「今月の問題」　第５０回　（平成１５年１１月）

　
上図を見てください。
１の数字を中心にして、その周りに２、３・・・・・というように囲んでいきます。
３まで囲んだところで、全ての数字を合計すると、６５になっています。
　
ここで問題です。このようにして１０まで囲んでいくと、合計した数字はいくらになるでしょうか。　

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１カバシン　さん2003/11/1　0:03福岡大学生　
　２ ろろ　さん2003/11/1　0:03神奈川県　
　３なにわ　さん2003/11/1　0:03西宮市　
　４nobu　さん2003/11/1　0:04　
　５kasama　さん2003/11/1　0:05和歌山県プログラマ　
　６佐藤 広宣　さん2003/11/1　0:12　
　７山羊　さん2003/11/1　0:13　
　８奥入瀬　さん2003/11/1　0:13東京都　
　９neo　さん2003/11/1　0:16　
１０モルモット大臣　さん2003/11/1　0:27モルモット王国in岐阜
１１寺脇　犬　さん2003/11/1　0:30　
１２teki　さん2003/11/1　0:45　
１３安楽　さん2003/11/1　1:37宮崎県小林市
１４ 呑　さん2003/11/1　3:37　
１５miya　さん2003/11/1　5:54　
１６経友会の進作　さん2003/11/1　6:17京都府木津町・６５歳　
１７信三　さん2003/11/1　6:38シリコンバレーの住人　
１８TM　さん2003/11/1　７:47　
１９Michael　さん2003/11/1　8:43　
２０ ほげ　さん2003/11/1　9:18北の隠れ家　
２１巷の夢　さん2003/11/1　10:41宮城県出身　
２２zizi　さん2003/11/1　11:25東京都　
２３ちず　さん2003/11/1　15:03愛媛県松山市
２４みかん　さん2003/11/1　15:07　
２５なおっち　さん2003/11/1　18:07佐賀県中学生　
２６阿久根孝宜　さん2003/11/1　20:54名瀬市　
２７フィリピンの鷹　さん2003/11/1　23:35　
２８ mhayashi　さん2003/11/2　0:34大阪府　
２９MARORINE　さん2003/11/2　2:16福岡県在住、某進学塾講師　
３０元先生の教え子　さん2003/11/2　14:25兵庫県某高校　
３１ビッキー　さん2003/11/2　20:06名古屋市　
３２ 有無相生　さん2003/11/2　20:08神奈川県、会社員　
３３ あつきパパ　さん2003/11/2　20:41０歳児の父　
３４すてっぷ　さん2003/11/3　13:47東京都　
３５こ　さん2003/11/3　22:03石川県金沢市四十万　
３６永弘 世之介　さん2003/11/3　22:26東京都　
３７JIRO　さん2003/11/4　10:12兵庫県豊岡市　
３８ＨＫ　さん2003/11/5　22:25富山市寺町　自営業　
３９ 算数の森　さん2003/11/6　12:38兵庫県　
４０ＫＥＮ　さん2003/11/6　20:15中学生です　
４１荻野菜穂　さん2003/11/6　23:05愛知県名古屋市　
４２勇水　さん2003/11/6　23:22高知県土佐山田町　
４３テモ　さん2003/11/7　23:13広島市の美鈴が丘
４４浜田　明巳　さん2003/11/8　8:56　
４５yan　さん2003/11/8　21:08　
４６じじ　さん2003/11/9　17:00　
４７michiko　さん2003/11/9　22:13高一
４８sato　さん2003/11/14　22:09　
４９１１月　さん2003/11/16　9:58兵庫県上郡　
５０MAM　さん2003/11/16　23:01沖縄県　
５１debumari　さん2003/11/17　22:18受験生のママ　
５２wakakou　さん2003/11/19　14:36宮城県　
５３ゴンとも　さん2003/11/19　22:51YMOチルドレン in  豊川市　
５４atsuo　さん2003/11/19　19:04大阪　大学生　
５５あきら　さん2003/11/21　19:23北海道中学数学教諭　
５６ISAMU　さん2003/11/21　20:21三重県　
５７HAJI　さん2003/11/24　13:20　
５８スモークマン　さん2003/11/25　15:03　
５９tom　さん2003/11/25　18:51千葉県で塾講師してます!
６０太宝パパ　さん2003/11/29　2:05　
６１ okada　さん2003/11/29　21:4711歳です。竹野町出身　

答えは、２６４１でした。

以下のような回答を頂きました。

MARORINE　さん
【解説】１＋２×２×４＋３×４×４＋４×６×４＋５×８×４＋６×
１０×４＋７×１２×４＋８×１４×４＋９×１６×４＋１０×１８×
４＝２６４１

スモークマン　さん
ただの計算かな・・・
2*（10*36+9*32+8*28+7*24+6*20+5*16+4*12）+65＝2641

ゴンとも　さん
 一般式でやるべき　
8ｎ（ｎ+1）（ｎ-1）/3+1
ｎ=3　で問題文例　　8・3・4・2/3+1＝65
ｎ=10　で問題の解答　8・10・11・9/3+1＝2641

MAM　さん
 ｎ番目の外側の個数は（２ｎ−１）2乗ー（２ｎ−３）2乗個になる。
ｎ番目の和はｎ×（２ｎ−１）2乗ー（２ｎ−３）2乗
　　　　　　＝８ｎ（ｎ−１）（ｎ≧２）
よってｎ番目までのすべての和Ｓは
　　　　　　　　　ｎ
　　　　Ｓ＝１＋８狽求iｋ−１）
　　　　　　　　ｋ＝２
これを解くと
　　　　Ｓ＝８／３ｎ3乗−８／３ｎ＋１
ｎ＝１０を代入すると
Ｓ＝２６４１
よって10番目までの和は２６４１になる。

