「今月の問題」　第９１回　（平成１９年４月）

＜インド人の九九表＝１９×１９＞

 左表を見てください。これは、インドで用いられている九九表だそうです。

　日本で掛け算九九といいますと、文字通り縦横１から９の組み合わせで81ですが、インドでは掛け算は１かける１から19かける19まで覚えるそうです。

ここで、問題です。
積の値1＋2＋3＋・・・・＋323＋342＋361（つまり濃い赤の数字の和）を求めてください。

※　二桁の掛け算の結果を覚えていれば、答えがパットでますから、インド人は計算能力がすごいということのようです。
　コンピュータの優秀なプログラマーが多いことの要因になっているのかも知れません。

＜正解者一覧表＞　 　　　　　　　　　　　　
正解者順位 　　　　ｎａｍｅ　　　 　　メール到着日時　　 　　備　考　　
　１y.okada　さん2007/4/1　0:18　
　２gen　さん2007/4/1　0:19　
　３ダンディ海野　さん2007/4/1　2:37　
　４いちもく　さん2007/4/1　6:43立川市　
　５信三　さん2007/4/1　7:00シリコンバレーの住人
　６堤真人　さん2007/4/1　7:35大阪府今日から中1
　７ 呑ちゃん　さん2007/4/1　7:36河童ランドの酔っぱらい　
　８川村高雅　さん2007/4/1　8:54神奈川県　
　９エトランゼ　さん2007/4/1　10:08　
１０zuka　さん2007/4/1　11:29hyogo　
１１Walkin' BOA　さん2007/4/1　11:36　
１２新俳人澄朝　さん2007/4/1　13:21　
１３ゴンとも　さん2007/4/1　13:33　
１４ターボー　さん2007/4/1　13:45新潟県　
１５ニトリル　さん2007/4/1　14:33京都市　
１６NAMPOTのPOT　さん2007/4/1　17:10　
１７カエ　さん2007/4/1　17:26千葉県　
１８２−A　２３番　さん2007/4/1　20:48　
１９ 安曇野りんご　さん2007/4/1　21:17長野の農民　
２０uchinyan　さん2007/4/1　21:40東京都　
２１ma-mu-ta　さん2007/4/2　1:13東京都　
２２巷の夢　さん2007/4/2　7:03　
２３山城繊維工業　さん2007/4/2　12:42どろどろ　
２４ぴーしゅん　さん2007/4/2　12:43　
２５八千代伝　さん2007/4/2　17:11鹿児島県　
２６永田竜太郎　さん2007/4/2　19:36元竹中生　
２７ マグロ共和国連合軍　さん2007/4/1　20:06茨城県　
２８なにわ　さん2007/4/2　21:50西宮市　
２９ りーくん　さん2007/4/2　22:29埼玉県　
３０経友会の進作　さん2007/4/2　22:33京都府木津川市・68歳
３１kasama　さん2007/4/2　22:51和歌山県プログラマ　
３２ のっぴー　さん2007/4/2　22:52　
３３fisherman　さん2007/4/3　7:54豊岡市　
３４lapin　さん2007/4/3　11:14大阪府交野市　
３５中2(進級)航空アニマルさん2007/4/3　11:23東京都26市内中学2年生
３６のっぺり？　さん2007/4/3　16:56のっぺりしている中学生
３７akira　さん2007/4/3　16:59　
３８ 議長　さん2007/4/3　18:49駒場？　
３９Michael　さん2007/4/3　19:42　
４０スモークマン　さん2007/4/3　21:43金光＠岡山　
４１tomo　さん2007/4/3　22:31仕事中の暇潰し＠東京
４２ 龜龍　さん2007/4/4　16:27　
４３t.yamazaki　さん2007/4/5　22:20鹿児島県　
４４teki　さん2007/4/5　22:17大阪府　
４５ろしなんて　さん2007/4/6　0:07　
４６yu-t　さん2007/4/6　11:10埼玉県　
４７鈴木　茂　さん2007/4/6　13:49中学教員　
４８???　さん2007/4/7　11:07　
４９algebra　さん2007/4/7　18:56　
５０かんとく　さん2007/4/8　22:52　
５１ banyanyan　さん2007/4/18　0:40京都市　
５２栗スピー　さん2007/4/18　22:45　
５３ujitaka2001　さん2007/4/25　16:00　
５４ しあわせうさぎ　さん2007/4/26　23:06　
５５Hide　さん2007/4/27　15:47　
５６アホ　さん2007/4/28　19:51　
５７新米教師　さん2007/4/30　18:59宮城県　

答は３６１００です。掲示板に貴重な書き込みをしていただきました。ありがとうございました。
　
　
[63] 二乗和の問題 投稿者：yu-t 投稿日：2007/04/06(Fri) 11:08 [返信]

