「今月の問題」　第４６回　（平成１５年７月）

　上図を見て下さい。直径２cmの一円玉を一辺が18cmの正方形の額の中に規則正しく並べています。一円玉は全部で８１円並べられています。

　ここで問題です。上手く並べ替えるとこの額の中に最高何円並べることが出来るでしょうか。　（ただし、一円玉どおしは、重ならないようにします。）

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１フィリピンの鷹　さん2003/7/1　0:19フィリピン在住３９歳　
　２ 高田修成(修徳学院)　さん2003/7/1　0:56兵庫県揖保郡
　３ ろろ　さん2003/7/1　6:41神奈川県
　４信三　さん2003/7/1　7:54シリコンバレーの住人　
　５nobu　さん2003/7/1　8:00　
　６午年のうりぼう　さん2003/7/1　9:29福島県　
　７佐藤 広宣　さん2003/7/1　11:22　
　８Michael　さん2003/7/1　12:10　
　９ｔｅｋｉ　さん2003/7/1　13:44　
１０土居　千珠　さん2003/7/1　14:31愛媛県、中一　
１１ 呑　さん2003/7/1　15:16　
１２kasama　さん2003/7/1　16:02和歌山県プログラマ　
１３miya　さん2003/7/1　17:26熊本　
１４BB　さん2003/7/1　18:54東京都　
１５なにわ　さん2003/7/1　20:04西宮市　
１６桂おとこ　さん2003/7/1　22:52こてこての大阪人
１７奥入瀬　さん2003/7/2　1:23東京
１８巷の夢　さん2003/7/2　7:18宮城県出身
１９経友会の進作　さん2003/7/2　7:46京都府木津町・６５歳
２０みかん　さん2003/7/2　13:01神奈川県・高校生
２１勇水　さん2003/7/3　22:25高知県香美郡
２２あみ〜ご　さん2003/7/6　0:42　
２３テモ　さん2003/7/6　15:24広島市の美鈴が丘　
２４POPPY　さん2003/7/8　0:43東京都　
２５ 高橋　道広　さん2003/7/13　11:30北の隠れ家　
２６yuki　さん2003/7/17　1:29奈良県　
２７ＨＫ　さん2003/7/19　8:02富山市寺町　自営業　
２８banyanyan　さん2003/7/21　13:53京都府　
２９永弘 世之介　さん2003/7/21　22:35東京都　
３０ビッキー　さん2003/7/23　23:56名古屋市　

答えは８６円でした。

実際に一円玉を並べてみました。

掲示板に非常に楽しい書き込みをしていただきました。

68 re:意外と入るなあ 　　　　よしおか（管理人） - 2003/07/03 18:46 -
 面白く読みました。私の職場でこの話をすると、感心しておられました。 そこで、何枚はいるか計算しました。１円玉の厚さは、約１．５１ｍｍです。 この値で計算すると、この正方形の中に、１０７２枚も入ることが分かりました。

　

65 意外と入るなあ みかん - 2003/07/02 12:47 - 
　はじめは私も８５個だろうと思っていたのですが、認証ではねられました。ではあと１個入るのだろうなあ、と思いつつもでたらめ入れて正解したというのは何か癪に障るので端の段にもう一個入れられないかと試しました。するともう一個入ってめでたし、となりました。 　ところで学校でこの問題を友人に話したところ、重ねてはいけないという条件なのだから一円玉を立てて並べるのはどうだ、という人がいました。一円玉の厚みはよくわからないけれど８６個の数倍は並べられると思うのですがさすがにそれは「数学」の問題としてはなしですよね。 　

63 当面はこの数字まで・・・ 経友会の進作 - 2003/07/02 07:38 - 
　先月末で６５歳となりました。いよいよ「老人人口」の 仲間入り。今回の問題は数字の連続性というものを逆手に とって「人間の単純性」をあざ笑うかのごときものでした。 答は８６。当面は８６歳まで、算数問題を解きたいですね。

　

62 落とし穴に１円玉があった…って感じ！ MARORINE - 2003/07/02 03:04 - 
　単純に考えすぎました。規則の中にも変則があるとは…。でも、無事に解決してホッと一息…。

　

60 実は teki - 2003/07/01 19:33 -
 高橋道広さんのＨＰ「みっちの隠れ家」の数学の問題第７問に同様の 問題があり、以前に解いてましたので、すぐに分かりました。 もっと、難しいのは同じＨＰの投稿問題でＣＤ（Crying Dolphin） さんが出した問題です。 興味のある方は、下記のアドレスの「過去問」の欄を見てください。 http://micci.sansu.org/

