χの２乗に比例する関数（グラフを書く）
このページに掲載する問題は、平成８年度城崎郡数学研修会で授業された内容である。事象より関数関係を見いだし、数表、グラフを作成することができるようにすることを目的に授業がなされた。
指導計画は、ｙ＝ａｘ２のグラフの最後の時間であったが、思考を深める内容であり課題学習に適する教材であると考える。
授業の内容は、啓林館の教科書Ｐ８９の８の問題を応用・発展されたものである。
以下に、授業の流れの概略を示す。

１．教科書の問題

左図のように、直角をはさむ２辺の長さが６cmの合同な直角二等辺三角形△ABCと△PQRがあります。△PQRが矢印の方向に毎秒２cmで、点Rが点Cまで動きます。
ｘ秒後の三角形の重なった面積をｙp２とする。ｘ、ｙの関係を式に表し、グラフを書きなさい。

グラフが放物線であることに気づかせる。そしてパソコンを操作し、グラフの結果を確認させる。

２．発展１（点Ｒが点Cを通りこした場合を考える）

上の図のように、完全に重なった後、さらに三角形が移動するときの面積の変化について考えさせる。
また、パソコンのシュミレーションを見ながら、ワークシート上に点を打ちグラフを書かせる。
グラフは、３秒後に不連続になり以下のようになる。


ちなみに式は、
ｙ＝２ｔ２（０≦ｘ≦３）
ｙ＝２（６−ｔ）２（３≦ｘ≦６）
ｙ＝０（６≦ｘ）になる

３．発展２（異なる形の三角形を考える）

＜問題＞下の図のように、直角をはさむ辺が６cm、１２cmと６cm、６cmの異なる直角三角形と直角二等辺三角形△ABCと△PQRがあります。
△PQRが矢印の方向に毎秒１cmの速さで動くとき、重なった面積の変化を考えなさい。


グラフに書くと以下の通りになる。

式を考える。
（０≦ｘ≦３の場合） ｙ＝ｘ×２ｘ÷２　
ｙ＝ｘ２
（３≦ｘ≦６の場合）
ｙ＝６×６÷２−２（６−ｘ）（６−ｘ）÷２
ｙ＝−１８＋１２ｘ−ｘ２
（６≦ｘ≦１２の場合）
ｙ＝（１２−ｘ）２÷２
（１２≦ｘ）
ｙ＝０


＜私が授業をした後の生徒の感想＞

難しかったとか分からなかったという感想もかなりあったが、次のように関数について理解を深めた生徒もたくさんいた。

とても難しくてイライラいていたけど、先生のヒントでまあまあ分かった。先生ってすごいなと感心した。（中場）

結構難しかったけど面白かった。最後のヤツに関してはバカみたいな計算ミスで戸惑っていた。また機会があればやりたいです。（佐藤）

ぼくは分からなかったけど、こういう問題もできないといけないと思った。（井上）

いろいろなグラフがあることに驚いた。変なグラフでもきちんと関数になっていてすごいと思った。（宮口）

本当に悩まされた。図形が通り過ぎることで、思った以上に難しかったけど、数学の楽しさがまた一つ分かりました。（尾上）

この授業をして、グラフの面白さを知った。「パッ」と見ると難しく感じるけど、グラフに点を取っていくと新たな発見が出来て嬉しく感じた。（浅田）

関数というものは、本当に多彩なグラフが作れてすごいと思った。もっといろんなグラフを見てみたい。（友政）

結構難しそうだけど、頑張って取り組んだらかなりできた。（谷垣）

グラフにすると、図では分かりにくい変化が分かりやすくなった。いろんなグラフがあることが分かっていい勉強になった。（森田）

難しい問題だが、やればできると思った。何となく面白い問題だった。（百合）

こういう応用問題は好きなので面白かった。こんな問題を考えた人はすごいと思った。（村尾）

たまにはこういった考える問題もいいなと思った。難しい問題がとけるととても嬉しかった。（吉谷）

今まで関数のグラフを学習していたけど、今日のようなグラフは初めてで驚いた。こういうグラフを使いこなせてこそ、はじめてグラフを征服したといういえると思う。（佐伯）

式だけを見ると分かりにくかったけど、グラフにすると分かったりしたので、グラフの便利さが理解できた。いろいろなグラフの形にビックリした。（小田垣）