インド人はすごいですね。ただ二乗和は少し難しいので自分は(K=1~19)Σk*(j=1~19)Σjで考えました。
パソコンのプログラムで言うと二重の繰り返しですね。


　
[62] 狽P９ 投稿者：teki 投稿日：2007/04/05(Thu) 22:18 [返信]

狽P９＝１９０なので、１９０＾２＝３６１００　ですね。
なお、狽P９とは、（１＋２＋３＋・・・・＋１９）です。

　
[61] Re:[60] ？ 投稿者：堤真人 投稿日：2007/04/04(Wed) 14:24 [返信]

> > Σってどういう意味？
>
> 航空アニマルさんの、、、
> > (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19)×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19)=36100
>
> 同じことを、、、
> (Σk)^2・・・で k を1〜19まで足すという意味で使います。
>
bystanderさん、スモークマンさん
有難う御座います
また　知識が増えました;^^)

　
[60] Re:[58] ？ 投稿者：スモークマン 投稿日：2007/04/04(Wed) 00:34 [返信]

> Σってどういう意味？

航空アニマルさんの、、、
> (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19)×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19)=36100

同じことを、、、
(Σk)^2・・・で k を1〜19まで足すという意味で使います。

＞[発展問題]ｎ,ｍは１以上２９以下の自然数で、ｎ＜＝ｍ　であるとき ｎ*ｍ　の値の総和を求めてください。

((Σk)^2-Σk^2)/2+Σk^2=((Σk)^2+Σk^2)/2
を計算すればいいわけですよね。

Σk^2=(1/6)*n*(n+1)*(2n+1) は、

x^3-(x-1)^3=3C2*x^2-3C1*x+1=3x^2-3x+1 から求めるんでしたよね？

　
[59] 投稿者：bystander 投稿日：2007/04/03(Tue) 23:07 [返信]

総和
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%8F%E5%92%8C

　
[58] ？ 投稿者：堤真人 投稿日：2007/04/03(Tue) 08:24 [返信]

Σってどういう意味？


　
[57] 無題 投稿者：fisherman 投稿日：2007/04/03(Tue) 08:10 [返信]

ガウスです、ガウス。

　
[56] 無題 投稿者：fisherman 投稿日：2007/04/03(Tue) 07:58 [返信]

Σ20ｋでｋ＝1から19までを計算し、19を掛け、2で割る。

　
[55] ↓が今回の問題(4月)の計算式と答え 投稿者：航空アニマル 投稿日：2007/04/02(Mon) 19:08 [返信]

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19)×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19)=36100

　
[54] Re:[52] 一般化と発展問題 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/04/02(Mon) 18:40 [返信]

> しかし、二乗和は、確かに算数では一般的には扱っていな
>いことですね。（数学の問題です）とありましたので、公式>を使わせていただいた次第です。

ma-mu-ta さん、uchinyan さんご指摘の通り２乗和の定理を使わないと大変な計算になるので（数学の問題です）と書いていました。また算数から遠ざけるために「１９まで」を「２９まで」にしました。・・・堤くん、ごめん
1^2+2^2+3^2+・・・+n^2=(1/6)*n*(n+1)*(2n+1) という公式なんです。（因数分解と数学的帰納法が使えれば確かめられる式です）
また、ごんともさんがやられたようにプログラムがおおいに威力を発揮する問題でもありますね。
（じつは、あまりにも威力を発揮しすぎるので「プログラム禁止」と書こうかと迷っていました。）


　
[53] Re:[52] 一般化と発展問題 投稿者：堤真人 投稿日：2007/04/02(Mon) 14:42 [返信]

>
> 最近、さる受験算数専門の算数サイトで二乗和の考え方・求め方を目にしました。図を使って二乗和の考え方を実に分かり易く説明していて、これならば小学生にも良く分かるというものでした。
もしかしてあのサイト・・・・;^^）

　
[52] Re:[51] 一般化と発展問題 投稿者：ma-mu-ta 投稿日：2007/04/02(Mon) 13:50 [返信]

> 1〜29の和はともかく，1〜29の二乗の和を求めるのは，確かに算数ではキツイですね。
> 数学の問題，とあるので，ma-mu-taさんの式は，数学の公式を使っているようです。

最近、さる受験算数専門の算数サイトで二乗和の考え方・求め方を目にしました。図を使って二乗和の考え方を実に分かり易く説明していて、これならば小学生にも良く分かるというものでした。
しかし、二乗和は、確かに算数では一般的には扱っていないことですね。（数学の問題です）とありましたので、公式を使わせていただいた次第です。

　
[51] Re:[50] 一般化と発展問題 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/04/02(Mon) 12:06 [返信]

