「今月の問題」　第９０回　（平成１９年３月）


　現在流通している500円硬貨は、変造500円硬貨による被害が後を絶たないために2000年8月1日発行されました。500円硬貨は直径26.5mmで、重さが7.0gです。
　潜像模様や斜めに入ったギザなど、今までになかった変造防止用の新しい技術が盛り込まれています。　

 　＜貯金箱の中の金額を考えよう！＞

左図を見てください。この貯金箱は、500円玉で一杯にするとちょうど１０万円になるように作られており、100円ショップで売られています。

　この貯金箱の重さは、70ｇであることが分かっています。
　よしお君は、この貯金箱に50円玉と500玉の２種類の硬貨だけ入れています。
　今、重さを量ると、全体の重さがぴったり１kg（1000ｇ）になっています。


ここで問題です。
（考えられる最大金額）−（考えられる最小金額）
を求めて下さい。

ただし、500円玉1個の重さは7.0ｇ、50円玉の１個の重さは4.0ｇであることは分かっています。

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１Walkin' BOA　さん2007/3/1　1:14　
　２ダンディ海野　さん2007/3/1　1:55　
　３ ゴンとも　さん2007/3/1　2:00　
　４高尾侑佑　さん2007/3/1　2:01京都府　
　５zuka　さん2007/3/1　2:03兵庫県　
　６いちもく　さん2007/3/1　3:01市川市　
　７信三　さん2007/3/1　3:16シリコンバレーの住人
　８ 呑ちゃん　さん2007/3/1　7:32河童ランドの酔っぱらい　
　９巷の夢　さん2007/3/1　7:56宮城県　
１０新俳人澄朝　さん2007/3/1　8:42　
１１NAMPOTのPOT　さん2007/3/1　9:11　
１２uchinyan　さん2007/3/1　13:06東京都
１３経友会の進作　さん2007/3/1　13:53京都府木津町・68歳
１４堤真人　さん2007/3/1　16:13大阪府小６
１５２−A　２３番　さん2007/3/1　16:44　
１６lapin　さん2007/3/1　17:09大阪府交野市
１７ぴーしゅん　さん2007/3/1　17:58　
１８なにわ　さん2007/3/1　18:46西宮市
１９ y.okada　さん2007/3/1　21:06　
２０ banyanyan　さん2007/3/1　23:35京都府　
２１teki　さん2007/3/1　23:48大阪府
２２kasama　さん2007/3/2　0:02和歌山県プログラマ
２３エトランゼ　さん2007/3/2　1:17　
２４ターボー　さん2007/3/2　8:57新潟県　
２５fisherman　さん2007/3/2　15:09豊岡市　
２６りーくん　さん2007/3/2　20:16埼玉県　
２７スモークマン　さん2007/3/2　23:52目指せ囲碁5段　
２８ma-mu-ta　さん2007/3/3　0:07　
２９ｎａｎｄａ　さん2007/3/3　0:18　
３０meshi　さん2007/3/3　10:41　
３１活性炭　さん2007/3/3　17:47葛飾区　
３２カエ　さん2007/3/3　18:41千葉県　
３３oguchan1　さん2007/3/3　22:36鹿児島県　
３４だいすけべー　さん2007/3/4　8:12　
３５ 議長　さん2007/3/4　11:21　
３６北のゴルゴ　さん2007/3/4　15:57北海道　
３７山城繊維工業　さん2007/3/5　7:41どろどろごじゅう
３８川村高雅　さん2007/3/5　15:36神奈川県　
３９ＨＩＲＯ　さん2007/3/7　9:14青森県　
４０いがぐりぼうや　さん2007/3/7　18:27加賀市4年生　
４１永田竜太郎　さん2007/3/7　22:07元竹中生　
４２くぼんヌ　さん2007/3/8　0:22埼玉県　
４３MITCH　さん2007/3/11　23:58西尾人　
４４浜田　明巳　さん2007/3/14　12:16　
４５れな　さん2007/3/15　8:25がくせい　
４６八千代伝　さん2007/3/17　21:32鹿児島　
４７森井　造　さん2007/3/18　1:49鹿児島　
４８ 安曇野りんご　さん2007/3/18　13:32確定申告から解放された農民
４９数字　さん2007/3/20　18:14三重県　
５０HIRO　さん2007/3/27　0:01　
５１かつ　さん2007/3/31　16:47兵庫県　
５２t.yamazaki　さん2007/3/31　21:56神奈川県　
　

答は５２８００円でした。掲示板には次のような解き方を書いていただきました。ありがとうございました。


　
[34] Re:[33] 僕の解法 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/03/03(Sat) 11:32 [返信]

