「今月の問題」 第７１回 （平成１７年８月）
|
あるＨＰから見つけたパピルスの写真画像です。
古代エジプトでは８〜９世紀ごろまで、紙を作るために栽培されてきました。
この茎の白い髄を裂いて編んだものがパピルス紙です。
今月は、エ
ジプトの僧侶アーメスが、ヒエラティコスで書き残した「アーメスのパピルス」の問題を出題しました。
英語で紙のことを「ペーパー」というのは、この「パピルス」という言葉からでたのだということを知っていましたか。
|
古代エジプトにおける分数は、1/2、1/3、1/4のような分子が１の分数（単位分数）を用い、いろいろな分数を単位分数の和の形で表していました。
たとえば、3/4は、ことなる単位分数の和1/2＋1/4の形で表しました。
紀元前１７世紀のアーメス・パピルスという巻物につぎのような分数がのっていました。
2/11＝1/6＋1/66
2/7＝1/ａ＋1/14＋1/ｂ |
ここで問題です。ａ，ｂにあてはまる数を考えると、
アーメス・パピルスに残されているように（ａ，ｂ）＝（6,21）が考えられます。
これ以外の（ａ，ｂ）の組み合わせを見つけて下さい。
※ ただし（ａ＜14＜ｂ）とします。
|
＜正解者一覧表＞
| 正解者順位 |
ｎａｍｅ |
メール到着日時 |
備 考 |
| １ |
ろろ さん | 2005/8/1 0:29 | 神奈川県 |
| ２ | 小林 祥久 さん | 2005/8/1 0:39 | |
| ３ | lapin さん | 2005/8/1 0:46 | 大阪府交野市 |
| ４ | 寺脇犬 さん | 2005/8/1 0:51 | |
| ５ | teki さん | 2005/8/1 2:52 | 大阪府 |
| ６ | ふじも さん | 2005/8/1 4:16 | 大阪府池田市 |
| ７ | 信三 さん | 2005/8/1 6:21 | シリコンバレーの住人 |
| ８ | 巷の夢 さん | 2005/8/1 7:07 | 宮城県出身 |
| ９ | 経友会の進作 さん | 2005/8/1 7:23 | 京都府木津町・67歳 |
| １０ | kasama さん | 2005/8/1 10:19 | 和歌山県プログラマ |
| １１ | カエ さん | 2005/8/1 10:22 | 千葉県 |
| １２ | グランパ さん | 2005/8/1 15:16 | 木綿子のグランパ |
| １３ | スモークマン さん | 2005/8/1 15:59 | 目指せ囲碁５段！ |
| １４ | なにわ さん | 2005/8/1 19:24 | 西宮市 |
| １５ | 勇水 さん | 2005/8/1 20:50 | 高知県土佐山田町 |
| １６ | 翔 さん | 2005/8/1 21:07 | 香川県 |
| １７ | nobu さん | 2005/8/1 21:35 | 石川県 |
| １８ | ゴンとも さん | 2005/8/1 21:46 | 豊川市 |
| １９ | oguchan1 さん | 2005/8/1 22:29 | 岡山県 |
| ２０ | (＠＿＠；) さん | 2005/8/1 23:54 | |
| ２１ | akira さん | 2005/8/2 6:14 | 東京都 |
| ２２ | いちもく さん | 2005/8/2 6:19 | 東京・立川の住人 |
| ２３ |
またもや忘れていた呑 さん | 2005/8/2 10:02 | お馬鹿で酒 |
| ２４ |
リンデン さん | 2005/8/2 16:39 | 長崎県 |
| ２５ | 中１!!!（マジで）鉄道アニマル さん | 2005/8/2 19:53 | |
| ２６ | 浜田明巳 さん | 2005/8/3 11:35 | |
| ２７ | カザオカ さん | 2005/8/3 14:48 | |
| ２８ | ＼（@＾∇＾@）／さん | 2005/8/3 20:29 | 東京都 |
| ２９ |
安曇野山峯農園 さん | 2005/8/3 20:38 | 長野県のりんご農家 |
| ３０ | プロビーム さん | 2005/8/3 21:41 | 埼玉県熊谷市 |
| ３１ |
ほげ さん | 2005/8/4 2:01 | 北の隠れ家 |
| ３２ | 海の大好きなおとおさん さん | 2005/8/4 18:16 | |
| ３３ | y.okada さん | 2005/8/4 23:32 | |
| ３４ | 寝る坊主 さん | 2005/8/5 3:07 | |
| ３５ |
あつきパパ さん | 2005/8/6 20:18 | 愛知県、２歳児と０歳児の父 |
| ３６ | 花ちゃん さん | 2005/8/7 23:19 | 兵庫県 |
| ３７ | ＩＳＡＭＵ さん | 2005/8/ : | 三重県 |
| ３８ | コンピュータが故障してデータがなくなってしまいました。申し訳ありません。 | 2005/8/ : | 広島県？ |
| ３５ |
浮浪 さん | 2005/8/12 7:59 | |
| ４０ | けん さん | 2005/8/17 23:34 | 長野県小布施町 |
| ４１ | 翔鶴 さん | 2005/8/18 19:07 | 福岡 |
| ４２ | ファルコン さん | 2005/8/19 2:43 | 兵庫県 |
| ４３ | ウジミヤジュン さん | 2005/8/23 13:25 | 東京のシャ |
| ４４ | 和久平八郎 さん | 2005/8/24 13:13 | 福岡在住 |
| ４５ | Michael さん | 2005/8/24 15:59 | |
