「今月の問題」　第５７回　（平成１６年６月）

　

右図のように、グランドに大きな三角形ＡＢＣを書きました。よしお君は、辺ＡＢ上の点Ｐから、辺ＡＣに平行に点Ｐ１まで歩き、点Ｐ１から辺ＡＢに平行に点Ｐ２まで歩きます。このように繰り返して進むと、元の点Ｐまで戻ってきます。

武君は、点Ｐから三角形の辺上を点Ｂ、点Ｃ、点Ａを通って点Ｐまで戻ってきます。

武君とよしお君は、点Ｐを同時にスタートすると、武君が点Ｐに着いてから、４分後によしお君が到着します。
ただし、よしお君の歩く早さは毎秒１ｍ、武君の進む速さを毎秒３ｍです。

ここで問題です。武君は何ｍの道のりを進んだのでしょうか。

（※ただし、点Pは辺ＡＢの中点ではありません。）

　

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１nobu　さん2004/6/1　0:08石川県　
　２ ろろ　さん2004/6/1　0:15神奈川県　
　３なにわ　さん2004/6/1　0:17西宮市　
　４ゴンとも　さん2004/6/1　0:20YMOチルドレンin 豊川市
　５teki　さん2004/6/1　0:25大阪府　
　６寺脇犬　さん2004/6/1　1:00生駒市竜田川の中流
　７あさ　★　さん2004/6/1　1:15千葉県　
　８経友会の進作　さん2004/6/1　7:14京都府木津町・やがて６６歳
　９巷の夢　さん2004/6/1　7:33宮城県出身
１０信三　さん2004/6/1　10:31シリコンバレーの住人
１１ 呑　さん2004/6/1　11:38ただの酔っぱらいで酒　
１２Michael　さん2004/6/1　12:11　
１３スモークマン　さん2004/6/1　17:56目指せ囲碁４段!
１４oguchan1　さん2004/6/1　18:38岡山県
１５ちず　さん2004/6/1　18:58愛媛県
１６ ＴＯＭＯＡＫＩ　さん2004/6/1　19:06大分県　
１７yan　さん2004/6/1　22:56愛知県　
１８kasama　さん2004/6/2　13:15和歌山県プログラマ　
１９ISAMU　さん2004/6/2　17:49三重県　
２０始 受験勉強君　さん2004/6/2　19:19中学1年生 神奈川県　
２１まいくろん　さん2004/6/4　12:14Virginiaの住人　
２２安楽　さん2004/6/4　16:04宮崎県小林市　
２３N.Nishi　さん2004/6/5　2:00大阪府：中学教諭　
２４浜田明巳　さん2004/6/5　8:19　
２５宮　さん2004/6/5　21:24鹿児島県　
２６ルート55　さん2004/6/6　17:13滋賀県　
２７トロイ　さん2004/6/6　22:42兵庫県　
２８Ｂ学生　さん2004/6/8　2:43埼玉県　理学部物理科学生　
２９hamu　さん2004/6/11　15:49　
３０ Xform　さん2004/6/12　21:59千葉県大学１年生
３１あみ〜ご　さん2004/6/13　23:00　
３２乳なし　さん2004/6/14　7:01　
３３石だ　さん2004/6/14　11:58埼玉県春日部市中学３年生　
３４もと　さん2004/6/14　18:14宮城県　
３５HAJI　さん2004/6/14　21:43　
３６こだたん　さん2004/6/16　22:07宮城県在住　
３７奥入瀬　さん2004/6/20　1:34東京都　
３８kota　さん2004/6/24　23:17京都府　
３９enpitukezuri　さん2004/6/26　15:44群馬県　
４０フジ２７時間　さん2004/6/27　3:23香川県　
４１すてっぷ　さん2004/6/30　6:54井の中　

答えは、３６０ｃｍでした。

わたしは、この問題のように平行に進んだら元の位置に戻り、そしてその長さの和が三角形の周りの長さと一致することに興味を持ちました。以下のような解き方をメールで頂きました。

