今月の問題」　第４２回　（平成１５年３月）

　上図のように、斜辺ＡＣと底辺BCの辺の比が２：１の直角三角形ABCと正三角形CDEが並んでいます。
　このとき、ABとBEの長さが8cmと12cmになりました。

　ここで問題です。
　△ABCと△ACDの面積の和は何ｃｍ２になるでしょうか。

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１ 高田修成(修徳学院)　さん2003/3/1　0:05兵庫県
　２小金井のチンジャラ　さん2003/3/1　0:08東京都　
　３たかまつ　ろろ　さん2003/3/1　0:35神奈川県　
　４モルモット大臣　さん2003/3/1　3:10モルモット王国　
　５Banyanyan　さん2003/3/1　3:16京都府　
　６信三　さん2003/3/1　4:09シリコンバレーの住人
　７teki　さん2003/3/1　9:00
　８経友会の進作　さん2003/3/1　9:01京都府木津町　６４歳
　９nobu　さん2003/3/1　9:53石川県
１０安楽克嘉　さん2003/3/1　12:01宮崎県
１１巷の夢　さん2003/3/1　12:08宮城県出身
１２ISAMU　さん2003/3/1　13:16三重県
１３miya　さん2003/3/1　14:33熊本県
１４たがせん　さん2003/3/1　16:46東京都
１５ 有無相生　さん2003/3/1　17:02神奈川県、会社員
１６ふじさきたつみ　さん2003/3/1　18:12北海道
１７なにわ　さん2003/3/1　18:45西宮市
１８ かつひこ　さん2003/3/1　22:58兵庫八鹿
１９N.Nishi　さん2003/3/1　23:28大阪府：中学教諭
２０Nの悲劇　さん2003/3/2　1:04 兵庫県
２１　先生の教え子　さん2003/3/2　13:07兵庫竹野
２２清川　育男　さん2003/3/2　13:31広島市
２３Michael　さん2003/3/2　16:01　
２４br8ker　さん2003/3/3　0:04東京受験生私大合格
２５高木尊麿　さん2003/3/3　2:36福岡県在住、某進学塾講師
２６スモークマン　さん2003/3/4　9:55算数好きＪｙ
２７Non　さん2003/3/4　10:04
２８ BONZ　さん2003/3/4　17:02会社＠西宮
２９ステップ　ばい　ステップ　さん2003/3/4　21:43かけだし算数ファン
３０ミミズクはくず耳　さん2003/3/5　19:25横浜市在住
３１理一郎坊ちゃん　さん2003/3/5　20:45山口市湯田小６年
３２ 呑　さん2003/3/6　17:02いつも酔っぱらい
３３フィリピンの鷹　さん2003/3/6　15:49フィリピン在住
３４ 高橋　道広　さん2003/3/6　16:31北の隠れ家
３５おーちゃん　さん2003/3/7　5:21群馬県
３６kyoho　さん2003/3/7　15:38愛知県　大学生
３７土居　千珠　さん2003/3/8　12:37愛媛県、もうすぐピカピカの中学生　
３８午年のうりぼう　さん2003/3/8　21:49福島県　
３９浜田　明巳　さん2003/3/10　11:01　
４０ 「浮浪の館」館長　さん2003/3/13　15:55岩手県
４１miyuki　さん2003/3/13　19:45新潟県　教員　女　
４２ユウカリ　さん2003/3/14　0:08福井県敦賀市　暇な主婦
４３yuki　さん2003/3/14　13:59奈良県　
４４LIA　さん2003/3/17　22:09大阪人（＾＾）　
４５阿久根　さん2003/3/18　22:08名瀬市
４６名前なし　さん2003/3/21　0:01連絡下さい　
４７勝浦捨てる造　さん2003/3/21　21:51今夜は酔っ払い
４８ なか　さん2003/3/25　23:24北海道
４９isami　さん2003/3/26　0:14高知県
５０kasama　さん2003/3/26　22:48　