| ４６ |
nakka さん | 2005/8/25 2:36 | 個別指導塾講師＠東京 |
| ４７ | leviath さん | 2005/8/25 5:07 | 神奈川県 |
| ４８ | fisherman さん | 2005/8/26 13:04 | 豊岡市 |
| ４９ | クボＴ さん | 2005/8/30 16:55 | 埼玉の高校生 |
| ５０ |
mhayashi さん | 2005/8/31 21:33 | 天下の台所 |
| ５１ | すてっぷ さん | 2005/8/31 23:49 | |
答えは、（５，７０）でした。
次のようなすてきな回答をいただきました。
ゴンともさんより 投稿日：2005/08/01(Mon) 21:34
xmaximaの1行命令文で
for a:1 thru 13 do ldisplay(solve(2/7=1/a+1/14+1/b,b))$
途中略
(%t5) SOLVE(2/7=1/b+19/70,b) = [b = 70]・・・・・・(答え)a=5
(%t6) SOLVE(2/7=1/b+5/21,b) = [b = 21]・・・・・・問題文の例
以下略
数式処理でsolveで厳密値をだしてくれます。
a=13まででｂがどこまでかわからないから今回はプログラミング言語よりもこっちの方が有効だという。
ほげ さんより 投稿日：2005/08/04(Thu) 01:52
3/14=1/a+1/bから
3ab=14a+14b @
(3a-14)(3b-14)=14^2
14^2の約数で mod3で1であるものを求めると
3a-14=1,4,7から求まります。
@から a<bに気をつけて
3ab=14a+14b<28b
3ab<28bより a<28/3
mod3でa=1より a=1,4,7 としても出ますね
リンデン さんより 投稿日：2005/08/04(Thu) 20:07
1/2=0.5 ,1/3=0.33,1/4=0.25,1/5=0.2,…なので
1/a+1/b=3/14=0.21428…より
1/a=1/5 としてみる〜という解き方が早い…と「中学への算数」（東京出版）にむかし書いてありました。
浮浪 さんより 投稿日：2005/08/12(Fri) 07:59
3/14，つまり3個を14人で分ける。
単位分数にする必要があるので，3個をそれぞれ5等分すると15人分ができる。
14人に1/5ずつ配り，残った1/5を14等分（1/5÷14＝1/70）して14人に配ればよい。
よって，3/14＝1/5＋1/70
和久平八郎 さんより
2/7=1/a + 1/14 + 1/bを整理すると
b= 14a/(3a-14) ・・・@
1<=a<=13で@を満たす自然数bが存在するには、a>=5でなければなら
ないので
5<=a<=13で@かつ（ａ＜14＜ｂ）を満たす自然数(a,b)の組は
(5,70)と(6,21)
よって解は(a,b)=(5,70)
翔鶴 さんより
与式：2/7=1/a+1/14+1/b⇔1/a+1/b=3/14・・・@
今、a＞0,b＞0のもとで、@は、
14(a+b)=3ab とかけて、これをaの関数とbの関数の積の形で表すと、
(3a-14)(3b-14)=2^2×7^2
とかける。
ここで、a＜14＜b・・・Aであるから、
3a-14＜28＜3b-14 となり、
(3a-14,3b-14)=(1,2^2×7^2),(2,2×7^2),(2^2,7^2)
であることがいえて、題意より、a,bが整数であり、また、
(a,b)は(a,b)=(6,21)を除くことを考慮して、
求める(a,b)の組み合わせは、
(a,b)=(5,70)
となり、このときこれは与式及びAを満たす。
∴(a,b)=(5,70)・・・(答)
カザオカ さんより
１/ａ＋１/１４＋１／ｂ＝２／７を通分して整理すると
１４ａ＋１４ｂ−３ａ＝０
⇔(３ａ−１４)(３ｂ−１４)＝１９６ ・・・@
と変形できる。ここでａ＜１４＜ｂより
３ａ−１４＜２８＜３ｂ−１４であり、またａ，ｂが正の整数であるか
ら@を満たす（３ａ−１４，３ｂ−１４）の組は、
（３ａ−１４，３ｂ−１４）＝(１，196)，(２，98)，(４，49)の3組
このうち、(ａ，ｂ)＝（6、21）以外で（ａ，ｂ）が正の整数となるのは
(３ａ−１４，３ｂ−１４)＝(１，196)、すなわち(ａ，ｂ)＝（5、70）
浜田明巳さんより
一番手軽な言語のVBScriptで解きました．
答は，(ａ，ｂ)＝(５，７０)です．
'm0508.vbs
kotae="(a,b)="
kosuu=0
gosa=10^(-12)
for a=1 to 13
b=int(1/(2/7-1/a-1/14))
if abs(2/7-(1/a+1/14+1/b))<gosa and 14<b then
kosuu=kosuu+1
if kosuu>1 then
kotae=kotae&","
end if
kotae=kotae&"("&a&","&b&")"
end if
next
msgbox kotae,vbinformation,"「今月の問題」第７１回（平成１７年８月）"
経友会の進作 さんより
今月の答案です。
（１）：題意より、2/7=1/a+1/14+1/b→14a+14b-3ab=0。
（２）：14a+14b-3ab=0→a=14b/(3b-14)。
（３）：a=1・・・・13の整数なので、(2)の、a=14b/(3b-14)を
満足する(a,b)は(6,21)と(5,70)の2組でそれ以外にはなし。
問われているのは(6,21)以外のものなので(5,70)です。