（１４，１７）
の３組が考えられる。
よって、
１８×７×１１
１８×７×１３
１８×７×１７
１８×７×（１１＋１３＋１７）＝５１６６
ただし、これだと２は素因数の中に１個しか存在しえないが、
３，７，１１，１３，１７は何個あってもよいから、
３通りではなくなります。
と問題の欠陥を指摘して頂きました。
＜N.Nishi さんより＞
３通りというのを
@謹＝７、賀＝11、新＝14 最小1386
A謹＝７、賀＝13、新＝14 最小1638
B謹＝７、賀＝14、新＝17 最小2142
と考えたのですが、
求めるある自然数というのは素因数分解すると「２」は１つですが
「３」、「７」・・・ が１つとは断定できないのでは？
と問題の欠陥を指摘して頂きました。
＜miya さんより＞
６と９の間の素数の７、９と１８の間の素数１１，１３，１７で考えら
れる数、２×３×３×７×１１，２×３×３×７×１３，
２×３×３×７×１７の３つが該当します。この３つの和は
１３８６＋１６３８＋２１４２＝５１６６
最初の問題だとその後に１９、２３・・・の素数をかけると無数に出て
きますね。
と問題の欠陥を指摘して頂きました。
＜ｔｅｋｉ さんより＞
謹に入る数字は、７か８が考えられますが、約数に４がないので、８は
該当しません。
従って、謹＝７。
よって、賀または新には必ず１４が入ります。
これらから、考えられる数字の組合せは、
（謹、賀、新）＝（７、１１、１４） （７、１３、１４） （７、１４、１７）
の３通りとなります。
よって、考えられる数は、小さいほうから順に、 ２×７×９×１１＝１３８６
２×７×９×１３＝１６３８ ２×７×９×１７＝２１４２
＜理一郎坊ちゃん さんより＞
具体的になっている数の素因子に注目すると、ある自然数は、
２＊３＾ｋ（ｋは２以上）を因数に持つことが必要。
謹は、７または８であるが、８＝２＾３で条件に合わない。
よって、謹は７となる。賀、新はともに１０以上１７以下で、
ある自然数が７を素因子に持つことから、どちらかが１４．
残りは、１１，１３，１７のいずれか。小さい方三数の和だから
２＊３＾２＊７＊（１１＋１３＋１７）＝５１６６
ｋの値が大きくなると、３＾ｋと３＾（ｋ＋１）に相当の自然数
を含むことになるので、三通りで済まなくなるのでしょう。
と問題の欠陥を指摘して頂きました。
＜ステップ ばい ステップ さんより＞
約数が１，２，３，６，９，１８、・・・なので、
条件を満たす自然数は
２×３×３×・・・
と因数分解されます。
６と８の間の□は７か８です。４は約数では
ないので８（＝４×２）は不適。７に決まりま
す。したがって９と１８の間の□のうちの一
つは１４（２×７）です。４と５は約数ではな
いので１０（＝５×２）、１２（＝４×３）、１５
（＝５×３）、１６（＝４×４）は不適。よって
残りの□は１１，１３，１７のどれかです。
以上より条件を満たす自然数のうち、小さい
順に３つ選ぶと
２×３×３×７×ｋ（ｋ＝１１、１３，１７）
となります。従って求める答えは
２×３×３×７×（１１＋１３＋１７）＝５１６６
です。
（補足）
条件を満たす自然数は
２×（３を２つ以上）×（７を１つ以上）×（１１、
１３，１７のうちの１つだけを１つ以上）×（１９
以上の素数を０個以上ずつ何個でも）
となります。
＜浜田 さんより＞
条件からこの自然数ｎは４，５の倍数ではない．
謹＝７，８であり，謹は４の倍数ではないので，
謹＝７
１０≦賀＜新≦１７であり，賀，新は４，５の倍数ではなく，どちらかが２，７の公倍数の１４に等しいので，
(賀，新)＝(１１，１４)，(１３，１４)，(１４，１７)
ｎ＞１８であれば，１８より大きい約数が存在する事が明らか．
故にｎの小さい方から３つの数の値は，
２×３^2×７×１１＝１３８６
２×３^2×７×１３＝１６３８
２×３^2×７×１７＝２１４２
である．
故に和は，５１６６である．
またエクセルで答を求めるマクロを作ってみた．これは条件を満たす数を小さい方から１０個求めるものである．
Option Explicit
Sub Macro1()
Sheets("Sheet1").Select
Range("A1").Select
Dim owari As Integer
Dim deta As Integer
Dim n As Long
Dim r As Integer
Dim k As Integer
Dim j As Integer
deta = 0
n = 18
While deta < 10
n = n + 1
owari = 0
j = 1
While owari = 0 And j <= 18
r = n Mod j
Select Case j
Case 1, 2, 3
owari = -(r
> 0)
Case 4, 5
owari = -(r =
0)
Case 6
owari = -(r
> 0)
Case 7
k = -(r = 0)
Case 8
k = k - (r =
0)
owari = -(k
<> 1)