答えは４８ｃｍ２でした。
次のような素敵な回答を頂きました。

＜Banyanyan　さん＞
ＡＣ：ＣＢ＝２：１より、∠ＡＣＢ＝６０°
よって、ＡＣ//ＤＥだから、
△ＡＣＤ＝△ＡＣＥ
△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ＝△ＡＢＣ＋△ＡＣＥ
＝△ＡＢＥ
＝１２×８÷２
＝４８ｃｍ２

＜teki　さん＞
三角形ABCは、正三角形の半分の三角形ですので角ACBは６０度です。
従って角ACDも６０度（１８０-６０-６０）となり、ACを折り目として折り返せば、点DはBC上にくることがわかります。
従って、２つの三角形の高さは等しく、８ｃｍとなります。
底辺の合計が１２ｃｍですので、面積の合計は、
１２×８÷２＝４８ｃｍ2　です。

＜ふじさきたつみ　さん＞
ＡＣ：ＢＣ＝２：１から∠ＡＣＢ＝６０度、∠ＡＥＣ＝６０だから
ＡＣ平行ＤＥなので、△ＡＣＤ＝△ＡＣＥ　　だから、求める面積の和
は、△ＡＢＥ＝４８
＜ふじかわ　さん＞
ＢＣ：ＡＣ＝１：２より∠ＡＢＣ＝６０°
また△ＣＤＥは正三角形なので∠ＣＤＥ＝６０°
よって∠ＡＣＤ＝６０°になる。
またＡＣは共通のため辺ＣＤを底辺としたとき△ＡＣＤの高さは８cmになる。
よって△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ＝８×１２÷２＝４８

＜高木尊麿　さん＞
△ＡＢＣは1：2：ルート3の直角三角形であるから、
∠ＡＣＢ＝60°。また、△ＣＤＥは正三角形であるから、
∠ＤＥＣ＝60°。よって、∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＣとなり、同位角が
等しいから、ＡＣ//ＤＥ。ここで、2点Ａ，Ｅを結び、辺ＣＤと
の交点をＦとすると、等積変形により、△ＡＦＤ＝△ＣＦＥ。　
よって、△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ＝△ＡＢＣ＋△ＡＦＣ＋△ＡＦＤ　
　　　　＝△ＡＢＣ＋△ＡＦＣ＋△ＣＦＥ＝△ＡＢＥとなる。　　　　　
　　　したがって、求める面積は、ＢＥ×ＢＡ÷2＝12×8÷2＝48ｃｍ2
＜清川　育男　さん＞
長方形ABEFを考える。EDの延長線とAFとの交点をGとする。
３角形ABC==３角形EFG
四角形ACEGは平行四辺形。
３角形DACは平行四辺形ACEGの半分。
したがって、求める図形の面積は長方形ABEFの半分。
８×１２÷２＝４８
＜ステップ　ばい　ステップ　さん＞
 ＡＣ：ＢＣ＝２：１より
直角三角形ＡＢＣはＡＣを１辺とする正三角形の半分になる。よって
∠ＡＣＢ＝６０°
∠ＤＥＣ=６０°なので
ＡＣ//ＤＥ
平行線による等積移動により
△ＡＣＤ＝△ＡＣＥ
したがって
△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ＝△ＡＢＣ＋△ＡＣＥ
　　　　　　　　　　　＝△ＡＢＥ
　　　　　　　　　　　＝１２×８÷２
　　　　　　　　　　　＝４８(cm＾2)
                 
                 (答え）　４８ｃｍ＾2
　
＜ミミズクはくず耳　さん＞
△ABCは正三角形の半分の三角定規型なので、∠ACBは60度。
∠DCEも60度なので、∠ACDも60度。したがって、
△ACDをCを中心に右に60度回転させた△A'CD'は△A'CEと重なる。
△ACA'が正三角形になるので、△A'CEのCEを底辺とした高さ
（A'からCEに降ろした垂線の長さ）はABと同じ8cm。
したがって、△ABC+△ACD = △ABC＋△A'CE は
AEを対角線とする長方形ABEFの半分 = 8×12÷2 = 48

