「今月の問題」　第４４回　（平成１５年５月）

上図のような、台形ABCDがあります。上底ADの長さと下底BＣの長さを測ると２ｃｍと１４ｃｍになりました。 　また、下底BCに平行線ｍｎをひくと、台形ＡｍｎＤと台形ｎＢCｎの面積が等しくなりました。 　ここで問題です。 　線分ｍｎ　の長さは何ｃｍになるでしょうか。

答えは１０ｃｍでした。

掲示板より以下のような解き方を頂きました。

面積比と線分比 　＜ponta55555　さん＞ - 2003/05/23 19:10 -
CDとBAを延長して、交点をEとし、
△EAD=１として△EBC＝４９
あとは面積が２４ずつに分け、面積比から線分比にもどしました

41 面積比の駆使 　＜damoto　さん＞  - 2003/05/18 15:04 -
ABとCDを延長して、交点をOとする。
AC:BDが1：7なので、三角形OAC:台形ABDCは1：48。
台形ABDCは、線分mnによって、台形ACnm：台形mnDBが1：1になるように分けられている。
∴三角形Omn:三角形OBDは25：49となり、ｍn：BDは5：7と分かる。
よって、mnは10と分かる。
パソコン始めたばかりで、イコールなどの出し方が分かりませんでした。読みにくかったらごめんなさい。

40 ２乗の平均　　＜ ステップ　ばい　ステップ　さん＞  - 2003/05/06 18:51 -
だったんですね。
tekiさん(#39)を見て納得。

AB，CDの延長の交点をPとして
△PAD∽△Pmn∽△PBC
条件より
　△Pmn＝（△PAD＋△PBC ）/２
したがって
　　mn＾2＝（AD＾2＋BC＾2）/２
　　　　　＝１０＾2
よって
　　mn＝１０（ｃｍ）・・・答え

39 ２乗の比 ＜teki　さん＞  - 2003/05/01 23:01 -
面積比が線分比の２乗になることから
２の２乗と１４の２乗（＝１９６）の平均ですね。
よって、√（（４+１９６）/２）＝√１００＝１０
が答えです。

38 面積比を相似比とやって　＜ 有無相生　さん＞  - 2003/05/01 22:18 -
面積比を相似比とやって、8ｃｍを送っていました。
面積は等しくなるはずないのに。
相似比の２乗でした。
２等分される面積をＳ、BAの延長とＣＤの延長の交点をＥとすると、
三角形ＥＡＤの面積をＳ’とします。
7*7：1*1＝（2S+S'):S'
よりＳ＝24Ｓ’
mn=xとすると、
x*x:2*2=(S+S'):S'
より、(x/2)**2=(S+S')/S'=25
x/2=5でx=10

37 解けました。 ＜kasama　さん＞  - 2003/05/01 20:32 -
某サイトで類題を解いた気がしますが、次のように考えました。図のような台形では、高さは、上底と下底と何らかの一次関係（線形）にあります（比と考えても良いと思います）。つまり、適当な実数ｋが存在して、
　台形の高さ＝ｋ・上底−ｋ・下底＝ｋ（上底−下底）
と表現できます（なお、上底と下底は逆にしても一般性を失いません）。線分ｍｎの長さをｗとすると、
　上の台形の面積＝(w+2)(w-2)k/2
　下の台形の面積＝(w+14)*(14-w)k/2
です。これを解くと、ｗ＝１０となります。

36 ５月号、地道に解きました ＜makisen　　さん＞  - 2003/05/01 01:48 -
普通にｍｎ＝ｘとおいて計算しました。
台形の上底下底の合計の長さの比がおけるので、おのおのの高さも比で置けます。
ＡｍｎＤの高さ、ｋ（ｘ−２）
ｍＢＣｎの高さ、ｋ（１４−ｘ）
あとはそれぞれの台形の面積をｘを使って表し、方程式として解く、以上です。

http://www.ktplan.net/makisengogo/index.html

35 なるほど ＜高田修成　さん＞  - 2003/05/01 00:38 -
さらに縦に半分に分ければ，１：２５で簡単に出来ますね。
ちなみに私は，計算が面倒になりそうだたので，エクセルを使いました。(~_~;)

http://homepage2.nifty.com/stkg/

34 相似比→面積比 ＜佐藤 広宣　さん＞  - 2003/05/01 00:21 -
類題を過去に経験しており，すぐ答えがわかりました。
AB，CDの延長の交点をPとして
△PAD∽△Pmn∽△PBC
相似比　2：x：14
面積比　4：x＾2：196