> > では、次のような発展問題はいかが。（数学の問題です）
> > [発展問題]ｎ,ｍは１以上２９以下の自然数で、ｎ＜＝ｍ　であるとき
> > ｎ*ｍ　の値の総和を求めてください。
>
> 1*1〜29*29の総和と1〜29の二乗和の合計の1/2と考えてやってみました。
> 答えはゴンともさんと同じになりました。
> {29^2*(29+1)^2/4+29*(29+1)*(2*29+1)/6}/2=98890
同じように考えました。
[48]のダンディ海野さんのヒントから，求める計算式が，
1/2×{(1＋2＋3＋…＋28＋29)×(1＋2＋3＋…＋28＋29)−(1×1＋2×2＋3×3＋…＋28×28＋29×29)}＋(1×1＋2×2＋3×3＋…＋28×28＋29×29)
= 1/2×{(1＋2＋3＋…＋28＋29)×(1＋2＋3＋…＋28＋29)+(1×1＋2×2＋3×3＋…＋28×28＋29×29)}
となることから分かるかと思いますが，
1〜29の和はともかく，1〜29の二乗の和を求めるのは，確かに算数ではキツイですね。
数学の問題，とあるので，ma-mu-taさんの式は，数学の公式を使っているようです。

　
[50] Re:[43] 一般化と発展問題 投稿者：ma-mu-ta 投稿日：2007/04/02(Mon) 01:53 [返信]

> では、次のような発展問題はいかが。（数学の問題です）
> [発展問題]ｎ,ｍは１以上２９以下の自然数で、ｎ＜＝ｍ　であるとき
> ｎ*ｍ　の値の総和を求めてください。

1*1〜29*29の総和と1〜29の二乗和の合計の1/2と考えてやってみました。
答えはゴンともさんと同じになりました。
{29^2*(29+1)^2/4+29*(29+1)*(2*29+1)/6}/2=98890

　
[49] Re:[43] 一般化と発展問題 投稿者：ゴンとも 投稿日：2007/04/01(Sun) 23:37 [返信]

>では、次のような発展問題はいかが。（数学の問題です）
>[発展問題]ｎ,ｍは１以上２９以下の自然数で、ｎ＜＝ｍ　>であるとき
>ｎ*ｍ　の値の総和を求めてください。

私も十進basicの以下のプログラムでやってみました。

LET s=0
FOR x=1 TO 29
FOR y=1 TO 29
if y<x then goto 10
LET a=x*y
LET s=s+a
10 NEXT y
NEXT x
PRINT s
END

で98890になりました。　
29の所を3とかにして確かめたのであっていると
思うのですが・・・

　
[48] Re:[46] 一般化と発展問題 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/04/01(Sun) 22:54 [返信]

> [発展問題]ｎ,ｍは１以上２９以下の自然数で、ｎ＜＝ｍ　であるとき
>ｎ*ｍ　の値の総和を求めてください。

> 難しい・・・;^^)自信度　　　０！
> 答えは2436です　ダンディ海野さんおおてますか

違っています。[今月の問題]の（十九＊十九）の表でたとえると
表の縦（1,2,3,..)をｎ,横(1,2,3,..)をｍとすると、表を左上から右下への対角線できったとき
対角線の数を含めて右上にある数をすべて足すことになります。
すると、2436 よりずっと大きい数になります。
（「数学」の問題）

　
[47] できたけど・・・ 投稿者：２−A　２３番 投稿日：2007/04/01(Sun) 20:48 [返信]

お父さんに教えてもらってできました。
最初の計算をまちがえていておこられた。

　
[46] Re:[43] 一般化と発展問題 投稿者：堤真人 投稿日：2007/04/01(Sun) 20:46 [返信]


> では、次のような発展問題はいかが。（数学の問題です）
> [発展問題]ｎ,ｍは１以上２９以下の自然数で、ｎ＜＝ｍ　であるとき
> ｎ*ｍ　の値の総和を求めてください。
難しい・・・;^^)自信度　　　０！
答えは2436です　ダンディ海野さんおおてますか

　
[45] 先月と同じくプログラムで 投稿者：ゴンとも 投稿日：2007/04/01(Sun) 13:07 [返信]

すぐできる問題でプログラムもすぐ書けました。

LET s=0
FOR x=1 TO 19
FOR y=1 TO 19
LET a=x*y
LET s=s+a
NEXT y
NEXT x
PRINT s
END

で36100・・・・・・(答え)　

　
[44] はじめまして 投稿者：ya- 投稿日：2007/04/01(Sun) 10:34 [返信]

初めての投稿です。

　
[43] 一般化と発展問題 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/04/01(Sun) 02:37 [返信]

１９＊１９までのところを（ｎ＊ｎ）までとして同じように
積の総和を求めると
積の総和＝(1/4)*ｎ^2*（ｎ+１)^2
となりますかね。

では、次のような発展問題はいかが。（数学の問題です）
[発展問題]ｎ,ｍは１以上２９以下の自然数で、ｎ＜＝ｍ　であるとき
ｎ*ｍ　の値の総和を求めてください。