「今月の問題」　第４５回　（平成１５年６月）

　上図を見て下さい。内部をうめる６角数を、有心六角数というそうです。これは、同じ太さののロープを縛って固定するときに、最も安定した状態にできる数になるようです。
　１番目は一本であり、２番めでは７本であり、３番目では１９本になります。

　瀬戸大橋では、細い鋼鉄線が１０番目まで束ねられているようです。

　ここで問題です。束ねてある鋼鉄線は何本になるでしょうか。　

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１ 高田修成(修徳学院)　さん2003/6/1　0:01兵庫県
　２午年のうりぼう　さん2003/6/1　0:04福島県　
　３信三　さん2003/6/1　0:04シリコンバレーの住人
　４nobu　さん2003/6/1　0:05石川県　
　５ささ　さん2003/6/1　0:05　
　６ろろ　さん2003/6/1　0:06神奈川県
　７teki　さん2003/6/1　0:06　
　８ 算数の森　さん2003/6/1　0:06兵庫県
　９テモ　さん2003/6/1　0:07広島市の美鈴が丘　
１０isami　さん2003/6/1　0:08高知県　会社員　
１１ 呑　さん2003/6/1　0:12　
１２経友会の進作　さん2003/6/1　0:13京都府木津町・６４歳　
１３ mhayashi　さん2003/6/1　0:15大阪府　
１４桂おとこ　さん2003/6/1　0:21　
１５佐藤 広宣　さん2003/6/1　0:23東京都　
１６ささ　さん2003/6/1　0:27　
１７Nの悲劇　さん2003/6/1　0:35兵庫県
１８すてっぷ　さん2003/6/1　0:42気分はいつでも中学生　
１９土居 千珠　さん2003/6/1　0:50愛媛県　中一　
２０miya　さん2003/6/1　0:52熊本　
２１Michael　さん2003/6/1　1:39　
２２モルモット大臣　さん2003/6/1　8:36モルモット王国　
２３みちこ　さん2003/6/1　10:11　
２４なにわ　さん2003/6/1　10:35西宮市　
２５巷の夢　さん2003/6/1　14:59宮城県出身　
２６ 有無相生　さん2003/6/1　18:30会社員、神奈川県　
２７颯馬　さん2003/6/1　19:37　
２８安楽　さん2003/6/1　22:37宮崎県小林市　
２９フィリピンの鷹　さん2003/6/2　0:49フィリピン在住３９歳　
３０MARORINE　さん2003/6/2　1:19福岡県在住、某進学塾講師
３１kasama　さん2003/6/2　18:17和歌山県プログラマ　
３２ 元先生の教え子　さん2003/6/2　19:24兵庫県の高校生　
３３ ψ(プサイ)　さん2003/6/3　2:50小学生気分の抜けない中一です
３４TOMOAKI　さん2003/6/3　16:15大分県　
３５Banyanyan　さん2003/6/4　3:10京都府　
３６yu　さん2003/6/4　16:07　
３７浜田明巳　さん2003/6/7　13:22　
３８yuki　さん2003/6/7　16:07奈良県
３９ISAMU　さん2003/6/8　15:23三重県
４０清川　育男　さん2003/6/9　0:33広島市
４１あごら　みのる　さん2003/6/9　16:38福岡県
４２damoto　さん2003/6/11　1:06兵庫県の中学生です
４３ ほげ　さん2003/6/11　12:14北の隠れ家
４４しおり　さん2003/6/14　19:39
４５阿久根光　さん2003/6/18　21:47小４です
４６スモークマン　さん2003/6/22　14:34生息地　金光
４７ピカピカの中学二年生　さん2003/6/23　17:23神戸市　
４８にゃじら　さん2003/6/24　0:07にゃじら　
４９ あつきパパ　さん2003/6/24　11:31あいち
５０ふじさきたつみ　さん2003/6/25　20:51北海道　

答えは、２７１本です。

＜掲示板より＞


＜Banyanyan さん＞ - 2003/06/04 03:13 - 
１周目　　１ 
２周目　　１×６ 
３周目　　２×６ 
・・・ 
１０周目　９×６ 
１＋（１＋２＋・・・＋９）×６ 
＝１＋４５×６ 
＝２７１

 

＜ 規則性 kasama　さん＞  - 2003/06/02 18:15 - 
一番外側の鋼鉄線の本数は 
1番目 1 
2番目 6 
3番目 12 
･･･ 
n番目 6(n-1) 
と推側されるので、n番目まで束ねると 
n 
Σ{6(i-1)} + 1 = 3n(n-1) + 1 (ただし、n > 1) 
i=10 
となり、n=10を代入してすると答えが得られます。

 

