「今月の問題」　第６８回　（平成１７年５月）

　よしお君は、コンテナ船のイメージ図を書きました。
　左図を見て下さい。線分ＡＢの長さは１７cm、線分ＣＤの長さは７ｃｍになっています。また、２つの線分は平行な位置関係です。そして、ＡＢに平行な線分ＰＱをひきました。

　　ここで問題です。赤い台形PQCDの面積と黒い台形ABPQの面積が全く同じになるとき、線分ＰＱの長さは何cmになるでしょうか。

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１寺脇犬　さん2005/5/1　0:03生駒市　
　２ 呑　さん2005/5/1　0:04　
　３ ろろ　さん2005/5/1　0:06神奈川県
　４ゴンとも　さん2005/5/1　0:08豊川市　
　５ mhayashi　さん2005/5/1　0:10天下の台所　
　６ＴＯＭＯＡＫＩ　さん2005/5/1　0:11　
　７N.Nishi　さん2005/5/1　0:12大阪府：中学教諭　
　８Nの悲劇　さん2005/5/1　0:56兵庫県　
　９oguchan1　さん2005/5/1　1:01岡山県　
１０経友会の進作　さん2005/5/1　1:45京都府木津町・６６歳　
１１akira　さん2005/5/1　6:50東京都　
１２カエ　さん2005/5/1　9:49千葉県　
１３藤本悟　さん2005/5/1　10:55大阪府池田市・23才・会社やめたい
１４kasama　さん2005/5/1　11:44和歌山県プログラマ　
１５中１!!!鉄道アニマル　さん2005/5/1　12:32小学６年生（トーキョー）
１６巷の夢　さん2005/5/1　13:59宮城県出身　
１７いちもくa　さん2005/5/1　15:33　
１８燕陣内　さん2005/5/1　15:38　
１９なおっち　さん2005/5/1　16:06　
２０ nakka　さん2005/5/1　17:48個別指導塾講師　
２１robin759　さん2005/5/1　18:12　
２２なにわ　さん2005/5/1　20:56西宮市　
２３フジ２７時間　さん2005/5/1　21:09香川県　
２４masa　さん2005/5/1　22:10山口県　
２５信三　さん2005/5/2　15:07シリコンバレーの住人
２６nobu　さん2005/5/2　19:22石川県　
２７teki　さん2005/5/2　23:25大阪府　
２８y.kobayashi　さん2005/5/3　0:09京都府出身　
２９ 高田一輝　さん2005/5/3　10:04愛知県の中３　
３０奥入瀬　さん2005/5/6　0:39東京都　
３１寝る坊主　さん2005/5/6　1:32　
３２浜田明巳　さん2005/5/7　16:05　
３３スモークマン　さん2005/5/7　18:48目指せ囲碁5段！
３４kaizer　さん2005/5/7　21:41現　私立海城中学校
３５ ほげ　さん2005/5/7　22:48北の隠れ家　
３６安楽　さん2005/5/9　10:08宮崎県
３７おじん　さん2005/5/11　19:29広島市
３８川村高雅　さん2005/5/12　6:00神奈川県
３９okaka　さん2005/5/13　14:27在豪社会人
４０ウジミヤジュン　さん2005/5/14　15:41　
４１Michael　さん2005/5/15　15:31　
４２hopper　さん2005/5/15　20:54岡山県　
４３lapin　さん2005/5/21　12:58　
４４ あつきパパ　さん2005/5/21　18:00愛知県、2歳児と0歳児の父　
４５勇水　さん2005/5/22　23:15高知県土佐山田町　
４６ 法春　さん2005/5/23　15:47　
４７おとおさん　さん2005/5/23　16:32三重県　
４８けん　さん2005/5/27　21:17長野県小布施町　
４９すてっぷ　さん2005/5/28　8:50　

答えは１３ｃｍでした。

　

投稿者：ゴンとも　さん　 投稿日：2005/05/01(Sun) 00:52

自分なりの解答です。
先ず、題意の図で直線AC,BDとの交点をEとし
また題意での答えであるPQ=tとして
相似な図形の面積は辺比の2乗であることを使うと
△ABE : △PQE : △DCE = 17^2(=289) : t^2 : 7^2(=49)
これと題意の図より
□APQB=△ABE-△PQE=289-t^2
□QPCD=△PQE-△CDE=t^2-49
これが題意で等しいので
289-t^2=t^2-49
この方程式を解いて
t=13・・・・・・(答え)

　

投稿者：tekiさん　　 投稿日：2005/05/02(Mon) 23:28

全く同じ問題ですね。
計算方法は

√（（７＾２＋１７＾２）÷２）＝１３

で一発です。

　


