「今月の問題」　第４３回　（平成１５年４月）

　上図のように、正方形ABCDがあります。辺ＣＤ上に２：１に分ける点Ｅがあります。
また対角線ＡＣとＢＥとの交点が点Ｆです。　また、線分ＡＥと線分ＤＦの交点をＧとします。

　ここで問題です。
　線分FGと線分ＤＧ　の比はいくらになるでしょうか。　ＦＧ：DG　で答えてください。

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１ 高田修成(修徳学院)　さん2003/4/1　0:02兵庫県
　２小金井のチンジャラ　さん2003/4/1　0:05東京都　
　３たかまつ　ろろ　さん2003/4/1　0:16神奈川県　
　４土居 千珠　さん2003/4/1　0:26愛媛県　中一　
　５Michael　さん2003/4/1　0:37　
　６湘南太郎　さん2003/4/1　0:46初参加　
　７信三　さん2003/4/1　0:54シリコンバレーの住人　
　８Banyanyan　さん2003/4/1　1:27京都府　
　９MARORINE　さん2003/4/1　2:18福岡県在住、某進学塾講師　
１０午年のうりぼう　さん2003/4/1　2:20　
１１ 呑　さん2003/4/1　5:36　
１２miya　さん2003/4/1　6:13　
１３ なか　さん2003/4/1　10:56北海道　
１４勝浦捨てる造　さん2003/4/1　12:12大阪中河内郡　
１５BEAN　さん2003/4/1　15:33　
１６teki　さん2003/4/1　17:53　
１７スモークマン　さん2003/4/2　20:09　
１８kasama　さん2003/4/1　21:07和歌山　
１９ISAMU　さん2003/4/1　23:10三重県　
２０清川　育男　さん2003/4/1　23:12広島市　
２１ 有無相生　さん2003/4/1　23:12神奈川県、会社員　
２２なにわ　さん2003/4/1　23:59西宮市　
２３経友会の進作　さん2003/4/2　5:26京都府木津町　６４歳　
２４巷の夢　さん2003/4/2　7:46宮城県出身　
２５モルモット大臣　さん2003/4/2　8:29モルモット王国　
２６nobu　さん2003/4/2　14:5石川県　
２７ｉｓａｍｉ　さん2003/4/5　22:31高知県、会社員　
２８ ほげ　さん2003/4/9　13:03北の隠れ家　
２９Nの悲劇　さん2003/4/9　22:17兵庫県　
３０TOMOAKI　さん2003/4/11　13:22大分県　
３１テモ　さん2003/4/12　12:33広島市の美鈴が丘
３２ウルトラマン　さん2003/4/12　１9:03　
３３浜田明巳　さん2003/4/14　12:59　
３４ミミズクはくず耳　さん2003/4/14　19:23横浜市在住　
３５ステップ　ばい　ステップ　さん2003/4/15　21:44駆け出し算数ファン　
３６永弘 世之介　さん2003/4/18　15:32東京都　
３７2月2日　さん2003/4/20　20:32赤穂郡
３８安楽　さん2003/4/21　22:35宮崎県　
３９yuki　さん2003/4/25　20:07奈良県
４０ふじさきたつみ　さん2003/4/29　19:50北海道　

答えは６：５でした。

　

掲示板に解法を記入していただきました。

 ミミズクはくず耳さん - 2003/04/14 19:23 -
DFの延長とABの延長の交点をHとすると、
EC:AB = 2:3 から EF:BF = DF:FH = DE:BH = 2:3
したがって、DE:AH = (1/3):{1+(1/3)*3/2} = 2:9
したがって、DF:FH = 2:9
また、DF:FH = 2:3 だから、
FG:GD = (GH-FG):GD = {(9/11)-(3/5)}:(2/11) = 6:5
と出しました。

高橋　道広さん - 2003/04/09 13:01 -
補助線を利用しました。
たかまつ　ろろ　さんとちょっと違うので書きます。
FをとおりABに平行な直線とAEの交点をPとします。
三角形ABFと三角形CEFは相似ですから　AF:FC=AB:CE=3:2
三角形AFPと三角形ACEは相似ですから　FP:CE=AF:AC=3:5
三角形PFGと三角形EDGは相似ですから　
FG:DG=PF:ED=3/5CE:1/2CE=6:5
　としました。