＜ゴンともさんより＞
道のりは同じより
武志君の動いた時間をx秒とすると
3ｘ=x+240 ∴ x=120秒
ここで題意より答えは武志君の進んだ距離より
3*120=360m・・・・・・(答え)

＜tekiさんより＞
 武君とよしお君の歩いた道のりが同じ（これは三角形の相似を利用
すれば証明できます。）

＜浜田明巳さんより＞
点ＰがＰ１（ＢＣ上の点），Ｐ２（ＡＣ上の点），Ｐ３（ＡＢ上の点），Ｐ４（ＢＣ上の点），Ｐ５（ＡＣ上の点），Ｐ'（ＡＢ上の点）と移動するとする．
　平行線の性質から，
　　ＡＰ：ＰＢ
　＝ＣＰ１：Ｐ１Ｂ
　＝ＣＰ２：Ｐ２Ａ
　＝ＢＰ３：Ｐ３Ａ
　＝ＢＰ４：Ｐ４Ｃ
　＝ＡＰ５：Ｐ５Ｃ
　＝ＡＰ'：Ｐ'Ｂ
　故にＰとＰ'は一致する．
　　∴ＰＰ１＋Ｐ１Ｐ２＋Ｐ２Ｐ３＋Ｐ３Ｐ４＋Ｐ４Ｐ５＋Ｐ５Ｐ
　＝ＡＰ２＋ＡＰ＋ＢＰ１＋Ｐ２Ｃ＋ＰＢ＋Ｐ１Ｃ
　＝(ＡＰ＋ＰＢ)＋(ＢＰ１＋Ｐ１Ｃ)＋(ＡＰ２＋Ｐ２Ｃ)
　＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ
　故に武君とよしお君は共に△ＡＢＣの周の長さ分を歩くことになる．
　よしお君のかかった時間をｔ秒とすると，歩いた距離は，
　　１×ｔ＝３×(ｔ−４×６０)
　　∴(３−１)×ｔ＝３×４×６０
　　∴ｔ＝３×４×６０÷(３−１)＝３６０（秒）
　故に歩いた距離は，
　　１×３６０＝３６０（ｍ）
　２人の歩いた距離はそれぞれ３６０ｍである．

（参考）ちなみに点ＰがＡＢの中点のとき，中点連結定理から，Ｐ３とＰが一致し，よしお君は周の半分しか移動しない内にＰに戻ることになる．Ｐがそれ以外のときは，たとえ端点のＡ，Ｂに一致したときでさえ，上記の通りになる

　

＜宮さんより＞
抽象問題なので適当に考える。正三角形だと考え、三等分したときの両
者の距離を考える。そうすると両者の距離は同じになる。よって、速さ
の比の逆比が時間の比なので、
B-@=４
A=４
@=２
となり
武君のかかった時間は２*１=２(分)
よって、距離は２*３*６０=３６０(m）

＜ルート55さんより＞
よしお君がP3から歩いてBCと接する点をP4とする。
□A P P1 P2と□P2 P3 P4 Cは平行四辺形なので辺PP1=辺AP2かつ
辺P3P4=辺P2C
∴　PP1+ P3P4＝AP2+ P2C　
　　　　　　　=AC
同様に考えるとよしお君の歩く距離は三角形ABCの外周と等しくな
る。
武君も題意より三角形ABCの外周を歩くので両者の歩く距離は等し
い。
武君の歩く時間をx とすると
    よしお君の歩く距離　1×60×(x+4)
    武君の歩く距離　　　3×60×x
　　　　　　1×60×(x+4)= 3×60×x
　　これを解いて　x=2
求める距離は　3×60×2＝360 m
　　　　答え　360 メートル

