今月の問題」 第45回 (平成15年6月)

 上図を見て下さい。内部をうめる6角数を、有心六角数というそうです。これは、同じ太さののロープを縛って固定するときに、最も安定した状態にできる数になるようです。
 1番目は一本であり、2番めでは7本であり、3番目では19本になります。

 瀬戸大橋では、細い鋼鉄線が10番目まで束ねられているようです。

 ここで問題です。束ねてある鋼鉄線は何本になるでしょうか。 


<正解者一覧表>             
正解者順位     name      メール到着日時     備 考  
 1 高田修成(修徳学院) さん2003/6/1 0:01兵庫県
 2午年のうりぼう さん2003/6/1 0:04福島県 
 3信三 さん2003/6/1 0:04シリコンバレーの住人
 4nobu さん2003/6/1 0:05石川県 
 5ささ さん2003/6/1 0:05 
 6ろろ さん2003/6/1 0:06神奈川県
 7teki さん2003/6/1 0:06 
 8 算数の森 さん2003/6/1 0:06兵庫県
 9テモ さん2003/6/1 0:07広島市の美鈴が丘 
10isami さん2003/6/1 0:08高知県 会社員 
11 呑 さん2003/6/1 0:12 
12経友会の進作 さん2003/6/1 0:13京都府木津町・64歳 
13 mhayashi さん2003/6/1 0:15大阪府 
14桂おとこ さん2003/6/1 0:21 
15佐藤 広宣 さん2003/6/1 0:23東京都 
16ささ さん2003/6/1 0:27 
17Nの悲劇 さん2003/6/1 0:35兵庫県
18すてっぷ さん2003/6/1 0:42気分はいつでも中学生 
19土居 千珠 さん2003/6/1 0:50愛媛県 中一 
20miya さん2003/6/1 0:52熊本 
21Michael さん2003/6/1 1:39 
22モルモット大臣 さん2003/6/1 8:36モルモット王国 
23みちこ さん2003/6/1 10:11 
24なにわ さん2003/6/1 10:35西宮市 
25巷の夢 さん2003/6/1 14:59宮城県出身 
26 有無相生 さん2003/6/1 18:30会社員、神奈川県 
27颯馬 さん2003/6/1 19:37 
28安楽 さん2003/6/1 22:37宮崎県小林市 
29フィリピンの鷹 さん2003/6/2 0:49フィリピン在住39歳 
30MARORINE さん2003/6/2 1:19福岡県在住、某進学塾講師
31kasama さん2003/6/2 18:17和歌山県プログラマ 
32 元先生の教え子 さん2003/6/2 19:24兵庫県の高校生 
33 ψ(プサイ) さん2003/6/3 2:50小学生気分の抜けない中一です
34TOMOAKI さん2003/6/3 16:15大分県 
35Banyanyan さん2003/6/4 3:10京都府 
36yu さん2003/6/4 16:07 
37浜田明巳 さん2003/6/7 13:22 
38yuki さん2003/6/7 16:07奈良県
39ISAMU さん2003/6/8 15:23三重県
40清川 育男 さん2003/6/9 0:33広島市
41あごら みのる さん2003/6/9 16:38福岡県
42damoto さん2003/6/11 1:06兵庫県の中学生です
43 ほげ さん2003/6/11 12:14北の隠れ家
44しおり さん2003/6/14 19:39
45阿久根光 さん2003/6/18 21:47小4です
46スモークマン さん2003/6/22 14:34生息地 金光
47ピカピカの中学二年生 さん2003/6/23 17:23神戸市 
48にゃじら さん2003/6/24 0:07にゃじら 
49 あつきパパ さん2003/6/24 11:31あいち
50ふじさきたつみ さん2003/6/25 20:51北海道 

答えは、271本です。

<掲示板より>


<Banyanyan さん> - 2003/06/04 03:13 - 
1周目  1 
2周目  1×6 
3周目  2×6 
・・・ 
10周目 9×6 
1+(1+2+・・・+9)×6 
=1+45×6 
=271

 

< 規則性 kasama さん>  - 2003/06/02 18:15 - 
一番外側の鋼鉄線の本数は 
1番目 1 
2番目 6 
3番目 12 
・・・ 
n番目 6(n-1) 
と推側されるので、n番目まで束ねると 
n 
Σ{6(i-1)} + 1 = 3n(n-1) + 1 (ただし、n > 1) 
i=10 
となり、n=10を代入してすると答えが得られます。

