「今月の問題」　第７６回　（平成１８年１月）

　整数を１個または２個以上の整数の和の形にします。
そして、その分けた整数の積を最大にすることを考えました。

例えば、５について示します。
５＝１＋１＋１＋１＋１とすると、積は１です。
５＝２＋１＋１＋１とすると、積は２です。
５＝２＋２＋１とすると、積は４です。
５＝３＋１＋１とすると、積は３です。
５＝３＋２とすると、積は６です。
５＝４＋１とすると、積は４になり、

最大値は６になります。


ここで問題です。
　ある整数を２個以上の整数の和に分けて、得られた整数の積の最大値を求めたところ、７２９になりました。
ある整数とは、いくらでしょうか。

＜正解者一覧表＞　 　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１teki　さん2006/1/1　0:01大阪府　
　２ 呑ちゃん　さん2006/1/1　0:06　
　３ふじも　さん2006/1/1　0:12大阪府池田市　
　４ mhayashi　さん2006/1/1　0:12天下の台所　
　５ゴンとも　さん2006/1/1　0:35豊川市　
　６y.okada　さん2006/1/1　0:38　
　７Michael　さん2006/1/1　1:12　
　８まゆみ　さん2006/1/1　1:17　
　９信三　さん2006/1/1　3:58シリコンバレーの住人　
１０経友会の進作　さん2006/1/1　9:00京都府木津町・67歳　
１１いちもく　さん2006/1/1　10:58　
１２fisherman　さん2006/1/1　15:55豊岡市　
１３なにわ　さん2006/1/1　18:39西宮市　
１４テ　さん2006/1/1　20:10三重県　
１５京都市の走る同業者　さん2006/1/1　20:35　
１６oguchan1　さん2006/1/1　23:02岡山県
１７スモークマン　さん2006/1/2　15:05今年も目指せ囲碁5段！　
１８巷の夢　さん2006/1/2　17:40宮城県出身　
１９lapin　さん2006/1/2　19:59大阪府交野市　
２０akira　さん2006/1/3　2:57東京都　
２１カエ　さん2006/1/3　5:16　
２２翔鶴　さん2006/1/3　10:26福岡　
２３ ほげ　さん2006/1/4　11:25北の隠れ家　
２４川上智弘　さん2006/1/4　14:43兵庫県出身　
２５N.Nishi　さん2006/1/4　15:29大阪府：中学教諭　
２６y.kobayashi　さん2006/1/5　1:33　
２７日本酒only　さん2006/1/5　15:10　
２８ほしの　さん2006/1/5　17:20　
２９tetsu　さん2006/1/6　9:59　
３０浜田明巳　さん2006/1/6　16:27　
３１kuroneko　さん2006/1/6　23:41静岡県　
３２ ウラル　さん2006/1/9　11:32　
３３たまな　さん2006/1/9　13:06富山県　
３４una　さん2006/1/10　18:15東京都　高1
３５岡本ボンバーズ　さん2006/1/12　4:37秋田県　
３６勇水　さん2006/1/12　22:17高知県土佐山田　
３７kasama　さん2006/1/13　11:08和歌山県プログラマ　
３８Hide　さん2006/1/13　17:16　
３９2709　さん2006/1/13　22:30兵庫県西宮市　
４０翔　さん2006/1/14　22:57香川県　
４１ 浮浪　さん2006/1/15　15:25　
４２nity　さん2006/1/17　14:55石川県　
４３橋本　雄一　さん2006/1/18　18:50頭髪が気になりなじめた２７歳
４４imopy　さん2006/1/20　22:30東京都
４５おとおさん　さん2006/1/22　16:53三重県亀山市
４６nobu　さん2006/1/25　11:25石川県
４７mana　さん2006/1/31　0:20広島県
４８安楽　さん2006/1/31　15:20宮崎県

答えは、１８　でした。

またまた、コンピュータが壊れてしまいました。皆さんからいただいた貴重なメールは全て消えてしまいました。
せっかくの素晴らしい解答を掲載できなくで本当に申し訳ありません。

　

今回の問題は、できるだけ３を組みあらせることによって、積が一番大きくなるのですが、その説明を正解者掲示板で解析していただきました。

　
[143] 正確に説明するには 投稿者：teki 投稿日：2006/01/05(Thu) 09:33

数学の範囲が必要です。（相加平均と相乗平均の大小関係を用います。）
ここでは、面倒なので、小学生にもなんとなく分かる説明で逃げておきます。（私も小学生並みなので・・・）

一定の長さのひもを使って、長方形を作ることを考えた場合、その長方形の面積が最大となるのは、正方形の場合です。
言い換えれば、できるだけ正方形に近い（縦横の比が１に近い）長方形の方が面積が大きくなるということです。
ですから、ある数を自然数の和に分解し、それをかけ合わせて最大となるのは、できるだけ同一（あるいはそれに近い）数字に分解してかけ合わせることで、積の最大値が得られることとなります。
まぁ、小学生に説明するとすれば、こんなところでしょうか？

[145] Re:[143] 正確に説明するには 投稿者：teki 投稿日：2006/01/05(Thu) 12:50

> 数学の範囲が必要です。（相加平均と相乗平均の大小関係を用います。）
> ここでは、面倒なので、小学生にもなんとなく分かる説明で逃げておきます。（私も小学生並みなので・・・）
>
> 一定の長さのひもを使って、長方形を作ることを考えた場合、その長方形の面積が最大となるのは、正方形の場合です。
> 言い換えれば、できるだけ正方形に近い（縦横の比が１に近い）長方形の方が面積が大きくなるということです。
> ですから、ある数を自然数の和に分解し、それをかけ合わせて最大となるのは、できるだけ同一（あるいはそれに近い）数字に分解してかけ合わせることで、積の最大値が得られることとなります。
> まぁ、小学生に説明するとすれば、こんなところでしょうか？