条件より
x＾2−4＝196−x＾2
x＾2＝100より
x＝10


その他次のような回答を頂きました。

＜よし　さん＞
 台形の高さをｈｃｍとする
また線分Ａｍ：線分ｍＢ＝線分Ｄｎ：線分ｎＣ＝ｋ：（１−Ｋ） （０
≦ｋ≦１）とすると
線分ｍｎの長さは２＋１２ｋと表せる
今、台形ＡｍｎＤと台形ｍＢＣｎの面積が等しくなるという条件から
（２＋１２ｋ＋２）×ｋ×ｈ＝（１４＋１２ｋ＋２）×（１−ｋ）×ｈ
これはｋに関する２次方程式となるので、これを解いて
ｋ＝−１、２／３
０≦ｋ≦１なので ｋ＝２／３
よって
線分ｍｎ＝２＋１２×２／３＝１０（ｃｍ）

＜安楽　さん＞
 まず青色台形の高さをｍ�p、黄色台形の高さをｎ�pとおくと
求める長さは（２ｎ＋１４ｍ）/（ｎ＋ｍ）とかける
台形面積が（上底＋下底）＊高さ÷２となる公式を使うと
題意の条件から次の等式ができる。
｛（２＋１４）＊（ｍ＋ｎ）÷２｝÷２＝（２＋（２ｎ＋１４ｍ）/
（ｎ＋ｍ））＊ｍ÷２
これを簡単にすると（２ｍ＋ｎ）＊（ｍ−２ｎ）＝０
もちろんｍ、ｎは正なのでｍ＝２ｎ
これから求める長さ２ｎ＋１４ｍ）/（ｎ＋ｍ）へ代入して
１０センチがでます

＜午年のうりぼう　さん＞
 直線ＡＢと直線ＣＤとの交点をＰとして、△ＰＡＤ、台形ＡｍｎＤ、台
形ｍＢＣｎの面積をそれぞれｕ、ｖ、ｖ、ｍｎ＝ｘ（＞０）とすると、
三角形の相似より、
ｕ／（ｕ＋２ｖ）＝１／４９，ｕ／（ｕ＋ｖ）＝４／（ｘ＾２），
（ｕ＋ｖ）／（ｕ＋２ｖ）＝（ｘ＾２）／１９６
∴ｘ＝１０（ｃｍ）…（答）

＜MARORINE　さん＞
解説：頂点Ｄから辺ＡＢに平行な補助線を引き，ｍｎとの交点をＥ，
　　　ＢＣとの交点をＦとする。ここで，ｍｎ＝χｃｍとすると，
　　　四角形ＡｍＥＤ，ＡＢＦＤは平行四辺形となるので，
　　　ｍＥ＝ＢＦ＝２ｃｍ，Ｅｎ＝（χ−２）ｃｍ，ＦＣ＝１２ｃｍ．
　　　Ｅｎ//ＦＣより，△ＤＥｎ∽△ＤＦＣ，Ｄｎ：ＤＣ＝Ｅｎ：ＦＣ
　　　＝（χ−２）：１２，
　　　よって，Ｄｎ：ｎＣ＝（χ−２）：（１４−χ）
　　　したがって，台形ＡｍｎＤ＝台形ＢｍｎＣより，
　　　（χ＋２）×（χ−２）÷２＝（１４＋χ）×（１４−χ）÷２
　　　２χ2＝２００，χ2＝１００，χ＞０より，χ＝１０（ｃｍ）

＜浜田明巳さん＞
Ｖｉｓｕａｌ　Basicで解析していただき、mn=9.9999999999993ｃｍと解析していただきました。
ソースプログラムが必要な方は、お知らせください。