> え〜僕の解き方は「芋づる算」を使いました。「芋づる算」というのはこういうことです。
> 　　　どうでしたか？

なるほど　「芋づる算」というのがよくわかりました。　
このような方法があるのですね。数学に移ると文字式、方程式を使って幅広い問題が解けるようになり「・・算」はほとんど不要になりますが、知っておくと便利なものもありますね。ただし、発展性を考えると不定方程式の解法をマスターしておくのもいいでしょう。

　
[33] 僕の解法 投稿者：堤真人 投稿日：2007/03/03(Sat) 10:23 [返信]

え〜僕の解き方は「芋づる算」を使いました。「芋づる算」というのはこういうことです。
まず、定める値を９３０ｇとします、先ず考えられるのは
7ｇ１３０個　４ｇ５個です。そこから次の表を作ります
　
7ｇ｜130｜
4ｇ｜5　｜　　そこから930ｇという値を変えない様にします
7ｇと4ｇの最小公倍数は28ｇであり、7ｇが４個だと28ｇになりますそして4ｇが７個だと28ｇになり、たとえ、７ｇが４個減ってしまっても、4ｇを7個増やせば±0になります。
この事を踏まえて表に加えていきます。
7ｇ｜130｜126｜122｜・・・
4ｇ｜5　｜12｜19｜・・・
合計|135|138｜141｜・・　　　こうしていくと合計は３個ずつ増えていきます合計は１６０以下なので最高は
(160-135)÷3≒8　135+(３×８)＝159です
つまり、7ｇは130-(４×８)＝９８個
4ｇは159-98＝６１　　または、5+(７×８)＝61です。
　　　どうでしたか？分かりましたか？若し分からないは
堤まで　

　
[32] Re:[31] ダンディ海野さんへ 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/03/03(Sat) 09:56 [返信]

> １３２００円　　ダンディ海野さんおおてますか

堤さん　お見事　正解です。
極端な場合において、いろいろ値を代入して2数ともに整数になる組を見つけた人は困ったことでしょう。　　私なりの解法を書いてみます。
500円をx枚、50円をy枚とするとき　
7ｘ+4ｙ＝930　という不定方程式の一般解を求めます。（方法はいろいろありますが「クッタカの方法」というものを使ってみます。）　　変形して
ｙ＝232+（-7ｘ+2）／4＝232-2ｘ+（ｘ+2）/4　
yは整数だから　ｘ+2＝4ｍ（ｍは整数）とおくと
y＝232−2（4ｍ-2）+ｍ＝236-7ｍ　　となり
ｘ＝4ｍ+2、ｙ＝236-7ｍ　が一般解となり　ｍに整数値を代入したときのx、yの組がすべて解となります。
課題の問題の場合は　ｘ＞＝0　ｙ＞＝0　だから
1＜＝ｍ＜＝33　　だけですが　ｘ+ｙ＜＝160　が付け加わると　（4m-2）+（236-7ｍ）＜＝160　　　も必要となり
25＜＝ｍ＜＝33　　　
合計金額は（500x＋50ｙ＝1650ｍ-10800）円で最高、最低の差は13200円となります。
算数の枠をかなり超えているのに小6の堤さん、あなたはすごい。（どうして答えを出したのか興味がわきます）

　
[31] ダンディ海野さんへ 投稿者：堤真人 投稿日：2007/03/02(Fri) 19:05 [返信]

ダンディ海野さん難しいですね〜;^^)やってみたところ・・。
最高は昨日書きましたが６５２５０円です。
で、最低は５００円が９８枚、５０円が６１枚合計１５９枚
ギリギリです;^^)５２０５０円よって差額
１３２００円　　ダンディ海野さんおおてますか？

　
[30] 10万円の意味 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/03/01(Thu) 22:45 [返信]

「500円硬貨で10万円入る」の10万円の意味するところは、500円硬貨なら200枚入ることを示しているのでしょう。
最低の金額のときは合計231枚で大きさの差を考えれば何とか入りきるとの判断だと思います。

この問題に「ただし入っている硬貨の枚数の合計は160以下であるという。」という条件がつくと、解きかたによっては困る人がだいぶ出るのでは・・・チャレンジしてみてください。

　
[29] 今日から弥生　ＭＡＲＣＨ 投稿者：堤真人 投稿日：2007/03/01(Thu) 22:03 [返信]

３月となりました。僕のところは３月１９日に卒業式になります。それはさておき、この問題は「芋づる算」です
定める値は重さ９３０ｇです。すると　最高は7ｇは130個と
4ｇは５個です。そうすると金額は６５２５０円です。
そして最低は7ｇ２個と4ｇ２２９個で金額は１２４５０円です。そして差額は５２８００円です。
あっあと、自慢ですが、只今4回連続一発正解ですマジで;^^)