Case 9
owari = -(r
> 0)
Case 10
k = -(r = 0)
Case 11, 12, 13, 14, 15,
16
k = k - (r =
0)
owari = -(k
> 2)
Case 17
k = k - (r =
0)
owari = -(k
<> 2)
Case Else
owari = -(r
> 0)
End Select
j = j + (1 - owari)
Wend
If owari = 0 Then
deta = deta + 1
Cells(deta, 1).Value = n
If deta < 3 Then
Range("A" &
deta).Select
End If
If deta = 3 Then
Cells(3, 2).Value =
"=SUM(A1:A3)"
Range("B3").Select
End If
End If
Wend
End Sub
＜mhayashiさんより＞
４が約数に入っていないので８，１２，１６，・・・も約数でない．
５が約数に入っていないので１０，１５，・・・も約数でない．
よって５番目は７となる．
また２と７が約数に入っているので７番目か８番目のどちらかは１４で，
他方は１１，１３，１７のいずれかとなる．
よって７番目，８番目は（１１，１４）（１３，１４）（１４，１７）の組が考えら
れる．
（１１，１４）の場合．２×３＾２×７×１１＝１３８６
（１３，１４）の場合．２×３＾２×７×１３＝１６３８
（１４，１７）の場合．２×３＾２×７×１７＝２１４２
これらはいずれも３０００以下となり題意を満たす．
よってこれらの和は５１６６となる．
＜生駒の大塚さんより＞
1,2,3,6,a,9,ｂ,ｃ,18,,,
aは、7か8
4がないことから、8はない a=7
b,cは、10,11,12,13,14,15,16,17のうち2つ
aが7なので、14は必ずある
4がないことから、12,16はない
5がないことから、10,15はない
よって、b,cは、14と11,13,17のうち1つa,b,cの解は、3ケースある
@ 7,11,14
A 7,13,14
B 7,14,17
ある自然数nは、
@の場合、n=1*2*3*7*3*11=1386
Aの場合、n=1*2*3*7*3*13=1638
Bの場合、n=1*2*3*7*3*17=2142
となり、
答えは、1386+1638+2142=5166
＜BONZ さんより＞
小さい順に、
n1=2x3x3x7x11
n2=2x3x3x7x13
n3=2x3x3x7x17
で、
n1+n2+n3=2x3x3x7x(11+13+17)=126x41=5166
＜ふじさきたつみ さん＞
１，２，３，６．７，９，１１，１４，１８・・・で
２＊７＊１１＊９＝１３８６
１，２，３，６，７，９，１３，１４，１８・・・で
２＊７＊１３＊９＝１６３８
１，２，３，６，７，９，１４，１７，１８・・・で
２＊７＊１７＊９＝２１４２
だから、１３８６＋１６３８＋２１４２＝５１６６
＜ミミズクはくず耳 さんより＞
4がないから8はない→7が入る→2があるので、14も入る。
→残りの１つは、4,5と素なので、10〜18の中で、11, 13, 17が残る。
したがって、18×7×(11+13+17) = 5166
＜高橋 道広 さんより＞
4が約数にないから8は約数ではない。だから最初の四角に入る数は7
2と7が約数だから 14は必ず約数。すると二つの四角に入る
残りの数は10,11,12,13,15,16,17のうちのひとつ。
このうち5が約数ではないから10,15は約数にはならない
4が約数ではないから12,16は約数にはならない
のこりは11,13,17でどれも該当しそうです。3000以下を確認します。
このとき2×9×7×11=1386 2×9×7×11×3=4158は不可なので1386
2×9×7×13=1638 上のことからこの数のみ
2×9×7×17=2142 上のことからこの数のみ
よって1386+1638+2143=5166
ということですね。
＜MARORINE さんより＞
６と９の間に入る自然数は７（８を入れると４も約数になるから
不適）。９と１８の間に入る２つの自然数は、１１と１４、または１３
と１４、または１４と１７（約数に２と７があることより、１４は必ず
約数となり、残りの自然数は素数となる）。したがって、１×２×３×
３×７×１１＝１３８６、１×２×３×３×７×１３＝１６３８、１×
２×３×３×７×１７＝２１４２より、１３８６＋１６３８＋２１４２
＝５１６６である。
＜とも さんより＞
(1)6と9の間が8ならば約数には4があるはずであり矛盾。よって6と9の
間は7。
(2)同様に考えると、9と18の間は11,13,17と14(＝2×7)。
・10＝2×5だが5は約数にない。15＝3×5も同様。
・12＝2×2×3だが4は約数にない。16＝2×2×2×2も同様。
以上から、ｎの和は2×3×3×7×(11＋13＋17)＝5,166