経友会の進作　さんより

（１）：ACの延長線とBDの延長線の交点をEとすると、三角形ABE、三角形PQE,
　　　三角形CDEは相似形である。
（２）：相似な三角形の面積比は夫々の対応する辺の二乗に比例するので、
　　　線分PQの長さをXcmとすると、題意より17＾2-X＾2=X＾2-7＾2である。
（３）：（２）を解いて、289-X＾2=X＾2-49より、2X＾2=338、X＾2=169。
（４）：X＞0なのでX=13。求める答えは13cmです。

高田一輝　さんより

PQ=7+x　とおくと、
AP:PC=10-x:x　となるので、
(7+7+x)*x/2=(17+7+x)(10-x)/2
x^2-14x-120=0
(x-6)(x+20)=0
∴x=6,-20
ここで、xは正の数より、x=6
だから、PQ=6+7=13

奥入瀬　さんより

Ｄを通ってＡＣに平行な線をひき、その線とＡＢ、ＰＱとの交点を
それぞれＥ、Ｆとする。
□ＡＢＰＱと□ＰＱＣＤの高さの比を1−ｔ：ｔとすると、
ＥＢ＝10、ＦＱ＝10ｔ
□ＰＱＣＤ＝□ＰＦＣＤ＋△ＦＱＤ＝7ｔ＋5ｔ^2…@
□ＡＢＰＱ＝□ＡＥＰＦ＋□ＥＢＦＱ＝(7−7ｔ)＋(5−5ｔ^2)…A
@＝Aで、ｔ＞0より
ｔ＝3/5
よって、ＰＱ＝7＋10×3/5＝13

　

浜田明巳さんより

Visual Basicで解きました．乱数を使い，その都度違う船を描くようにしています．
　このプログラムにより，ＰＱ＝１３cmである事が分かります．

Option Explicit
Const WAKU As Double = 5
Sub Form_Load()
    Picture1.BackColor = vbWhite
    Picture1.Scale (-WAKU, 10 + WAKU)-(17 + WAKU, -7 - WAKU)
    Picture2.BackColor = vbWhite
    Picture3.Picture = LoadPicture("challe_74.gif")
End Sub
Sub Command1_Click()
    Randomize Timer
    Dim Ax As Double
    Dim Ay As Double
    Dim Bx As Double
    Dim By As Double
    Dim Cx As Double
    Dim Cy As Double
    Dim Dx As Double
    Dim Dy As Double
    Dim Px As Double
    Dim Py As Double
    Dim Qx As Double
    Dim Qy As Double
    Dim Rx(3) As Double 'bridge
    Dim Ry(3) As Double
    Dim Pxx As Double
    Dim Pyy As Double
    Dim Qxx As Double
    Dim Qyy As Double
    Dim Py_max As Double
    Dim Py_min As Double
    Dim Py_max0 As Double
    Dim Py_min0 As Double
    Dim S1 As Double
    Dim S2 As Double
    Dim PQ As Double
    Dim kizami As Double
    Dim min As Double
    Dim sa As Double
    Dim dankai As Integer
    Dim j As Integer
    '
    Cx = 0
    Cy = 0
    Dx = 7
    Dy = 0
    Ax = -WAKU * Rnd
    Ay = 1 + WAKU * 2 * Rnd
    Bx = Ax + 17
    By = Ay
    Rx(0) = Ax + WAKU * Rnd
    Ry(0) = Ay
    Rx(1) = Rx(0)
    Ry(1) = Ry(0) + WAKU * Rnd
    Rx(2) = Rx(1) + WAKU * Rnd
    Ry(2) = Ry(1)
    Rx(3) = Rx(2)
    Ry(3) = Ry(0)
    kizami = 0.01
    Py_max0 = Ay - kizami
    Py_min0 = kizami
    min = 1000000
    For dankai = 1 To 14
      If dankai = 1 Then
        Py_min = Py_min0
        Py_max = Py_max0
      Else
        Py_min = max2(Pyy - kizami, Py_min0)
        Py_max = min2(Pyy + kizami, Py_max0)
        kizami = kizami * 0.1
      End If
      For Py = Py_min To Py_max Step kizami
        Px = (Cx - Ax) / (Cy - Ay) * (Py - Ay) + Ax
        Qy = Py
        Qx = (Dx - Bx) / (Dy - By) * (Qy - By) + Bx
        PQ = Qx - Px
        S1 = (PQ + 17) * (Ay - Py) * 0.5
        S2 = (PQ + 7) * (Py - Cy) * 0.5
        sa = Abs(S1 - S2)
        If min > sa Then
          min = sa
          Pxx = Px
          Pyy = Py
          Qxx = Qx
          Qyy = Qy
        End If
        Picture2.Cls
        Picture2.Print "PQ="; PQ; "cm(?), 誤差="; min; "cm"
        Picture1.Cls
        Picture1.Line (Pxx, Pyy)-(Qxx, Qyy), vbGreen
        Picture1.Line (Ax, Ay)-(Cx, Cy), vbBlack
        Picture1.Line -(Dx, Dy), vbBlack
        Picture1.Line -(Bx, By), vbBlack
        Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
        Picture1.Line (Px, Py)-(Qx, Qy), vbGreen
        Picture1.PSet (Rx(0), Ry(0)), vbBlack
        For j = 1 To 3
          Picture1.Line -(Rx(j), Ry(j)), vbBlack
        Next j
        Picture1.CurrentX = Ax
        Picture1.CurrentY = Ay
        Picture1.Print "A"
        Picture1.CurrentX = Bx
        Picture1.CurrentY = By
        Picture1.Print "B"
        Picture1.CurrentX = Cx
        Picture1.CurrentY = Cy
        Picture1.Print "C"
        Picture1.CurrentX = Dx
        Picture1.CurrentY = Dy
        Picture1.Print "D"
        Picture1.CurrentX = Px
        Picture1.CurrentY = Py
        Picture1.Print "P"
        Picture1.CurrentX = Qx
        Picture1.CurrentY = Qy
        Picture1.Print "Q"
      Next Py
    Next dankai
    Picture2.Cls
    Picture2.Print "PQ="; PQ; "cm, 誤差="; min; "cm"
    Picture1.Cls
    Picture1.Line (Ax, Ay)-(Cx, Cy), vbBlack
    Picture1.Line -(Dx, Dy), vbBlack
    Picture1.Line -(Bx, By), vbBlack
    Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
    Picture1.Line (Pxx, Pyy)-(Qxx, Qyy), vbGreen
    Picture1.PSet (Rx(0), Ry(0)), vbBlack
    For j = 1 To 3
      Picture1.Line -(Rx(j), Ry(j)), vbBlack
    Next j
    Picture1.CurrentX = Ax
    Picture1.CurrentY = Ay
    Picture1.Print "A"
    Picture1.CurrentX = Bx
    Picture1.CurrentY = By
    Picture1.Print "B"
    Picture1.CurrentX = Cx
    Picture1.CurrentY = Cy
    Picture1.Print "C"
    Picture1.CurrentX = Dx
    Picture1.CurrentY = Dy
    Picture1.Print "D"
    Picture1.CurrentX = Pxx
    Picture1.CurrentY = Pyy
    Picture1.Print "P"
    Picture1.CurrentX = Qxx
    Picture1.CurrentY = Qyy
    Picture1.Print "Q"
End Sub
Sub Command2_Click()
    Unload Me
End Sub
Private Function max2(ByVal x As Double, ByVal y As Double) As Double
    If x > y Then
      max2 = x
    Else
      max2 = y
    End If
End Function
Private Function min2(ByVal x As Double, ByVal y As Double) As Double
    If x < y Then
      min2 = x
    Else
      min2 = y
    End If
End Function