有無相生さん - 2003/04/01 23:10 -
解析的に解きました。

　

Banyanyanさん - 2003/04/01 21:54 -
メネラウスはマイナーなんですかね。
だとしたら、チェバの定理の方がメジャーなんでしょうか。
△ＡＧＤ：△ＡＧＣ＝ＤＥ：ＥＣ＝１：２
△ＡＧＤ：△ＣＤＧ＝ＡＦ：ＦＣ＝ＡＢ：ＣＥ＝３：２
よって、
△ＡＧＤ：△ＡＧＣ：△ＣＤＧ＝３：６：２
ＦＧ：ＧＤ＝△ＡＧＣ：（△ＡＧＤ＋△ＣＤＧ）＝６：（３＋２）＝６：５

 kasamaさん - 2003/04/01 21:04 -
私もメネラウスをよく知らないので、座標で解きました。

　

たかまつ　ろろさん - 2003/04/01 14:41 -
覚えたてのメネラウスで解きましたが
別解として
Ｆを通りＡＥに平行な線とＤＣとの交点をＨとすると
ＣＥ：ＡＢ＝ＣＦ：ＡＦ＝ＣＨ：ＨＥ＝２：３
ＣＥ：ＥＤ＝２：１より
ＣＨ：ＨＥ：ＥＤ＝４：６：５
よって
ＨＥ：ＥＤ＝ＦＧ：ＧＤ＝６：５


 tekiさん - 2003/04/01 13:15 -
はやってますね。
先週のどこかの問題でもありましたね。
実は、私はメネラウスをよく知らないもんで、座標で解きました。

　

miyaさん - 2003/04/01 06:09 -
メネラウスの定理で解きました。

　

Banyanyanさん - 2003/04/01 01:36 -
ボクは本当はこちらで解きました。
ＦＧ：ＧＤ
＝△ＡＦＥ：△ＡＥＤ
＝△ＡＣＥ×３／５：△ＡＥＤ
＝△ＡＥＤ×２×３／５：△ＡＥＤ
＝６：５
先の18もこちらも、△ＡＢＦ∽△ＣＥＦを使っていますが。

　

メネラウスの定理 Banyanyanさん - 2003/04/01 01:31 -
ＧＤ／ＦＧ×ＥＣ／ＤＥ×ＡＦ／ＣＡ＝１
ＧＤ／ＦＧ×　２／　１×　３／　５＝１
ＧＤ／ＦＧ＝５／６
※ｙｕｋｉさんも同じ解法でメールをいただきました。

　

＜ステップ　ばい　ステップ　さん＞
 答え　ＦＧ：ＤＧ＝６：５

△ＡＤＥ：△ＢＣＥ＝１：２
　　　　　　　　　＝５：１０・・・・・@
ＦＧ：ＤＧ＝△ＡＥＦ：△ＡＥＤ
　　　　　＝△ＢＣＦ：△ＡＤＥ・・・・・A
△ＢＣＦ：△ＣＥＦ＝ＢＦ：ＥＦ
　　　　　　　　　＝ＡＢ：ＣＥ　（△ＡＢＦ∽△ＣＥＦより）
　　　　　　　　　＝３：２
より
ＢＦ：ＥＦ＝３：２
ＢＦ：ＢＥ＝３：５
よって
△ＢＣＥ：△ＢＣＦ＝ＢＥ：ＢＦ
　　　　　　　　　＝　５：　３
　　　　　　　　　＝１０：　６・・・・・B
@とBより
△ＢＣＦ：△ＡＤＥ＝６：５・・・・・C
AとCより
ＦＧ：ＤＧ＝６：５・・・・・答え

その他

＜安楽さん＞
 点Gと点Fから辺ADへ垂線を
おろす考え方で
直角三角形ADEと３：１の相似な
直角三角形を考えると
こたえは
６：５です。

＜浜田明巳さん＞
プログラム的に解析していただきました。