＜理一郎坊ちゃん　さん＞
角ＡＣＢ＝６０度。ＣＤの延長上にＦをとり、三角形ＡＣＦを
正三角形になるようにすると、ＡＦとＢＣは平行。
ＢＣ＝ｘとすると、８＾２＋ｘ＾２＝（２ｘ）＾２だから、
ｘは具体的数値（ｘ＝８／Ｓｑｒｔ３）。よって、三角形ＡＣＦ
も求まる。
三角形ＡＣＤ：三角形ＡＤＦ＝ＡＤ：ＤＦ
　　　　　　　　　　　　　＝１２−ｘ：３ｘ−１２
＜フィリピンの鷹　さん＞
辺BCの長さをａとすると
△ABCをACにそって折り返してできる四角形ABCB'の面積は
４ａｘ２
△ADB'の面積は△ABCx(DB'/CB')
４ａｘ（２ａ−１２）／ａ
四角形ABCDの面積は　四角形ABCB' −　△ADB'
４ａｘ２−４ａｘ（２ａ−１２）／ａ
＝４８
＜kyoho　さん＞
僊BCの関係より、BC=８/√３、∠ACB=６０°。これより、∠ACB=∠
DECなので、AC//DE。
以上より、僊CEの面積と僊CDの面積は等しい。よって、求める面積は
僊BEの面積に等しいから、８×１２÷２＝４８cm^2

＜土居　千珠　さん＞
 ∠ACB=∠DEC=60度、よってACとDEは平行。従って△ADCと△AECは
底辺ACが共通で高さの等しい三角形であるからその面積は等し
い。よって△ABC+△ACD=△ABC+△AEC=△ABE=8×12÷2＝48
＜午年のうりぼう　さん＞
△ＡＢＣ＝３２√３／３（ｃｍ＾２）、
△ＡＣＤ＝　１／２　×　（１２−８√３／３）　×　１６√３／３
　　　　×　ｓｉｎ６０°
　　　　＝４（１２−８√３／３）（ｃｍ＾２）
∴　△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ＝４８（ｃｍ＾２）　…（答）　
＜浜田明巳　さん＞
VBscriptで作りました．答は48cm2です．
　何の工夫もないつまらないスクリプトです．
'0303.vbs
AB=8
BE=12
'sqr(3)*BC=AB
BC=AB/sqr(3)
CE=BE-BC
'H:CEの中点
DH=sqr(3)*.5*CE
CH=CE*.5
BH=BC+CH
'和=△ABC+△ACD=台形ABHD-△DCH
wa=.5*(AB+DH)*BH-.5*CH*DH
msgbox "和="&wa&"cm2", vbinformation, "今月の問題　第４２回（平成１５年３月）"

＜LIA　さん＞
この前の、図を見て間違えていること気づきました（＾＾；）
取り敢えず、
ＣＥに向かって頂点Ｄから垂線を引いて交点をＰとして、
△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ＝□ＡＢＰＤ−△ＣＤＥ/２

□ＡＢＰＤ≒５９.８ｃｍ2
△ＣＤＥ≒２３.６ｃｍ2

代入〜
□ＡＢＰＤ−△ＣＤＥ/２＝５９.８−２３.６/２
　　　　　　　　　　　 ＝４８.０
よって、　△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ＝４８.０ｃｍ2
＜kasama　さん＞  - 2003/03/26 23:10 - 
点Dから辺CDに垂直に下ろした点をD'として、台形ABD'Dの面積から正三角形CDEの面積の半分を引いて求めました。 
台形ABD'Dの面積=2(31√3+36)/3 
三角形CDEの面積=(124√3-144)/3 
求める面積=2(31√3+36)/3 - (124√3-144)/3×1/2=48
　

　

＜なか　さん＞
次のようない図で示していただきました。