　　　　　　　　

スモークマンさんより

ｘ＾２−７＾２＝１７＾２−ｘ＾２
２ｘ＾２＝１７＾２＋７＾２＝３３８
ｘ＾２＝１６９＝１３＾２
ｘ＝１３

おじん　さんより

 まず、タンカーの図形を変形する
∠ＢＡＣが直角になるように、直線ＡＣを延長する
その延長線の直線にＡＢと同じ長さの点をＥとする
直線ＡＥ上にＣＥが７ｃｍになるように点Ｃを、
直線ＡＢに平行にＣＤ、
直線ＡＣの上に点Ｐ、直線ＡＢに平行に直線ＰＱ、
点Ｄから直線ＡＢに垂線を引き、直線ＰＱとの交点をＲとする

題意より明らかに、ＣＤ＝ＣＥ＝ＰＲ＝７ｃｍ
ＡＣ＝ＦＢ＝１０ｃｍ
ＰＣ＝ＲＱ＝ＲＤ＝？ｃｍ
求めるＰＱ＝ＰＲ＋ＲＱ＝７＋？ｃｍ

ここで台形ＡＢＣＤの面積は（単位は省略）、
（ＡＢ＋ＣＤ）ｘＡＣ／２＝（７＋１０＋７）Ｘ１０／２＝１２０
求める面積（＝２等分する面積）は６０

台形ＰＱＣＤ＝四角形ＰＲＣＤ＋直角形ＲＱＤ
ＰＣを６ｃｍとすると、面積は、
７ｘ６＋６ｘ６／２＝４２＋１８＝６０

従って求める長さＰＱ＝７＋６＝１３ｃｍ

okaka　さんより

求めたい値をxとし、高さをそのときの高さを、h1、h2とする。
それぞれの面積は、(7+17)(h1+h2)*1/2*1/2なので、
(7+x)*h1*1/2=(7+17)(h1+h2)*1/2*1/2
(x+17)*h2*1/2=(7+17)(h1+h2)*1/2*1/2
から、連立させて、
x=13