「今月の問題」　第６５回　（平成１７年２月）

　学校給食で出された「テトラパック（三角パック）」の牛乳を知っていますか？　その牛乳のテトラパックが消滅の危機にさらされているそうです。
　左図のように一辺が１２cmの正四面体の形をした三角パックに牛乳が隙間なく入っているとします。
　この三角パックの牛乳を、一辺が１２cmの正四角柱の形をした牛乳パックに移し変えます。

　ここで問題です。移し変えた後の牛乳の高さは何cmになるでしょうか。

※ただし、（ルート２＝1.4）の近似値を用いて下さい。

　また、パックの紙の厚さはないとします。

　

＜正解者一覧表＞　 　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１佐藤 広宣　さん2005/2/1　0:01　
　２N.Nishi　さん2005/2/1　0:08大阪府：中学教諭　
　３Michael　さん2005/2/1　0:09　
　４y.kobayashi　さん2005/2/1　0:10　
　５ ろろ　さん2005/2/1　0:17神奈川県　
　６なにわ　さん2005/2/1　0:19西宮市　
　７藤本悟　さん2005/2/1　0:19大阪府池田市・23才・卒論で忙しい
　８ゴンとも　さん2005/2/1　0:24　
　９寺脇犬　さん2005/2/1　0:38生駒市　
１０nobu　さん2005/2/1　0:51石川県　
１１経友会の進作　さん2005/2/1　7:06京都府木津町・６６歳　
１２ カッパの呑ちゃん　さん2005/2/1　9:17ただのカッパで酒
１３奥入瀬　さん2005/2/1　10:09東京都　
１４巷の夢　さん2005/2/1　11:57　
１５日本酒only　さん2005/2/1　13:00　
１６勇水　さん2005/2/1　23:21高知県土佐山田町　
１７Plutonian　さん2005/2/2　1:08冥界より　
１８ なか　さん2005/2/2　8:06北海道
１９浜田明巳　さん2005/2/2　13:20　
２０kasama　さん2005/2/2　13:26和歌山県プログラマ　
２１安楽　さん2005/2/2　15:28　
２２akira　さん2005/2/2　18:40東京都　
２３YOU　さん2005/2/2　22:49　
２４おか　さん2005/2/3　17:08神奈川県中学生
２５なおっち　さん2005/2/3　20:57佐賀県　高校生
２６プロビーム　さん2005/2/4　1:22埼玉県熊谷市
２７寝る坊主　さん2005/2/4　22:17　
２８カエ　さん2005/2/5　10:20千葉県
２９宮　さん2005/2/5　15:23鹿児島県
３０masa　さん2005/2/7　0:31山口県
３１ 高田一輝　さん2005/2/7　1:59愛知県在住の中学生
３２荻野菜穂　さん2005/2/8　14:08愛知県名古屋市
３３ ほげ　さん2005/2/9　19:19北の隠れ家
３４ あつきパパ　さん2005/2/10　22:15愛知県、１歳児と０歳児の父
３５ちず　さん2005/2/12　22:35　
３６クマーダン　さん2005/2/13　14:43福島県
３７oguchan1　さん2005/2/13　20:12岡山県
３８竹中３年10番　さん2005/2/14　15:42竹野町
３９フジ２７時間　さん2005/2/16　5:17香川県
４０小６!!!（マジで）鉄道アニマル　さん2005/2/16　17:28小学６年生（東京都）
４１オカムラスト　さん2005/2/16　22:47埼玉県熊谷市
４２ みのおじ　さん2005/2/20　13:56ぷち先生
４３una　さん2005/2/23　14:53東京
４４ nakka　さん2005/2/24　0:42個別指導塾講師
４５すてっぷ　さん2005/2/27　7:15　

正解は、１．４ｃｍでした。

次のような素敵な解答を掲示板に書いていただきました。

＜ゴンとも　さんより：2005/02/01(Tue) 00:24＞
小さいですね。でてたのにやりなおしました。
以下自分なりの回答です。
先ず、題意のテトラパックの底面積は
6*6*sqrt(3)=36*sqrt(3)・・・・・・@
高さはsqrt(12^2-(6*2*sqrt(3)/3)^2)=sqrt(96)=4*sqrt(6)
これと@とよりテトラパックの体積は
expand(4*sqrt(6)*36*sqrt(3)/3)=48*sqrt(3)*sqrt(6)=144*sqrt(2)・・・・・・A
またそうでないパックの底面積は12^2=144より
これとAとよりそうでないパックの高さ
=1.4・・・・・・(答え)

　