ついでに書いておきますと、今回の問題のように３つ以上の積を考える場合には、対数と微分が必要になってきます。
つまり、対数関数　log(x)　が　ｘ＞１　の範囲でその微分が１より小さくなること（つまり傾きが１より小さいということです。）を利用して証明できます。
ただし、完全に高校数学の範囲ですので、ここでの説明はこのくらいにしておきます。
[147] 自然数であるとしての証明 投稿者：ほげ 投稿日：2006/01/07(Sat) 20:20 [返信]

今　与えられた数の和をｋとします。
このときｋを適当な数の和として書く方法は高々k^k通りですから（要するに有限個ですから）
あるnとn個の数があって　a(1)+a(2)+a(3)+...a(n)=k　かつa(1)×a(2)×a(3)×...×a(n)が最大となるものが存在します。
その１つを　(n,a(1),a(2),a(3),...a(n))と書くことにします。
このとき　a(1)≦a(2)≦a(3),...≦a(n)　であるとします。

(1)　a(1)は１ではない
a(1)=1のとき　(n-1,a(2)+1,a(3),...a(n))を考えると
　a(1)×a(2)=a(2)<a(2)+1　であるから　
(n,a(1),a(2),a(3),...a(n))より(n-1,a(2)+1,a(3),...a(n))のほうが大きくなり最大性に矛盾します

(2)　a(n)は4より大きくない
a(n)>4のときは　(n+1,a(1),a(2)+1,a(3),...a(n)-2,2)を考えると
(a(n)-2)×2-a(n)=a(n)-4>0より　(a(n)-2)×2>a(n)
(n,a(1),a(2),a(3),...a(n))より(n+1,a(1),a(2)+1,a(3),...a(n)-2,2)のほうが大きくなり最大性に矛盾します

(3)　もし　a(n)のなかに　４があるとしたら　2,2に分割しても和および積は変わらないから
a(1)からa(n)までの数は　2と3だけしかない

(4)　2は3つ以上入らない
これはほとんど明らかです。
(n,2,2,2,a(4),a(5),…a(n))より　(n-1,3,3,a(4),a(5)...a(n))のほうが大きいおからです。

以上より　2は0個または1個または2個　残りは3であることがわかります。

　　　2が0個のとき　その数は３で割り切れる
　　　2が1個のとき　その数は３で割ると２あまる
　　　2が2個のとき　その数は3で割ると1あまる
逆に言うと　2および3の和で書く方法は　１通りしかありません。

もし　正の数というだけの条件でしたら　相加平均を使うと
出来そうです。
　そうすると　確かに　対数の微分によって出さないといけないでしょうね。
[148] ほげさん 投稿者：teki 投稿日：2006/01/07(Sat) 21:01 [返信]

補足、ありがとうございます。
要するに、自然数の場合は、２を０〜２個と残りを３に分解した時の積が最大ということですね。
自然数に限らない場合（もちろん正の数の範囲ですが）は、相加・相乗平均または対数の微分を用いて証明が可能ということでしょうか。

[149] 自然数に限らない場合 投稿者：ほげ 投稿日：2006/01/08(Sun) 13:44 [返信]

かなり難しい話になりそうですが…

与えられた数の和をｋとします
これをn個の和に分割したとします。
(n,a(1),a(2),a(3),...a(n))について　相加平均　相乗平均から
(a(1)+a(2)+...+a(n))/n≧(a(1)×a(2)×...×a(n))^(1/n)
ですから　a(1)×a(2)×...×a(n)の最大値は　
a(1)=a(2)=...=a(n)の時に(a(1)+a(2)+...+a(n))/nのn乗であることがわかります。
つまり　n個に分割した時の最大値は　(k/n)^n　となります。
nを1,2,3,4...と変化させた時この最大値を求めます。
そのために　y=(k/x)^x　のグラフを考えます。
底をeとする自然対数をとり
logy=x・(logk-logx)
両辺をxで微分して　y'/y=(logk-logx)+x・(-1/x)=logk-1-logx
y'=0を解くとx=k/e
　x　0　…　k/e　…　　　　
　y'　　+　　0　-
　y　　↑　max　下
よって　x=k/e　のとき　最大値　をとります

実際は　xは整数ですから　k/eの計算をして　それをはさむ
２つの整数のどちらかが最大値になります。

ちょっと難しい話でした…　　　
[150] Re:[149] 自然数に限らない場合 投稿者：teki 投稿日：2006/01/08(Sun) 14:57 [返信]

要は、ｅ≒2.71828・・・ですので、３をできるだけ多く使った和に分割する時が最大ということですね。
整数に限らないという条件の下では、自然対数の底ｅに分割するのが最大ということでしょう。　　

　
　
[151] 正の数のとき 投稿者：ほげ 投稿日：2006/01/08(Sun) 15:27 [返信]

>３をできるだけ多く使った和に分割する時が最大
たとえば　k=27なら　n=10として　2.7　の10個の和にするといいだろう
ということです。自然数に制限していないので　３にする必要はありません（３に近い数になるけど　むしろeに近い数になる）

>自然対数の底ｅに分割するのが最大
正確に言うと　１つ１つの数がeに近い数になるように分割
するということですね