 

< 本当は地道に数えました… MARORINE さん>  - 2003/06/02 01:14 - 
【解答】271本 
【解説】1番目…1(本)、2番目…1+6(本)、3番目…1+6+    12(本)、4番目…1+6+12+18(本)、5番目…     1+6+12+18+24(本)より、 
    n番目の本数は、 
    {6+6(n−1)}×(n−1)÷2+1(本)で表される。 
    よって、n=10より、{6+6(10−1)}×(10−1)    ÷2+1=271(本)

 

<49 やれやれ WAT さん>  - 2003/06/02 00:56 - 
1周りで6本づつ増えていく

 

<48 階差数列 有無相生 さん>  - 2003/06/01 18:29 - 
n番目の周辺の個数は、6*n-6で、 
n番目の中身を含めた個数をp(n)とすると、 
p(n+1)-p(n)=6*(n-1) 
n=1,...,(n-1)を代入して、辺辺を揃えて足すと、 
p(n)-p(1)=6*[1+2+...+(n-1)]=3*(n-1)*n 
p(n)=p(1)+3*(n-1)*n=1+3*(n-1)*n 
p(10)=271

 

<47 規則性を使った問題でした♪ みちこ さん> - 2003/06/01 18:15 - 
1(真ん中の1本)+2(番目)×6(六角形だから)−6(重なっている部分)+3(番目)×6−6+・・・・・・・・としていくと、結局1+6+12+18+24+30+36+42+48+54=271になりました。

 

<46 階差数列 午年のうりぼう さん>  - 2003/06/01 00:15 - 
求めるものをa(10)とおく。 
a(10)−1=シグマ(n=1〜9)6n 
       =270 
∴a(10)=271

 

<45 1 + 6×Σ9 teki さん>  - 2003/06/01 00:11 - 
周囲の鋼鉄線の本数の規則性がわかれば、解けますね。 
2番目以降は、6本ずつ増えていくことから、6+12+18+24+・・ 
=6×Σ9となります。 
これに、最初の1本を足して、271本ですね。

 

その他 メールより

<ふじさきたつみ さんより>
 真ん中の一本をのぞいて、6つの三角形にわけてかぞえると
6×Σ9+1=6×45+1=271

<あつきパパ さんより>
 一本目が1
二本目が2+3+2
三本目が3+4+5+4+3
・・・
十本目は10+11+12+13+14+15+16+17+18+1
9+18+17+16+15+14+13+12+11+10=271
本?

<にゃじら さんより>
(1+2+3+4+5+6+7+8+9)*6+1=271

<スモークマン さんより>
 (10+9+8+7+6+5+4+3+2) x 6 - 9 x 6 + 1 =(54-9)x6+1=271

<yuki さんより>
 10×11÷2×6-10×6+1=271

<浜田 明巳さんより>
n番目にf(n)本あるとすると,漸化式
  f(n+1)=f(n)+6n,f(1)=1
が成り立つ.
 故にn>1のとき,
  f(n)=f(1)+Σ(1≦k≦n-1) {f(n+1)−f(n)}
     =1+Σ(1≦k≦n-1) 6k
     =1+6×(n−1)n/2
     =3n^2−3n+1
 これはn=1のときも成立する.
  ∴f(n)=3n^2−3n+1
  ∴f(19)=3×19^2−3×19+1=1027
 エクセルのマクロ
Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Dim n As Integer
    Cells(1, 1).Value = 1
    For n = 2 To 19
      Cells(n, 1).Value = Cells(n - 1, 1).Value + (n - 1) * 6
      Range("A" & Right(Str(n), Len(Str(n)) - 1)).Select
    Next n
End Sub

 

<MARORINE さんより>
【解説】1番目…1(本)、2番目…1+6(本)、3番目…1+6+
12(本)、4番目…1+6+12+18(本)、5番目…1+6+1
2+18+24(本)より、n番目の本数は、{6+6(n−1)}×
(n−1)÷2+1(本)で表される。よって、n=10より、{6+6
(10−1)}×(10−1)÷2+1=271(本)

<安楽 さん>
 等差数列なので、一般項an=3*n^2-3n+1を求める

<teki さん>
解法 1番目:1本 2番目:6×1本 3番目:6×2本 ・ ・ ・ 10番目:6×9本 となることから、総本数は、1+6×Σ9=1+6×45=271