「今月の問題」　第８１回　（平成１８年６月）


＜美しい形をした多面体＞

　左上の写真はある立体の展開図です。また左下は、展開図を組み立てたときの立体の見取り図です。


　展開図で示したとおり、この立体は６枚の正方形と８枚の正三角形からできた１４面体です。
　ただし、正方形の対角線の長さは６ｃｍであり、正方形と正三角形の一辺の長さは等しいことが分かっています。
　ここで問題です。この立体の体積は何cm3になるでしょうか。

　

　（※写真のような立体を準正多面体とよばれます。準正多面体は16種類あるそうです。そして、５種類の正多面体の何れかを加工することによって導くことができることを知りました。この立体も、ある正多面体を加工してできるはずです。）

＜正解者一覧表＞　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１teki　さん2006/6/1　0:36大阪府　
　２kobayashi　さん2006/6/1　1:25　
　３信三　さん2006/6/1　3:47シリコンバレーの住人　
　４ お久しぶりの呑　さん2006/6/1　9:05健忘症　
　５経友会の進作　さん2006/6/1　13:24京都府木津町・67歳　
　６ゴンとも　さん2006/6/1　15:29　
　７uchinyan　さん2006/6/1　15:59ネコの住む家より　
　８lapin　さん2006/6/1　17:16大阪府交野市　
　９nobu　さん2006/6/1　19:55石川県　
１０ふじも　さん2006/6/1　21:48大阪府池田市　
１２なにわ　さん2006/6/2　0:04西宮市　
１３どんぐり　さん2006/6/2　0:57神奈川県　
１４CHOPELIX　さん2006/6/2　2:38茅ヶ崎市民　
１５いちもく　さん2006/6/2　7:17立川市　
１６ひろの　さん2006/6/2　11:15北海道滝川市　
１７なまよみの盲学校教師　さん2006/6/2　13:02甲斐の国　
１８xevs　さん2006/6/2　15:31京都府　
１９翔鶴　さん2006/6/2　18:27　
２０カエ　さん2006/6/2　20:24千葉県　
２１fisherman　さん2006/6/3　1:14豊岡市　
２２ISAMU　さん2006/6/3　15:16三重県　
２３オルカット　さん2006/6/3　18:0神奈川県　
２４空波　さん2006/6/3　19:59兵庫県　
２５oguchan1　さん2006/6/3　22:22鹿児島県　
２６電電虫　さん2006/6/3　23:05大阪府　
２７エトランゼ　さん2006/6/4　1:50　
２８スモークマン　さん2006/6/4　16:34目指せ囲碁5段！　
２９巷の夢　さん2006/6/5　7:14　
３０ hidy・算数問題出題中　さん2006/6/5　11:21　
３１ぴーしゅん　さん2006/6/5　17:26バンコク　
３２永田　さん2006/6/6　20:17竹中卒業生　
３３りーくん　さん2006/6/9　22:03　
３４kasama　さん2006/6/10　11:17和歌山県プログラマ　
３５翔　さん2006/6/10　15:04香川県　
３６安楽　さん2006/6/12　18:04宮崎県　
３７ma-mu-ta　さん2006/6/14　3:39東京都　
３８Mrドーナツ　さん2006/6/15　2:33神奈川　
３９ 算数の森　さん2006/6/22　15:09　
４０単身おやじ　さん2006/6/26　17:36横浜市在住　

答えは、１８０ｃｍ３　でした。


　
[216] 教えてください 投稿者：よしおか（管理人） 投稿日：2006/06/14(Wed) 05:26 [返信]

皆さんありがとう御座います。中学校の入試問題でありますが、いろいろな考え方があって面白いと感じています。特に空間図形は難しいですが興味がわきました。

皆さんの解答例は次のようにまとまるような気がします。

＜その１＞
立方体−三角錐×６
6*6*6−3*3/2*3/3*8＝180

＜その２＞
直方体＋四角錐×４
(3√2)^2*6+3√2*6*(3/√2)*(1/3)*4=180

＜その３＞
正８面体−正四角錐×６
6√2×6√2×6×1/3×2−3√2×3√2×3×1/3×6

＜その４＞
中心が一致すると考えて
正４角錐×６＋正三角錐×８
36*1/2*3*1/3*6+(6/√2)^2*√3/2*1/2*√12*8*1/3


以上４通りは理解できたのですが、［207][206]のkobayasiさんの底面積×高さ×２で、底面積が１５√３　高さが２√３の考え方がよく理解できません。結果的に面白い問題だなあと感じていますので、もう少し詳しく教えてくださいませんか。
[215] 無題 投稿者：安楽さん 投稿日：2006/06/12(Mon) 18:02 [返信]

ふつうに見て、直方体＋四角錐×４で考えた。

[213] ２度目です 投稿者：hidy・算数問題出題中さん 投稿日：2006/06/05(Mon) 11:17 [返信]

正方形が６面、正三角形が８面あることから、立方体の８つのかどを切り落とした図形をイメージして解きました。

http://math.katuyou.net/

[212] 無題 投稿者：fishermanさん 投稿日：2006/06/03(Sat) 01:19 [返信]

底面が正三角形だとばかり錯覚していました。底面が正方形だと気づくと、後は直方体と、４つ正四角錐に分けて計算し、和を求めました。

　
[209] 遅れました 投稿者：ゴンともさん 投稿日：2006/06/01(Thu) 15:25 [返信]

先ず、題意の三面図で
見取り図を真上から見ると一辺6の正方形に縁取られ
真横,真正面から見ても一辺6の正方形に縁取られ　より
題意の立方体は一辺6の立方体・・・・・・☆
に入りその隙間は底辺6^2/8=9/2で高さ3の三角錘が8個で
(9/2)*3*8/3=36
これを☆=6^3から引いて
6^3-36=180・・・・・・(答え)

[208] 実際に作ってみました・・・ 投稿者：経友会の進作さん 投稿日：2006/06/01(Thu) 13:45 [返信]

　画用紙を使って図形を作ってみました。紙と鋏とセロテー
プでままごとの様なお遊びを。出来上がった立体は一辺6p
の立方体から底辺3*3/2p＾2、高さ3pの三角錐8個分を切り
取ったものです。即ち6*6*6=216、3*3/2*3/3*8=36より、
216-36＝180p＾3。
[207] 分割 投稿者：こばさん 投稿日：2006/06/01(Thu) 01:26 [返信]

対称な部分２つに分けて、さらに三角錐３つ　三角柱１つ　直方体の半分が３つ、に分けて計算すると底面積×高さ×２で、底面積が１５√３　高さが２√３　よって体積は１８０