　

59 あと一つ置けたのか・・・ kasama - 2003/07/01 16:11 -
 直感的に９個、８個、９個、・・・という具合に１円玉を列方向に交互にずらして並べると良さそうなので・・・ ｎ列並べたときの幅の合計が18以下となれば良いので 　2+(n-1)√3 < 18 → n < 10.2 となり、10個並べることができますね^-^;つまり、 9+8 + 9+8 + 9+8 + 9+8 + 9+8 = 85 と思ったが・・・認証で蹴られました~~;よく考えてみると、最終列にもう１個置くことができたんですね^-^;

　

58 実は フィリピンの鷹 - 2003/07/01 13:36 -
 以前類似問題を解いたことがあって、詰めなおすと７列のスペースに ８列並ぶ事を知っていたので、早く出来ました。 ８１＋８−３＝８６

　

57 あつきパパ あつきパパ - 2003/07/01 12:08 - 
半径１の円 X^2+Y^2=1・・? (X-2)^2+Y~2=1・・? このとき??の両方の円に接する半径１の円・・?を考える。 ?の円の中心は、???の中心を結ぶと正三角形を作ることを 考えるとY=tan60°X上にあり、X座標は??２円の中点の１である。 よって?の中心は(1,√3)である。

以上のことを鑑みて、（座標系はここから別） (0,0),(18,18)間に半径１の円を並べてみると 下から１列目Yが０から２の範囲に９つの円を並べることができる。 下から２列目Yが√３から√３＋２の範囲に８つの円を並べることができる。 下から３列目Yが２√３から２√３＋２の範囲に９つの円を並べることができる。 これを一般化すると ａ列目Yが√３（a-1）から√３（a-1）＋２の範囲に並べることができる、となる。 よって、√３（a-1）＋２≦１８より　a≦10.2より１０列目まで並べることができる。 また下から奇数列目は９つの円を、偶数列目は８つの円を並べることができるから 但し、９列目のY座標は13.85から15.85までなので、１０列目に２以上の余裕ができるから、 １０列目は偶数目でも９つの円を並べることができる。 よって、9*6+8*4＝８６円

http://homepage2.nifty.com/yopida/

　

55 何度も間違えてごめんなさい。 ろろ - 2003/07/01 06:53 -
 でも、どうしても８６になっちゃうんです。 ９段まで積むと高さが ２＋８√３≒１５．９ すると、あと隙間が１８−１５．９＝２．１ｃｍできて 最後の段には９個入ると思うんです。 ９＋８＋９＋８＋９＋８＋９＋８＋９＋９＝８６ だめですか？ まだ、寝ぼけているかも

http://www1.ttcn.ne.jp/~roro/

　

　

その他メールで頂きました。

＜ビッキー　さん＞
　9個の列５と8個の列4の幅を計算すると、3枚の1円で出来る正三
角形の高さから√3×8＋2≒15.8ｃｍとなる。更に18−15.8＝2.2で1円
が9×1列入る。

＜テモ　さん＞
直感で９，８，９，８，９，８，９，８，９となって４個少ないが最後
に１列入るので結局増える。９個入るか列の幅を計算したら２cmを超え
るので、９個入り合計８６個

＜BB　さん＞
円の中心同士を結ぶ図形が正方形を形成する場合（問題の初期状態）、
単位面積あたりの円の占有率は約７８％なのに対し、円の中心同士を結
ぶ図形が正三角形を形成する場合、単位面積あたりの円の占有率は９
０％超に達するため、できる限り円の中心同士を結ぶ図形が正三角形に
なるような並べ方を繰り返すのが効率がよい。

３つの円の中心が作る正三角形は１辺が２cm
底辺を額の底辺と平行に並べると高さがsqrt(3)cm
９つの円を額の底辺に沿って並べる場合の円の中心が、
底辺16cm、高さ8*sqrt(3)cmの正三角形を成すように並べると、
底辺から、9円,8円,9円,8円,9円,8円,9円,8円,9円の77円が並ぶ。
さらに上部に2cm以上の隙間があるので、9円を並べることができる。
以上で、合計77円＋9円の86円

＜teki　さん＞
１円玉の並べ方として最大になるのは、１段目から順に交互に積む並べ方で、

９、８、９、８、９、８、９、８、９、９の合計８６枚が最大です。
　交互に並べると高さが２ではなく、１+√３/２になる