＜ 本当は地道に数えました… MARORINE　さん＞  - 2003/06/02 01:14 - 
【解答】２７１本 
【解説】１番目…１（本）、２番目…１＋６（本）、３番目…１＋６＋　　　　１２（本）、４番目…１＋６＋１２＋１８（本）、５番目…　　　　　１＋６＋１２＋１８＋２４（本）より、 
　　　　ｎ番目の本数は、 
　　　　{６＋６（ｎ−１）}×（n−１）÷２＋１（本）で表される。 
　　　　よって、ｎ＝１０より、{６＋６（１０−１）}×（１０−１）　　　　÷２＋１＝２７１（本）

 

＜49 やれやれ ＷＡＴ　さん＞  - 2003/06/02 00:56 - 
１周りで６本づつ増えていく

 

＜48 階差数列 有無相生　さん＞  - 2003/06/01 18:29 - 
ｎ番目の周辺の個数は、6*ｎ-6で、 
ｎ番目の中身を含めた個数をp(n)とすると、 
p(n+1)-p(n)=6*(n-1) 
n=1,...,(n-1)を代入して、辺辺を揃えて足すと、 
p(n)-p(1)=6*[1+2+...+(n-1)]=3*(n-1)*n 
p(n)=p(1)+3*(n-1)*n=1+3*(n-1)*n 
p(10)=271

 

＜47 規則性を使った問題でした♪ みちこ さん＞ - 2003/06/01 18:15 - 
１(真ん中の１本)＋２(番目)×６(六角形だから)−６(重なっている部分)＋３(番目)×６−６＋････････としていくと、結局１＋６＋１２＋１８＋２４＋３０＋３６＋４２＋４８＋５４＝２７１になりました。

 

＜46 階差数列 午年のうりぼう　さん＞  - 2003/06/01 00:15 - 
求めるものをａ（１０）とおく。 
ａ（１０）−１＝シグマ（ｎ＝１〜９）６ｎ 
　　　　　　　＝２７０ 
∴ａ（１０）＝２７１

 

＜45 1　+　６×Σ９ teki　さん＞  - 2003/06/01 00:11 - 
周囲の鋼鉄線の本数の規則性がわかれば、解けますね。 
２番目以降は、６本ずつ増えていくことから、６+１２+１８+２４+・・ 
＝６×Σ９となります。 
これに、最初の１本を足して、２７１本ですね。

その他　メールより

＜ふじさきたつみ　さんより＞
 真ん中の一本をのぞいて、６つの三角形にわけてかぞえると
６×Σ９＋１＝６×４５＋１＝２７１

＜あつきパパ　さんより＞
 一本目が１
二本目が２＋３＋２
三本目が３＋４＋５＋４＋３
・・・
十本目は１０＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１
９＋１８＋１７＋１６＋１５＋１４＋１３＋１２＋１１＋１０＝２７１
本？

＜にゃじら　さんより＞
(1+2+3+4+5+6+7+8+9)*6+1=271

＜スモークマン　さんより＞
 (10+9+8+7+6+5+4+3+2) x 6 - 9 x 6 + 1 =(54-9)x6+1=271

＜yuki　さんより＞
 10×11÷2×6-10×6+1=271

＜浜田　明巳さんより＞
ｎ番目にｆ(ｎ)本あるとすると，漸化式
　　ｆ(ｎ＋１)＝ｆ(ｎ)＋６ｎ，ｆ(１)＝１
が成り立つ．
　故にｎ＞１のとき，
　　ｆ(ｎ)＝ｆ(１)＋Σ(1≦k≦n-1) {ｆ(ｎ＋１)−ｆ(ｎ)}
　　　　　＝１＋Σ(1≦k≦n-1) ６ｋ
　　　　　＝１＋６×(ｎ−１)ｎ／２
　　　　　＝３ｎ^2−３ｎ＋１
　これはｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｆ(ｎ)＝３ｎ^2−３ｎ＋１
　　∴ｆ(１９)＝３×１９＾２−３×１９＋１＝１０２７
　エクセルのマクロ
Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Dim n As Integer
    Cells(1, 1).Value = 1
    For n = 2 To 19
      Cells(n, 1).Value = Cells(n - 1, 1).Value + (n - 1) * 6
      Range("A" & Right(Str(n), Len(Str(n)) - 1)).Select
    Next n
End Sub

　

＜MARORINE　さんより＞
【解説】１番目…１（本）、２番目…１＋６（本）、３番目…１＋６＋
１２（本）、４番目…１＋６＋１２＋１８（本）、５番目…１＋６＋１
２＋１８＋２４（本）より、ｎ番目の本数は、{６＋６（ｎ−１）}×
（n−１）÷２＋１（本）で表される。よって、ｎ＝１０より、{６＋６
（１０−１）}×（１０−１）÷２＋１＝２７１（本）

＜安楽　さん＞
 等差数列なので、一般項an=3*n^2-3n+1を求める

＜teki　さん＞
解法 １番目：１本 ２番目：６×１本 ３番目：６×２本 ・ ・ ・ １０番目：６×９本 となることから、総本数は、１+６×Σ９＝１+６×４５＝２７１