＜Ｂ学生さんより＞
 ＡＢの間に点Ｕ，点Ｐ
ＢＣの間に点Ｑ，点Ｒ
ＣＡの間に点Ｓ，点Ｔ
をそれぞれとる。
よしお君は　Ｐ→Ｑ→Ｔ→Ｕ→Ｒ→Ｓ→Ｐの順に点を通過する。
ＡＰ＝（２／３）ＡＢとすると、ＰＢ＝（１／３）ＡＢ-----------（１）

△ＰＢＱ∽△ＡＢＣ　（ＰＱ・ＡＣの平行角の条件より、三角合同）
ＰＱ＝（１／３）ＡＣ
△ＣＴＱ∽△ＣＡＢ　（ＴＱ・ＡＢの平行角の条件より、三角合同）
（１）及び相似な三角形における平行線の条件より、ＢＱ＝（１／３）ＢＣ　ＱＣ＝（２／３）ＢＣ
よって、ＱＴ＝（２／３）ＢＡ

以下同様に、
ＴＵ＝（１／３）ＣＢ
ＵＲ＝（２／３）ＡＣ
ＲＳ＝（１／３）ＢＡ
ＳＰ＝（２／３）ＣＢ

ここで、点ＡＢＣを含まない線の長さをＡＢ，ＢＣ，ＣＡに置き
換えると、
ＰＱ＋ＵＲ＝ＣＡ
ＱＴ＋ＲＳ＝ＡＢ
ＴＵ＋ＳＰ＝ＢＣ

つまり、よしお君と武君の歩く距離Ｘは等しい。
ここで、よしお君の歩く速さをＶ　武君の歩く速さをｖ　（それ
ぞれの単位は　ｍ／ｓ）
よしお君が歩く時間をｔ＋２４０　武君が歩く時間をｔ　（ｔの
単位は　秒）
とすると、次の連立方程式が成り立つ。

Ｖ（ｔ＋２４０）＝Ｘ
ｖｔ＝Ｘ

この連立方程式をｔについて解くと、

ｔ＝２４０Ｖ／（ｖ−Ｖ）

Ｖ・ｖにそれぞれの値を代入すると、
ｔ＝１２０　（秒）となる。

武君の歩く速さは　３（ｍ／ｓ）　だから、
３×１２０＝３６０　（ｍ）　が求める解。

＜Xformさんより＞
 武君とよしお君が歩く距離は等しい。
だから４分間で２人の間にできた差が
よしお君が４分間に歩ける距離２４０ｍであり、
またその差ができるのにかかった時間が１２０秒だから、
その距離をよしお君が進める距離は１２０ｍ。
よって武君が進める距離は１２０＋２４０＝３６０ｍです。

＜石ださん、NOBUさんより＞
道のりが同じなので
　
　ｘ＋２４０＝３ｘ
　　　−２ｘ＝−２４０
　　　　　ｘ＝１２０

　　１２０×３＝３６０　　　
　　　　　　　　　　　　　３６０ｍ

　

＜こだたんさんより＞
問題を見て１）のように推察してから２）のように解答しました
1) PB=hとする（ｈ≠1/2AB)
PP1+P1P2+P2P3+・・・・+PnP＝D（ｍ）とする
ここでｈを限りなく0に近づけるとき　D=BA+AC+CBとなり
武君、よしお君共に同じ距離を移動したと考えられる
所要時間は武君　D/3（秒）　よしお君　D（秒）
また、武君の時間に4分を加えた時間とよしお君の時間が等しいので
D/3+240＝D
∴D=360

２）実際に図を書いて調べるとP6=Pとなることがわかる
PP1　P1P2　P2P3　P3P4　P4P5　P5PはAB　BC　CAと平行になり
複数の平行四辺形が完成する、平行四辺形の対辺はそれぞれ等しいので
PP1+P1P2+P2P3+P3P4+P4P5+P5P＝AB+BC+CAとなる。
AB+BC+CA=Dとすると・・・・（以下１）と共通）

＜奥入瀬さんより＞
 相似を利用すると，二人の進んだ距離は等しい。
あとは面積図を書いて解きました。