＜ゴンとも　さん：2005/02/01(Tue) 01:55＞
自分は正三角形の面積は60,30,90度の直角三角形が2つで
a/2掛けるsqrt(3)*a/2でa^2*sqrt(3)/4
正四面体の頂点から垂線をおろすと底面の重心が足で
sqrt(3)*a/2に2/3掛けてこれと斜辺がaで
三平方の定理でsqrt(a^2-(a*sqrt(3)*2/(2*3))^2)で高さがそして体積は
expand((a^2*sqrt(3)/4)*sqrt(a^2-(a*sqrt(3)*2/(2*3))^2)/3);
sqrt(2)*a**2*ABS(a)/12.0=a^3*sqrt(2)/12

　

＜なか　さん：2005/02/02(Wed) 08:20＞
１辺１２ｃｍの立方体から４隅を切り落とした正四面体の体積は、
立方体の１/３つまり、高さ４ｃｍ分になります。
（１）問題のテトラパックは辺の長さがその０．７倍なので、
体積は０．７＾３倍。４×０．７＾３＝１．３７２
（２）または、４÷２√２＝２÷０．７＝１０/７
（３）または、４÷２√２＝√２＝１．４
√に近似値を使うと、答の表現もいろいろです。

　

＜寺脇犬 さん：2005/02/08(Tue) 01:34＞
立方体の８つの頂点のうち、辺で繋がらない４つの頂点を各々むすび各面の対角線を通るように　四隅を切断すると　切り取った立体
は、合同な４個の三角すい（これは　ひとつの頂点に３つの直角が
集まった三角すい）で　残った立体は　元の立方体の６本の対角線
の長さが等しいところから　正四面体になるんですネ。
　元の立方体の１辺の長さを１とすると　その対角線は√2ですよね。　ところで　この切り取った三角すいの体積は　底面積が正方形の面積の半分で元の立方体の体積の　1/6　ですね。
と言うことは　残った正四面体の体積は　１−（1/6)×４より
元の立方体の1/3
以上より　１辺が√2の正四面体の体積は　1/3
これを一般的に言うと、１辺ａの正四面体の体積を　Ｖとすると
　Ｖ：ａ^3 = 1/3 : (√2 )^3 　より
　　Ｖ＝（√2 / 12） ×　ａ^3　ですね。

　

また、メールでも次のような解答を頂きました。

＜あつきパパ　さん＞
 底辺の座標を(0,0,0),(12,0,0),(6,6√3,0)とすると、
頂点は(6,2√3,4√6)
よって正四面体の体積は12*6√3*1/2*4√6*1/3=144√2
正四角柱の底面積は12*12=144
よって144√2÷144=√2≒1.4

＜浜田明巳　さん＞
テトラパックの正四面体ＯＡＢＣの１辺の長さをａとする．
　頂点Ｏから，対面の正三角形ＡＢＣに降ろした垂線の足は，その正三角形ＡＢＣの重心Ｇである．
＜図略＞

　ＡからＢＣに降ろした中線ＡＨの長さは，正三角形ＡＢＣなので，
　　ＡＨ＝√３／２×ａ
　ＡＧ：ＧＨ＝２：１から，
　　ＡＧ＝ＡＨ×２／３＝√３／２×ａ×２／３＝ａ／√３
　ＯＧ⊥ＡＨから，直角三角形ＯＡＧにおいて，
　　ＯＧ＝(ＯＡ２−ＡＧ２)１／２＝(ａ２−ａ２／３)１／２＝√２／√３×ａ
　故に正四面体ＯＡＢＣの体積は，
　　１／３×正三角形ＡＢＣの面積×ＯＧ＝１／３×(√３／４×ａ２)×(√２／√３×ａ)＝√２／１２×ａ３
　ａ＝１２を代入すると，
　　√２／１２×１２３＝√２×１２２（ここら辺で，１辺の長さが１２である必然性が見えてくる）
　求める牛乳パックの正四角柱の高さをｈとすると，正四角柱の体積は，
　　１２２×ｈ＝√２×１２２
　　∴ｈ＝√２≒１.４（cm）


＜経友会の進作　さん＞
（１）：一辺12cmの三角パックの体積は、一辺12÷√2=6√2cmの立方体から
　　　底面積6√2cm×6√2cm×1/2=36cm＾2、高さ6√2cmの四面体を4個取り
　　　除いたものである。従って6√2＾3（1-2/3）=432√2×1/3=432×1.4×1/3=
　　　201.6立方cm。
（２）：一辺12cmの正四角柱の形の牛乳パックでの求める高さをXcmとする。
（３）：12×12×X= 201.6なので、X= 201.6÷144=1.4。
（４）：求める答えは1.4cmです。