今月の問題」 第42回 (平成15年3月)

 上図のように、斜辺ACと底辺BCの辺の比が2:1の直角三角形ABCと正三角形CDEが並んでいます。
 このとき、ABとBEの長さが8cmと12cmになりました。

 ここで問題です。
 △ABCと△ACDの面積の和は何cmになるでしょうか。


<正解者一覧表>             
正解者順位     name      メール到着日時     備 考  
 1 高田修成(修徳学院) さん2003/3/1 0:05兵庫県
 2小金井のチンジャラ さん2003/3/1 0:08東京都 
 3たかまつ ろろ さん2003/3/1 0:35神奈川県 
 4モルモット大臣 さん2003/3/1 3:10モルモット王国 
 5Banyanyan さん2003/3/1 3:16京都府 
 6信三 さん2003/3/1 4:09シリコンバレーの住人
 7teki さん2003/3/1 9:00
 8経友会の進作 さん2003/3/1 9:01京都府木津町 64歳
 9nobu さん2003/3/1 9:53石川県
10安楽克嘉 さん2003/3/1 12:01宮崎県
11巷の夢 さん2003/3/1 12:08宮城県出身
12ISAMU さん2003/3/1 13:16三重県
13miya さん2003/3/1 14:33熊本県
14たがせん さん2003/3/1 16:46東京都
15 有無相生 さん2003/3/1 17:02神奈川県、会社員
16ふじさきたつみ さん2003/3/1 18:12北海道
17なにわ さん2003/3/1 18:45西宮市
18 かつひこ さん2003/3/1 22:58兵庫八鹿
19N.Nishi さん2003/3/1 23:28大阪府:中学教諭
20Nの悲劇 さん2003/3/2 1:04 兵庫県
21 先生の教え子 さん2003/3/2 13:07兵庫竹野
22清川 育男 さん2003/3/2 13:31広島市
23Michael さん2003/3/2 16:01 
24br8ker さん2003/3/3 0:04東京受験生私大合格
25高木尊麿 さん2003/3/3 2:36福岡県在住、某進学塾講師
26スモークマン さん2003/3/4 9:55算数好きJy
27Non さん2003/3/4 10:04
28 BONZ さん2003/3/4 17:02会社@西宮
29ステップ ばい ステップ さん2003/3/4 21:43かけだし算数ファン
30ミミズクはくず耳 さん2003/3/5 19:25横浜市在住
31理一郎坊ちゃん さん2003/3/5 20:45山口市湯田小6年
32 呑 さん2003/3/6 17:02いつも酔っぱらい
33フィリピンの鷹 さん2003/3/6 15:49フィリピン在住
34 高橋 道広 さん2003/3/6 16:31北の隠れ家
35おーちゃん さん2003/3/7 5:21群馬県
36kyoho さん2003/3/7 15:38愛知県 大学生
37土居 千珠 さん2003/3/8 12:37愛媛県、もうすぐピカピカの中学生 
38午年のうりぼう さん2003/3/8 21:49福島県 
39浜田 明巳 さん2003/3/10 11:01 
40 「浮浪の館」館長 さん2003/3/13 15:55岩手県
41miyuki さん2003/3/13 19:45新潟県 教員 女 
42ユウカリ さん2003/3/14 0:08福井県敦賀市 暇な主婦
43yuki さん2003/3/14 13:59奈良県 
44LIA さん2003/3/17 22:09大阪人(^^) 
45阿久根 さん2003/3/18 22:08名瀬市
46名前なし さん2003/3/21 0:01連絡下さい 
47勝浦捨てる造 さん2003/3/21 21:51今夜は酔っ払い
48 なか さん2003/3/25 23:24北海道
49isami さん2003/3/26 0:14高知県
50kasama さん2003/3/26 22:48 


答えは48cmでした。
次のような素敵な回答を頂きました。

<Banyanyan さん>
AC:CB=2:1より、∠ACB=60°
よって、AC//DEだから、
△ACD=△ACE
△ABC+△ACD=△ABC+△ACE
=△ABE
=12×8÷2
=48cm2

teki さん>
三角形ABCは、正三角形の半分の三角形ですので角ACBは60度です。
従って角ACDも60度(180-60-60)となり、ACを折り目として折り返せば、点DはBC上にくることがわかります。
従って、2つの三角形の高さは等しく、8cmとなります。
底辺の合計が12cmですので、面積の合計は、
12×8÷2=48cm2 です。