テモ　さん
 一般式：1+n(n+1)(n+2)/3 でn=9を代入して2641

　

浜田明巳さんには、エクセルのマクロを使って解いたプログラムを送っていただきました。

あつきパパ　さん
 １行目　１
２行目　１＋２×８
３行目　１＋２×８＋３×１６
４行目　１＋２×８＋３×１６＋４×２４
（以下前の行から、かけられる数が８ずつ増えていくかたち）
よって、１０行目
１＋２×８＋３×１６＋４×２４＋５×３２＋６×４０＋７×４８
＋８×５６＋９×６４＋１０×７２＝２６４１

　

　

掲示板には次のようにコメントいただきました。

133 　適当ですが　　　　　　 どんさん - 2003/11/26 17:08 -
1 + 2*8*1 + 3*8*2 + 4*8*3 + ・・・・ + 10*8*9 = 2641

132 　　　センター試験では一般解を 　　　　ゴンともさん - 2003/11/19 23:53 -
今回初めてです。教科書レベルと思いました。
センター試験の数列ではちょうど10項ぐらいたすもの
があります。
時間的にも公式を使いましょう。
うろでもn=2とかで確かめれば
だいたい公式をおぼえているものです。

131 計算してみました 　　　　　　　tekiさん - 2003/11/14 17:04 -
＃129を計算してみると、
Ｓ（ｎ）＝8/3*（ｎ-1）ｎ（ｎ+1）+1
と、割合きれいな形になりました。
有無相生さんの式とおなじですね。

129 一般解　　　　　　　 tekiさん - 2003/11/02 22:15 -
128のようになることから、
Ｓ（ｎ）＝ｎ（2ｎ-1）＾2-Σ|ｋ=1→ｎ-1|(2n-1)^2
ですね。

128 こんなのはどうでしょう？　　　 tekiさん - 2003/11/02 21:21 -
規則性から
10×19＾2-17＾2-15＾2-13＾2-11＾2-9＾2-7＾2-5＾2-3＾2-1＾2
＝2641　と計算しました。

　

127 漸化式で 　　　有無相生さん - 2003/11/02 20:05 -
中心からｎ番目の色のついた部分の総和をa(n)とすると、
a(1)=1
a(n)=8*n*(n-1) (n>=2)
総和S(n)=1+8/3*(n+1)*n*(n-1)
n=10を代入して、S(10)=2641

　

125 ぎゃはは 　　　　　さくらさん - 2003/11/02 13:51 -
1の周りは8マスで、2の周りは16マス。つまり、8の倍数になっているから、この要領で、10まで、計算して行くと2641になりっました。

　

124 地道に… MARORINEさん - 2003/11/02 02:11 -
１＋２×２×４＋３×４×４＋４×６×４＋５×８×４＋６×１０×４＋…＋１０×１８×４＝２６４１

　

123 なんか法則があるのでしょうが 　　　mhayashiさん - 2003/11/02 00:39 -
1+4*(2*2+3*4+4*6+5*8+6*10+7*12+8*14+9*16+10*18)
をしこしこと計算しました．
http://www005.upp.so-net.ne.jp/m-hayashi/

122 どうやってとくのかなあ 　　　高橋　道広さん - 2003/11/01 09:16 -
数字K　（K>１）の個数　(2k-1)^2-(2k-3)^2=8(K-1)
よって　1+Σ(K=2〜10)k×8(k-1)=1+8Σ(K=1〜10)k(k-1)=
1+8×9×10×11/3=2641
全部の数を10にするには　19×19の正方形の中の数に１を足し
17×17の正方形の中の数に１を足し．…１×１の正方形の中の
数に１を足す。として　全体から引くというのもあるかな　
と思ったけど　これもΣを使うんですよね。
う〜む。。。。
http://micci.sansu.org

121 祝５０回 　　経友会の進作さん - 2003/11/01 09:00 -
　５０回達成おめでとうございます。このサイトが数ある
問題のうちで月間での最初の問題ですから、また新しい月
が来たと思って解かせて貰っています。もう１１月ですね。
　この種の問題は遊び心で解けるから楽しいです。因みに
１０は２６４１、２０は２１２８１、３０は７１９２１。

　

120 うむむ ＬEDさん - 2003/11/01 04:16 -
もしや漸化式使うほどでもない？
a(n)=8/3*n(n+1)(n-1)+1

　

119 ５０回おめでとうございます！ 　呑さん　 - 2003/11/01 03:19 -
５０回おめでとうございます。
今回は（も？）小学生並みに一つ一つ計算してしまいました。
何かいい方法はないのでしょうか？
これからも楽しみにしております。http://www21.ocn.ne.jp/~hopes/

118 #117 追記 　　kasamaさん - 2003/11/01 00:24 -
> 値が１つ大きことに着目します
値が１つ大きく、個数が４つ多いことに着目します

　

117 規則性を見つけて･･･ 　kasamaさん　　 - 2003/11/01 00:20 -
第４５回「有心六角形の問題」とほぼ同じですね^-^。一番内側は扱い難いので除外して、2番目以降の規則性を見つけます。ある周囲の数字は１つ内側にくらべて、値が１つ大きことに着目します。数が小さいので、一般化せずコツコツ足しました。

　

116 いい方法はこれから 　nobuさん - 2003/11/01 00:07 -
シグマを使ってしまいました。
他の方法は明日考えてみます。