式の計算(3年生)

このページに掲載する問題は、啓林館の教科書p28の例題を応用したものである。
いろいろな図形を取り扱うことにより、具体的なものから一般的なへと考え方を深めていきたい。


1.教科書の問題

以下の教科書の例題を生徒と共に証明していく。
半径rの花壇のまわりに、左図のように幅aの道がついています。
この道の面積をS、道のまん中を通る円周の長さをmとすると、
S=amとなることを証明しなさい。


2.他の図形の場合はどうなるか考えさせる。
以下の、正方形や長方形、平行四辺形では簡単に証明できる。


3.一般化をはかるために三角形の場合の証明を提示する。
三角形や台形、五角形などになると、生徒の手では解決が難しい。以下の解き方で説明してみると考えられることを示す。

一般の三角形の場合
左の図で、中点連結定理より、
BE=2PQ、FC=2RSになる。
だから、
台形ABCDの面積S
=(AD+BC)×a÷2
={AD+(2PQ+QR+2RS)}×a÷2
=(PQ+QR+RS)×a
=a×mになる。
同様にして、面積S、面積Sも考える。

台形に分割する考え方を用いると、以下のようにどんな多角形においても、
S=a×mは証明できる。


3.さらに発展すると

円や多角形ばかりでなくても、どんな図形でも
S=a×mと仮定できる。
ただし、今の私にはどのように証明したらよいか分かりませんのであしからず・・・・・・。