<ふじさきたつみ さん>
AC:BC=2:1から∠ACB=60度、∠AEC=60だから
AC平行DEなので、△ACD=△ACE  だから、求める面積の和
は、△ABE=48
<ふじかわ さん>
BC:AC=1:2より∠ABC=60°
また△CDEは正三角形なので∠CDE=60°
よって∠ACD=60°になる。
またACは共通のため辺CDを底辺としたとき△ACDの高さは8cmになる。
よって△ABC+△ACD=8×12÷2=48
<高木尊麿 さん>
△ABCは1:2:ルート3の直角三角形であるから、
∠ACB=60°。また、△CDEは正三角形であるから、
∠DEC=60°。よって、∠ACB=∠DECとなり、同位角が
等しいから、AC//DE。ここで、2点A,Eを結び、辺CDと
の交点をFとすると、等積変形により、△AFD=△CFE。 
よって、△ABC+△ACD=△ABC+△AFC+△AFD 
    =△ABC+△AFC+△CFE=△ABEとなる。     
   したがって、求める面積は、BE×BA÷2=12×8÷2=48cm2
<清川 育男 さん>
長方形ABEFを考える。EDの延長線とAFとの交点をGとする。
3角形ABC==3角形EFG
四角形ACEGは平行四辺形。
3角形DACは平行四辺形ACEGの半分。
したがって、求める図形の面積は長方形ABEFの半分。
8×12÷2=48
<ステップ ばい ステップ さん>
 AC:BC=2:1より
直角三角形ABCはACを1辺とする正三角形の半分になる。よって
∠ACB=60°
∠DEC=60°なので
AC//DE
平行線による等積移動により
△ACD=△ACE
したがって
△ABC+△ACD=△ABC+△ACE
           =△ABE
           =12×8÷2
           =48(cm^2)
                 
                 (答え) 48cm^2
 
<ミミズクはくず耳 さん>
△ABCは正三角形の半分の三角定規型なので、∠ACBは60度。
∠DCEも60度なので、∠ACDも60度。したがって、
△ACDをCを中心に右に60度回転させた△A'CD'は△A'CEと重なる。
△ACA'が正三角形になるので、△A'CEのCEを底辺とした高さ
(A'からCEに降ろした垂線の長さ)はABと同じ8cm。
したがって、△ABC+△ACD = △ABC+△A'CE は
AEを対角線とする長方形ABEFの半分 = 8×12÷2 = 48
<理一郎坊ちゃん さん>
角ACB=60度。CDの延長上にFをとり、三角形ACFを
正三角形になるようにすると、AFとBCは平行。
BC=xとすると、8^2+x^2=(2x)^2だから、
xは具体的数値(x=8/Sqrt3)。よって、三角形ACF
も求まる。
三角形ACD:三角形ADF=AD:DF
             =12−x:3x−12
<フィリピンの鷹 さん>
辺BCの長さをaとすると
△ABCをACにそって折り返してできる四角形ABCB'の面積は
4ax2
△ADB'の面積は△ABCx(DB'/CB')
4ax(2a−12)/a
四角形ABCDの面積は 四角形ABCB' − △ADB'
4ax2−4ax(2a−12)/a
=48
<kyoho さん>
僊BCの関係より、BC=8/√3、∠ACB=60°。これより、∠ACB=∠
DECなので、AC//DE。
以上より、僊CEの面積と僊CDの面積は等しい。よって、求める面積は
僊BEの面積に等しいから、8×12÷2=48cm^2
<土居 千珠 さん>
 ∠ACB=∠DEC=60度、よってACとDEは平行。従って△ADCと△AECは
底辺ACが共通で高さの等しい三角形であるからその面積は等し
い。よって△ABC+△ACD=△ABC+△AEC=△ABE=8×12÷2=48
<午年のうりぼう さん>
△ABC=32√3/3(cm^2)、
△ACD= 1/2 × (12−8√3/3) × 16√3/3
    × sin60°
    =4(12−8√3/3)(cm^2)
∴ △ABC+△ACD=48(cm^2) …(答) 
<浜田明巳 さん>
VBscriptで作りました.答は48cm2です.
 何の工夫もないつまらないスクリプトです.
'0303.vbs
AB=8
BE=12
'sqr(3)*BC=AB
BC=AB/sqr(3)
CE=BE-BC
'H:CEの中点
DH=sqr(3)*.5*CE
CH=CE*.5
BH=BC+CH
'和=△ABC+△ACD=台形ABHD-△DCH
wa=.5*(AB+DH)*BH-.5*CH*DH
msgbox "和="&wa&"cm2", vbinformation, "今月の問題 第42回(平成15年3月)"
<LIA さん>
この前の、図を見て間違えていること気づきました(^^;)
取り敢えず、
CEに向かって頂点Dから垂線を引いて交点をPとして、
△ABC+△ACD=□ABPD−△CDE/2

□ABPD≒59.8cm2
△CDE≒23.6cm2

代入〜
□ABPD−△CDE/2=59.8−23.6/2
            =48.0
よって、 △ABC+△ACD=48.0cm2
<kasama さん>  - 2003/03/26 23:10 - 
点Dから辺CDに垂直に下ろした点をD'として、台形ABD'Dの面積から正三角形CDEの面積の半分を引いて求めました。 
台形ABD'Dの面積=2(31√3+36)/3 
三角形CDEの面積=(124√3-144)/3 
求める面積=2(31√3+36)/3 - (124√3-144)/3×1/2=48
 

 

 

<なか さん>
次のようない図で示していただきました。